вычислить определенный интеграл с заданной точностью ε методами: правых прямоугольников

1 Задание:
1) вычислить определенный интеграл с заданной точностью ε методами:
правых прямоугольников, центральных прямоугольников, левых
прямоугольников, трапеций, Симпсона. Сравнить полученные результаты,
сделать выводы;
2) вычислить значение интеграла аналитически;
3) исследовать зависимость точности вычисления интеграла ε от числа
шагов n (точность – это модуль разности между численным и аналитическим
значением)
Сравнить полученные результаты, сделать выводы;
4) оценить погрешность вычисления интеграла по правилу Рунге;
5) для наглядности полученных результатов использовать таблицы и
графики;
6) сделать презентацию курсовой работы.

2 Аналитическая часть
Задача численного интегрирования функций заключается в вычислении
приближенного значения определенного интеграла:

b
a
dxxfI)(
, (1)

на основе ряда значений подынтегральной функции .{ f(x) |x=xk = f(xk)
= yk}.
Формулы численного вычисления однократного интеграла называются
квадратурными формулами, двойного и более кратного – кубатурными.
Обычный прием построения квадратурных формул состоит в замене
подынтегральной функции f(x) на отрезке [a,b] интерполирующей или
аппроксимирующей функцией g(x) сравнительно простого вида, например,
полиномом, с последующим аналитическим интегрированием.



4
01x
dx

Найдем аналитическое решение

973.1)1ln(22
1

4
0

4
0

xx
x
dx

На рисунке 1 приведен график подинтегральной функции

f(x)

0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2

f(x)

Рисунок 1 – График подинтегральной функции.

Значение определенного интеграла будет равно площади под этой
кривой в интервале от 0 до 4.

3. Вычисление определенного интеграла методом прямоугольников

Определенный интеграл функции от функции f(x): b
a
dxxfI)(
численно
равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми у=0, x=a,
x=b, y=f(x) (рисунок. 2).

a

bX

Y

S
y=F(x)

b
a
dxxS)(

рисунок 1
Рис. 2 Площадь под кривой y=f(x)

Для вычисления этой площади весь интервал интегрирования [a,b]
разбивается на n равных подинтервалов длины h=(b-a)/n. Площадь под
подынтегральной кривой приближенно заменяется на сумму площадей
прямоугольников, как это показано на рисунке (2).

Рис. 3 - Площадь под кривой y=f(x) аппроксимируется суммой
площадей прямоугольников

Сумма площадей всех прямоугольников вычисляется по формуле














1
0

10
1
0

1
0

~
,,)()*(*
n
i

n

n
i
i

n
i

ihbxaxyhxfhhiafhSI
,(4)

Метод, представленный формулой (4), называется методом левых
прямоугольников, а метод, представленный формулой(5) – методом правых
прямоугольников:




n
i

n

n
i
i

n
i

ibxhaxyhxfhhiafhSI

1

1
11

~
,,)()*(*

(5)

Погрешность вычисления интеграла определяется величиной шага
интегрирования h. Чем меньше шаг интегрирования, тем точнее интегральная
сумма S аппроксимирует значение интеграла I. Исходя из этого строится
алгоритм для вычисления интеграла с заданной точностью. Считается, что

интегральная сумма S представляет значение интеграла I c точностью eps,
если разница по абсолютной величине между интегральными суммами hS и
2/hS , вычисленными с шагом h и h/2 соответственно, не превышает eps.
Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле левых
прямоугольников в Excel, необходимо выполнить следующие действия:
Ввести в ячейку A1 текст a=.
Ввести в ячейку B1 число 0.
Ввести в ячейку A2 текст b=.
Ввести в ячейку B2 число 3,2.
Ввести в ячейку A3 текст n=.
Ввести в ячейку B3 число 10.
Ввести в ячейку A4 текст h=.
Ввести в ячейку B4 формулу =(B2-B1)/B3.
Вести в ячейку A6 текст i, в B6 - x, в C6 - y0,...,y(n-1).
Ввести в ячейку A7 число 0.
Ввести в ячейку A8 формулу =A7+1, скопировать эту формулу
методом протягивания в диапазон ячеек A8:A17.
Ввести в ячейку B7 число 0.
Ввести в ячейку B8 формулу =B7+$B$4, скопировать эту формулу
методом протягивания в диапазон ячеек B8:B17.
Ввести в ячейку C7 формулу =1/(1+КОРЕНЬ(B7)), скопировать эту
формулу методом протягивания в диапазон ячеек C8:C16.
Ввести в ячейку B18 текст сумма:.
Ввести в ячейку B19 текст интеграл=.
Ввести в ячейку C18 формулу =СУММ(C7:C16).
Ввести в ячейку C19 формулу =B4*C18.
Ввести в ячейку C20 текст левых.
В итоге получаем следующее:

Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле правых
прямоугольников в Excel, необходимо выполнить следующие действия:
Продолжить работу в том же документе, что и при вычислении
интеграла по формуле левых прямоугольников.
В ячейку D6 ввести текст y1,…,yn.
Ввести в ячейку D8 формулу =1/(1+КОРЕНЬ(B8)), скопировать эту
формулу методом протягивания в диапазон ячеек D9:D17
Ввести в ячейку D18 формулу =СУММ(D7:D17).
Ввести в ячейку D19 формулу =B4*D18.
Ввести в ячейку D20 текст правых.

Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле средних
прямоугольников в Excel, необходимо выполнить следующие действия:
Продолжить работу в том же документе, что и при вычислении
интеграла по формулам левых и правых прямоугольников.
В ячейку E6 ввести текст xi+h/2, а в F6 - f(xi+h/2).

Ввести в ячейку E7 формулу =B7+$B$4/2, скопировать эту формулу
методом протягивания в диапазон ячеек E8:E16
Ввести в ячейку F7 формулу =1/(1+КОРЕНЬ(E7)), скопировать эту
формулу методом протягивания в диапазон ячеек F8:F16
Ввести в ячейку F18 формулу =СУММ(F7:F16).
Ввести в ячейку F19 формулу =B4*F18.
Ввести в ячейку F20 текст средних.
В итоге получаем следующее:

Метод трапеций.

В общем виде формула трапеций на
отрезке [x0;xn] выглядит следующим
образом:

В данной формуле x0=a, xn=b, так как

любой интеграл в общем виде выглядит:

h можно вычислить по следующей формуле: h=(b-a)/n (19).

y0, y1,..., yn - это значения соответствующей функции f(x) в точках x0,
x1,..., xn (xi=xi-1+h)" [3].
На практике данный способ реализуется следующим образом:
Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле трапеций в Excel,
необходимо выполнить следующие действия:
Ввести в ячейку A1 текст n=.
Ввести в ячейку B1 число 10.
Ввести в ячейку A2 текст a=.
Ввести в ячейку B2 число -1.
Ввести в ячейку A3 текст b=.
Ввести в ячейку B3 число 1.
Ввести в ячейку A4 текст h=(b-a)/n.
Ввести в ячейку B4 формулу =(B3-B2)/B1.
Заполнить диапазон ячеек A6:D6 следующим образом:

Ввести в ячейку A7 число 0.

Ввести в ячейку A8 формулу =A7+1, скопировать эту формулу
методом протягивания в диапазон ячеек A8:A17.
Ввести в ячейку B7 число -1.
Ввести в ячейку B8 формулу =B7+$B$4, скопировать эту формулу
методом протягивания в диапазон ячеек B8:B17.
Ввести в ячейку C7 формулу 1/(1+КОРЕНЬ(B7)), а в ячейку C17
формулу 1/(1+КОРЕНЬ(B17)),
Ввести в ячейку D8 формулу 1/(1+КОРЕНЬ(B8)),), скопировать эту
формулу методом протягивания в диапазон ячеек D8:B16.
Ввести в ячейку B18 текст суммы:.
Ввести в ячейку C18 формулу =СУММ(C7;C17).
Ввести в ячейку D18 формулу =СУММ(D8:D16).
Ввести в ячейку A19 текст интеграл=.
Ввести в ячейку B19 формулу =B4*(C18/2+D18).

