Геометрия: аналитическая, Евклидова, геометрия Лобачевского

Введение
Целью исследования является рассмотрение понятия геометрия, а также ее разновидностей: аналитической, Евклидовой, геометрии Лобачевского, наглядной геометрии, а также истории развития геометрии.Представленная тема реферата является достаточно актуальной, поскольку с понятием геометрии человек встречается ежедневно и обязан знать ее основы.Для выполнения поставленной цели были сформулированы следующие задачи: Рассмотреть историю возникновения геометрии;Изучить аналитическую геометрию, Евклидову, геометрию Лобачевского.
ГЛАВА 1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ
Геометрия – это одна из основных и самых древних отраслей математической науки. Геометрические фигуры были известны издавна, в тот период, когда еще не были выведены принципы математического характера. Геометрия - это исследование точек математического характера, линий, плоскостей, замкнутых плоских фигур и твердых тел. Применяя это, можно провести описание или сделать построение каждого видимого и невидимого предмета.Геометрия берет свои корни из Древнего Египта, она выступает как набор правил решения задач практического характера, появившихся в строительстве, при распределении земельных участков, замеров площадей, объемов и иных величин. Свидетельством выше сказанного выступают египетские пирамиды, которые были выстроены примерно 4800 лет назад. Их строительство требовало довольно тяжелых и точных расчетов геометрического плана. Но наиболее важной была задача деления земельных наделов.[1]Значительные данные о свойствах фигур, которые были собраны египтянами, оказались заимствованы греками. Произошло это в YIII-Y вв.до н.э. А поскольку наиболее значимой задачей выступало землемерие, то греки именовали науку о фигурах геометрией, так как с греческого «геос» - земля, а «метрио» обозначает измеряю.Геометрия с точки зрения практического характера представляет собой потребность измерять формы. Считается, что геометрия впервые стала значимой, когда Египетский фараон собирался обложить налогом фермеров, выращивавших урожай вдоль реки Нил. Для того, чтобы вычислить исходную сумму налога, люди фараона обязаны измерять размер земли, подвергаемой обработке. Примерно 2900лет до нашей эры выстроена первая пирамида в Египте. Наиболее первая запись формулы для подсчета площади треугольника приравнивается к 2000 году до нашей эры. Именно греки примерно 600-400 лет до нашей эры сформировали принципы в настоящее время существующей геометрии. Фалес Милетский изучил подобные треугольники и вывел доказательство того, что соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.Следующим являлся Пифагор. Пифагор считается первым математиком, логически выводящим геометрические факты из ключевых принципов. Пифагор создал братство, которое именовалось "пифагорейцы", преследовавшее знания в математике, науке и философии. Многие люди уверены, что пифагорейская школа – это место рождения разума и логической мысли. Самым знаменитым и полезным вкладом пифагорейцев считается теорема Пифагора. Она говорит о том, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы.Евклид Александрийский выступает “отцом современной геометрии”. Евклид  внес в науку математическую строгость и аксиоматический способ, все еще применяемый на сегодняшний день. Евклид вывел  2323 определения, 55 постулатов и 55 аксиом. Аксиома - это словосочетание, принимаемое без доказательств. Элементы Евклида составляют базу настоящей геометрии, преподаваемой на сегодняшний день в учебных заведениях.Следующим важным событием стал тот факт, что Карл Фридрих Гаусс создал неевклидову геометрию, не базирующуюся на постулатах Евклида. Параллельный постулат говорит о том, что через заданную точку  на прямой есть одна и только одна прямая, параллельная этой линии. Неевклидова геометрия задала математическую базу для теории относительности Эйнштейна.[2] 
ГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЯ: АНАЛИТИЧЕСКАЯ, ЕВКЛИДОВА, ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
