Теория пластичности

Введение
Теория пластичности — раздел механики сплошных сред, задачами которого является определение напряжений и перемещений в деформируемом теле за пределами упругости. Строго говоря, в теории пластичности предполагается, что напряжённое состояние зависит только от пути нагружения в пространстве деформаций и не зависят от скорости этого нагружения. Учёт скорости нагружения возможен в рамках более общей теории вязкопластичности.Теория пластичности металлов и полимеров нашла широкое применение в машиностроении, где часто приходится рассматривать деформацию деталей и заготовок за пределами упругости, что позволяет выявить дополнительные прочностные ресурсы конструкции. В технологических процессах производства некоторых элементов конструкций предусмотрены специальные операции, позволяющие путём пластического деформирования повысить несущую способность деталей в пределах упругости. Теория пластичности грунтов и горных пород применяется в геологии, а также в проектировании сооружений.Первые работы по теории пластичности были выполнены в 1870-х годах А. Сен-Венаном и М. Леви, которым принадлежит создание одного из вариантов теории пластичности, а также получение основных уравнений задачи плоской деформации. В 1909 году была опубликована работа А. Хаара и Т. фон Кармана, в которой была сделана попытка вывода основных уравнений теории пластичности из вариационного принципа. В статье Р. фон Мизеса (1913) система уравнений Сен-Венана — Леви была дополнена иным условием пластичности (которое ещё в 1904 году было также получено М. Губером).Деформационная теория пластичностиТеория пластической деформации основана на идее, что поведение материала в области пластической деформации принципиально отличается от упругого поведения в том смысле, что величина напряжения и деформации связана четкой зависимостью с увеличением напряжения.Самое простое предположение состоит в том, что модуль упругости E и коэффициент Пуассона V больше не являются постоянными величинами, а должны быть заменены пластическим коэффициентом Пуассона, который зависит от скорости пластической деформации и модуля пластической деформации EP и VP. Аналогичная теория для незатвердевших материалов была предложена вигором и обобщена.Наряду с общепринятыми обозначениями, используемыми в механике деформируемого твердого тела, в теории пластичности вводятся новые понятия.Интенсивность напряженийИнтенсивность деформацийЭти же величины могут быть выражены соответственно через главные напряжения и главные деформации:Интенсивности напряжений и деформаций используются в физических соотношениях теории пластичности. Процесс деформирования пластичных материалов может быть разделен на две стадии. Первая — упругое деформирование при малых деформациях. Компоненты тензоров напряжений и деформаций при этом связаны между собой законом Гука. Прежде чем перейти к установлению физических зависимостей на второй стадии (стадии пластического деформирования), следует определить условия возникновения пластических деформаций. В простейшем случае одноосного напряженного состояния это условие соответствует равенству напряжений пределу текучести от, при котором на диаграмме о~? имеется площадка текучести. При сложном напряженном состоянии условие появления пластических деформаций устанавливается на основании двух критериев, соответствующих двум теориям прочности.Таким образом, при решении задач теории пластичности необходимо следить за изменением интенсивности напряжений в каждой точке тела в течение всего процесса деформирования и при необходимости использовать соответствующие физические соотношения.Если процесс деформирования является активным, то решение задачи теории пластичности совпадает с решением задачи для нелинейно упругого материала, диаграмма aj ~ е;. которого также является нелинейной, но разгрузка идет не по линейному закону, как в случае упруго-пластического материала, а по той же диаграмме, и при снятии нагрузки деформации обращаются в нуль.Теория пластического теченияТеория пластического течения - это тот раздел теории пластичности, в котором деформация твердых тел приводит к значительным необратимым изменениям их формы, происходит при сложных термомеханических условиях, зачастую при высоких давлениях, температурах и скоростях.Однако в ней рассматриваются времена, за которые не успевают происходить релаксация и ползучесть. В кинематическом отношении рассматриваемые движения подобны течению вязких жидкостей.В теории пластического течения доказана теорема о единственности полей приращений напряжений, деформаций и перемещений в упрочняющемся теле. Гарантировать единственность приращений деформаций и перемещений в случае не упрочняющегося материала нельзя, хотя в частных задачах может быть доказана единственность указанных приращений и для идеально пластического материала.