Значение интеграла 1,876

Метод парабол или Симпсона.

Этот метод более точный по сравнению с методами прямоугольников
и трапеций, а поэтому наиболее широко известный и применяемый метод
численного интегрирования.
Метод аналогичен рассмотренным ранее методам прямоугольников и
трапеций: интервал интегрирования разбивается на множество более
мелких отрезков; однако для вычисления площади под каждым из отрезков
через три последовательных ординаты разбиения проводится квадратичная
парабола.

Формулу Симпсона получаем, проводя параболу через три ординаты
на концах двух соседних интервалов и складывая получившиеся при этом
площади.

Поскольку в методе Симпсона парабола проводится через три
ординаты на концах двух соседних интервалов, то при реализации этого
метода необходимо требовать, чтобы «n» было четным числом.
На практике данный способ реализуется следующим образом:

Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле Симпсона в Excel,
необходимо выполнить следующие действия:
Ввести в ячейку A1 текст n=.
Ввести в ячейку B1 число 10.
Ввести в ячейку A2 текст a=.
Ввести в ячейку B2 число 0.
Ввести в ячейку A3 текст b=.
Ввести в ячейку B3 число 3,2.
Ввести в ячейку A4 текст h=.
Ввести в ячейку B4 формулу =(B3-B2)/B1.
Заполнить диапазон ячеек A6:D6 следующим образом:

Ввести в ячейку A7 число 0.
Ввести в ячейку A8 формулу =A7+1, скопировать эту формулу
методом протягивания в диапазон ячеек A8:A17.
Ввести в ячейку B7 число 0.
Ввести в ячейку B8 формулу =B7+$B$4, скопировать эту формулу
методом протягивания в диапазон ячеек B8:B17.
Ввести в ячейку C7 формулу 1/(1+КОРЕНЬ(B7)), а в ячейку C17
формулу =1/(1+КОРЕНЬ(B17)),

Ввести в ячейку C18 формулу =(C7-C17)/2.
Ввести в ячейку D18 формулу =2*D8+2*D10+2*D12+2*D14+2*D16.
Ввести в ячейку E18 формулу =E9+E11+E13+E15+E17.
Ввести в ячейку A19 текст интеграл=.
Ввести в ячейку B19 формулу =(2*B4/3)*(C18+D18+E18).
В итоге получаем следующее:1.857

Заключение

Рассмотренные выше примеры практических задач, дают нам ясное
представление значимости определенного интеграла для их разрешимости.
Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись
методы интегрального исчисления, в общем, и свойства определенного
интеграла, в частности. Так в процессе выполнения работы нами были
рассмотрены примеры практических задач в области физики, геометрии,
механики, биологии и экономики. Конечно, это еще далеко не
исчерпывающий список наук, которые используют интегральный метод
для поиска устанавливаемой величины при решении конкретной задачи, и
установлении теоретических фактов.
Также определенный интеграл используется для изучения собственно
самой математики. Например, при решении дифференциальных
уравнений, которые в свою очередь вносят свой незаменимый вклад в
решение задач практического содержания. Можно сказать, что
определенный интеграл - это некоторый фундамент для изучения
математики. Отсюда и важность знания методов их решения.
Из всего выше сказанного понятно, почему знакомство с
определенным интегралом происходит еще в рамках средней
общеобразовательной школы, где ученики изучают не только понятие
интеграла и его свойства, но и некоторые его приложения.

Cписок использованной литературы

1. Волков Е.А. Численные методы. М., Наука, 1988.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.,
Интеграл-Пресс, 2004. Т. 1.
3. Шипачев В.С. Высшая математика. М., Высшая школа, 1990.
4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по высшей
математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Наука , 1981 . -
718 с.
5. Белецкий Я. Excel с графикой для персональных компьютеров
перевод с польского Д.И.Юренкова. -М.: Машиностроение , 1991. -
320 с.
6. Самарский А.А, Гулин А.В. Численные методы.М.:Наука,1989. –
430 с.