Аналитическая геометрия — раздел геометрии, в котором геометрические фигуры и их свойства исследуются средствами алгебры.В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые применённый Декартом в 1637 году. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела. Такой метод «алгебраизации» геометрических свойств доказал свою универсальность и плодотворно применяется во многих естественных науках и в технике. В математике аналитическая геометрия является также основой для других разделов геометриинапример, дифференциальной, алгебраической, комбинаторной и вычислительной геометрии.[3]Идея координат и уравнения кривой была не чужда ещё древним грекам. Архимед, и особенно Аполлоний Пергский, в своих сочинениях приводили так называемые симптомы конических сечений, которые в ряде случаев совпадают с нашими уравнениями. Однако дальнейшего развития эта идея тогда не получила по причине невысокого уровня древнегреческой алгебры и слабого интереса к кривым, отличным от прямой и окружности.Потом в Европе использовал координатное изображение (для функции, зависящей от времени) Николай Орезмский (XIV век), который называл координаты, по аналогии с географическими, долготой и широтой. К этому времени развитое понятие о координатах уже существовало в астрономии и географии. Решающий шаг был сделан после того, как Виет (XVI век) сконструировал символический язык для записи уравнений и положил начало системной (символической) алгебре.Около 1637 года Ферма распространил через Мерсенна мемуар «Введение в изучение плоских и телесных мест», где выписал (в символике Виета) уравнения различных кривых 2-го порядка в прямоугольных координатах. Для упрощения вида уравнений он широко использовал преобразование координат. Ферма наглядно показал, насколько новый подход проще и плодотворней чисто геометрического. Однако мемуар Ферма широкой известностью не пользовался. Гораздо большее влияние имела «Геометрия» Декарта, вышедшая в том же 1637 году, которая независимо и гораздо более полно развивала те же идеи.Декарт включил в геометрию более широкий класс кривых, в том числе «механические» (трансцендентные, вроде спирали), и провозгласил, что у каждой кривой есть определяющее уравнение. Он построил такие уравнения для алгебраических кривых и провёл их классификацию (позже основательно переделанную Ньютоном). Декарт подчеркнул, хотя и не доказал, что основные характеристики кривой не зависят от выбора системы координат.Аналитический метод Декарта немедленно взяли на вооружение ван Схоутен, Валлис и многие другие видные математики. Они комментировали и дополняли идеи «Геометрии», исправляли её недочёты, применяли новый метод в других задачах. Например, Валлис впервые рассмотрел конические сечения как плоские кривые (1655 год), причём, в отличие от Декарта, он уже использовал отрицательные абсциссы и косоугольные координаты.Ньютон не только опирался на координатный метод в своих работах по анализу, но и продолжил геометрические исследования Декарта. Он классифицировал кривые 3-го порядка, выделив 4 типа и 58 видов; позже он добавил ещё 14. Эти результаты были получены около 1668 года, опубликованы вместе с его «Оптикой» в 1704 году. Система координат Ньютона уже ничем не отличается от современной. Для каждой кривой определяются диаметр, ось симметрии, вершины, центр, асимптоты, особые точки и т. п.[4]Евклидова геометрия — это геометрическая теория, основанная на системе аксиом, которая была впервые изложена в третьем веке до нашей эры великим древнегреческим математиком Евклидом в грандиозном научном труде «Начала».Система аксиом Евклида базируется на основных геометрические понятиях таких, как точка, прямая, плоскость, движение, а также на следующие отношения: «точка лежит на прямой на плоскости», «точка лежит между двумя другими».В «Началах» Евклид представил следующую аксиоматику:От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.Все прямые углы равны между собой.Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.Тщательное изучение аксиоматики Евклида во второй половине XIX века показало её неполноту. В 1899 году Д. Гилберт предложил первую строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Впоследствии еще не раз ученые предпринимали попытки усовершенствовать аксиоматику евклидовой геометрии. Кроме аксиоматики Гилберта, известными считаются: аксиоматики Тарского и аксиоматики Биргофа, которая состоит всего лишь из 4 аксиом.В современной трактовке система аксиом Евклида может быть разделена на пять групп:Аксиомы сочетания. Во-первых, через каждые две точки можно провести прямую и притом только одну. Во-вторых, на каждой прямой лежат по крайней мере две точки. При этом существуют хотя бы три точки, которые не лежат на одной прямой. В-третьих, через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну. В-четвертых, на каждой плоскости есть по крайней мере три точки, а также существуют хотя бы четыре точки, не лежащие в одной плоскости. В-пятых, если две точки данной прямой лежат на данной плоскости, значит и сама прямая лежит на этой плоскости. В-шестых, если две плоскости имеют общую точку, то, следовательно они имеют и общую прямую.