В теории пластического течения доказано, что существуют два соотношения, которые определяют силовые скалярные величины - среднее давление а и интенсивность напряжений GI - через всевозможные кинематические и температурные скалярные величины. При ограниченных значениях температур и давлении и значительной величине сдвиговых деформаций, имеющих место в процессах обработки металлов давлением, упругие и температурные изменения объема металла весьма малы по сравнению со степенью деформации, а сопротивление металла деформации зависит главным образом от температуры, степени е и скорости деформации.В теории пластического течения, как и в теории малых упруго-пластических деформаций, значительное упрощение происходит в случае простого нагружения, но здесь условия простого нагруже-ния настолько сильно сужают класс задач, что большинство практически важных случаев им не подчиняется. Однако есть другие обстоятельства, позволяющие развить теорию течения и ее приложения как самостоятельный раздел теории пластичности. В теории пластического течения доказана теорема о единственности полей приращений напряжений, деформаций и перемещений в упрочняющемся теле. Гарантировать единственность приращений деформаций и перемещений в случае не упрочняющегося материала нельзя, хотя в частных задачах может быть доказана единственность указанных приращений и для идеально пластического материала.В теории пластического течения понятие поверхности текучести (или поверхности нагружения) занимает центральное место. По предположению эта поверхность отделяет области упругого и пластического (склерономного) деформирования материала в пространствах напряжений или деформаций. Ассоциированный с поверхностью текучести закон течения определяет направление скорости пластической деформации: вектор последней нормален к этой поверхности. Деформационное упрочнение приводит к эволюции поверхности нагружения, ее закономерности являются определяющими в теориях пластичности; обычно они задаются феноменологически из тех или иных соображений. В теории пластического течения однозначная связь между ними не может быть установлена заранее. Поэтому при использовании для описания поведения конструкционного материала теории неизотермического пластического течения значение G(М) определяется последовательными приближениями.В теории пластического течения устанавливаются экстремальные свойства действительных приращений деформации (напряжения) по отношению к возможным приращениям. Из теории пластического течения изотропных и квази-изотроп-ных твердых тел известно, что главные оси напряженного состояния, как правило, совпадают по направлению и индексу с главными осями скорости деформации. Методы теории пластического течения позволяют определить течение металла при больших пластических деформациях, рассчитать формоизменение и расход энергии на деформирование в различных процессах обработки металлов давлением. Уравнения теории пластического течения, свободные от ряда недостатков, присущих теории упруго-пластических деформаций, но существенно более сложные, устанавливают связь между бесконечно малыми приращениями деформаций и напряжений и самими напряжениями.  Методы теории пластического течения материалов основаны на допущении, что в любой частице пластически деформируемого тела касательные напряжения на различно ориентированных площадках пропорциональны соответствующим скоростям сдвига. В другой формулировке это допущение приводится к допущению о совпадении направлений главных осей и вида напряженного состояния с направлением главных осей и видом весьма малой деформации, происходящей при переходе процесса формоизменения любой материальной частицы деформируемого тела в данную текущую его стадию из предшествующей бесконечно близкой.Изложенный вариант теории пластического течения предполагает изотропное упрочнение увеличения и не описывает эффект Баушингера.Однако он может быть использован как первое приближение при расчете сложного нагружения элементов конструкций.  На основе теории пластического течения рассматриваются подсадка биметаллической полосы и обжатие такой же трубы. Отмечается, что поверхность соприкосновения монометаллических слоев является поверхностью сопряжения решений. Скорости, деформации и радиальное напряжение на ней непрерывны; тангенциальное и среднее главное напряжение изменяются скачком.  Изложенный вариант теории пластического течения предполагает изотропное упрочнение по мере увеличения е и не описывает эффект Баушингера.