Аксиомы порядка. Во-первых, если точка В лежит между А и С, то все три лежат на одной прямой. Во-вторых, для каждых точек А, В существует такая точка С, что В лежит между А и С. В-третьих, из трёх точек прямой только одна лежит между двумя другими. В-четвертых, если прямая пересекает одну сторону треугольника, значит она пересекает при этом и другую его сторону или проходит через вершину (отрезок AB определяется как множество точек, лежащих между А и В; аналогично определяются стороны треугольника).Аксиомы движения. Во-первых, движение ставит в соответствие точкам точки, прямым прямые, плоскостям плоскости, сохраняя принадлежность точек прямым и плоскостям. Во-вторых, два последовательных движения вновь дают движение, и для всякого движения есть обратное. В-третьих, если даны точки А, A’ и полуплоскости A, A‘, ограниченные продолженными полупрямыми а, а’, которые исходят из точек А, A’, то существует единственное движение, переводящее А, а, A в A’, a’, A’ (полупрямая и полуплоскость легко определяются на основе понятий сочетания и порядка).[5]Аксиомы непрерывности. Во-первых, как гласит аксиома Архимеда, всякий отрезок можно перекрыть любым отрезком, откладывая на первом его достаточное количество раз (откладывание отрезка осуществляется движением). Во-вторых, согласно аксиоме Кантора: если дана последовательность отрезков, вложенных один в другой, то все они имеют хотя бы одну общую точку.Аксиома параллельности Евклида: через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а.Евклидова геометрия стала результатом систематизации и обобщения наглядных представлений человека об окружающем мире. Углубленное проникновение в суть геометрии привело к более абстрактному пониманию науки. Более поздние достижения и открытие показали, что наши представления о пространстве являются априорными, то есть чисто умозрительные. Таким образом было поставлено под сомнение существование единственной геометрии. бурное развитие физики и астрономии, доказало, что евклидова геометрия описывает структуру окружающего пространства, но вовсе не способна описать свойства пространства, связанные с перемещениями тел со скоростями, близкими к световой. Русский математик Н. И. Лобачевский разработал новую неевклидову геометрию, которая приблизилась к реальному описанию физического пространства.Геометрия Лобачевского имеет лишь одно отличие от евклидовой — аксиома параллельности заменяется на ее отрицание — аксиому параллельности Лобачевского.Аксиома параллельности Лобачевского выглядит следующим образом:Найдутся такая прямая a и такая не лежащая на ней точка A, что через A проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие a.Непротиворечивость аксиомы доказывается представлением модели, в которой реализуются данные аксиомы.Основы аналитической геометрии, заложенные Лобачевским, практически наметили необходимую для доказательства модель. Лобачевский заметил, что орисфера в пространстве изометрична евклидовой плоскости. Полностью реализовать модель смогли работы Клейна, Пуанкаре и других ученых.Геометрия Лобачевского нашла широчайшее применение в современной науке. Сам Николай Иванович Лобачевский использовал свою геометрию для вычисления определенных интегралов.В теории функций комплексного переменного геометрия Лобачевского способствовала успешному построению теории автоморфных функций. В этой теории связь с геометрией Лобачевского была основой для исследований Пуанкаре. По словам Анри Пуанкаре, «неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи». [6]
Заключение
В ходе написания реферата были изучены все поставленные в начале работы задачи:Разобрана история возникновения такой науки, как геометрия;Разобрана аналитическая геометрия, Евклидова, а также геометрия Лобачевского.
Список использованной литературы
1. Арутюнян, Г.В. Элементарная геометрия / Г.В. Арутюнян. - М.: Московский Государственный Технический Университет (МГТУ) имени Н.Э. Баумана, 2010. - 950 c.2. Бортаковский, А.С. Аналитическая геометрия в примерах и задачах: Учебное пособие / А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев. - М.: Инфра-М, 2019. - 208 c.3. Золотаревская, Д.И. Аналитическая геометрия / Д.И. Золотаревская. - М.: КД Либроком, 2016. - 384 c.4. Климов, А.С. Аналитическая геометрия. Лекции по геометрии. Часть I: Учебное пособие / А.С. Климов, Н.Е. Машнин. - СПб.: Лань П, 2016. - 416 c.5.  Киселев, А. П. Элементарная геометрия. Книга для учителя. Учебное пособие / А.П. Киселев. - Москва: СПб. [и др.] : Питер, 2015. - 286 c.6. Панчищина, В.А. Геометрия. 10 класс. Дидактические материалы / В.А. Панчищина. - М.: Просвещение, 2014. - 144 c.