Упрочняющиеся моделиИзвестно, что деформированное состояние упрочняющихся моделей тела является неравномерным и изменяется от точки к точке. При этом деформированное состояние в точке тела полностью определяется шестью компонентами деформаций: тремя относительными линейными деформациями, и тремя относительными угловыми деформациями. Впервые поверхность упрочняющих моделей деформационных состояний для несжимаемого жёстко-пластического тела в виде гиперболической поверхности третьего порядка в пространстве главных деформаций была предложена А. И. Хромовым. Развитие деформационно-энергетического подхода, связанного с формулировкой условия пластичности (условия предельного состояния жёстко-пластических тел), рассматривается в работах математически уравнение этой поверхности определяется условием не сжимаемости жёстко-пластического тела: в компонентах тензора скорости деформациив компонентах тензора конечных деформаций Кошив компонентах тензора конечных деформаций АльмансиВсе упрочняющие модели описываются линиями L на этой поверхности или их проекциями l на девиаторной плоскости. Вид линий на поверхности зависит от истории нагружения. В частности ортогональным линиям будет соответствовать одноосное деформирование цилиндрического образца. Данная поверхность является выпуклой, гладкой и обладает тремя осями симметрии в рассматриваемом пространстве главных деформаций.Форма линий упрочняющих моделей уровня (а далее в работе и кривой текучести) изменяется следующим образом: при приближении к недеформированному состоянию, она стремится к окружности (далее по аналогии с условием пластичности Мизеса); при удалении от этой точки она принимает всё более треугольно образную форму, которая в пределе стремиться к треугольнику (по аналогии с линией, которая рассматривается в, и представляет собой треугольник, соответствующий теории максимальных нормальных напряжений). Переход с одной линии уровня на другую происходит при одной и той же мощности работы внутренних сил для всех ортогональных процессов деформирования, которая совпадает с удельной мощностью работы внутренних сил при одноосном растяжении цилиндрического образца.На отдельной (фиксированной) линии уровня, характеризуемой определённым значением параметра |IE|, может быть поставлена задача идеальной пластичности. То есть при рассмотрении задач деформирования упрочняющегося жесткопластического тела на каждом уровне деформаций для определения компонент тензора скорости деформации εij может быть поставлена задача теории идеальной пластичности при заданном параметре |IE|, характеризующем положение поверхности нагружения.
Заключение
С позиций физики твердого тела теперь можно определить пластическое деформирование как процесс движения дефектов кристаллической решетки, осуществляемый со скоростями, превышающими скорости изменения внешних условий. Иначе говоря, если после выведения из положения равновесия дефектов (за счет внешних воздействий) время перехода в новое равновесное положение (время релаксации) существенно меньше характерного времени изменения внешних воздействий, то реализуемая при этом неупругая макро деформация может рассматриваться как пластическая.В случае сопоставимости этих скоростей в рассмотрение следует вводить внутреннее (вязкое) трение, оказывающее существенное влияние на движение различных дефектов. В этой ситуации поведение материалов зависит от скоростей изменения воздействий на него и описывается соотношениями вязкоупругости, вязкопластичности, упруговязкопластичности.В рамках деформационной теории пластичности тело идеализируется как нелинейно упругое. В частности, для заданного деформированного состояния напряжённое состояние не зависит от конкретного пути нагружения в пространстве деформаций.Достоинства теории заключаются в её простоте и возможности предсказания максимальных усилий в условиях монотонного пропорционального нагружения. Недостатки теории заключаются в её неприменимости в случае смены знака нагружения а также в случае сложного нагружения. С развитием вычислительной техники и численных методов механики сплошных сред деформационная теория была вытеснена более совершенной теорией типа течения.
Список использованной литературы
Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности. — М.: Наука, 2017.Ивлев Д. Д., Быковцев Г. И. Теория упрочняющегося пластического тела. — М.: Наука, 2015.Казаков Д. А., Капустин С. А., Коротких Ю. Г. Моделирование процессов деформирования и разрушения материалов и конструкций. Н. Новгород: Издательство Нижегородского государственного университета, 2019.Качанов Л. М. Основы теории пластичности. Москва: Наука, 2016.Хаар А., Карман Т. К теории напряжённых состояний в пластических и сыпучих средах // Теория пластичности. Сборник статей под ред. Ю. Н. Работнова. М.: ИЛ. 2015.