Хаос в квантовых системах

ВВЕДЕНИЕ
Квантовый хаос — динамика квантовых систем, соответствующих хаотическим классическим системам.Представленная тема реферата является довольно актуальной в современном мире, поскольку с понятием квантовый хаос человек сталкивается довольно часто.Целью представленного исследования выступает рассмотрение понятия хаоса в квантовых системах.Для выполнения поставленной цели были сформулированы следующие задачи: рассмотреть понятие хаоса в квантовых системах;изучить задачу эйнштейна от 1917 года;разобрать универсальные признаки квантового хаоса;рассмотреть применение современного специализированного программного обеспечения vissim, matlab, mathcad, simulink при изучении хаоса в квантовых системах.
ГЛАВА 1. ПОНЯТИЕ ХАОСА В КВАНТОВЫХ СИСТЕМАХ
Существование хаотического движения в классических консервативных системах естественно приводит к вопросу о том, каким образом нерегулярность движения проявляется в соответствующих квантовых системах. Аналогичные вопросы возникают в задачах физики плазмы, оптики или акустики, где нас также могут интересовать свойства решений волновых уравнений, которые в классическом пределе (ВКБ-приближение, геометрическая оптика) описывают стохастические траектории.Вопрос о поведении квантовых систем, неинтегрируемых в классическом пределе, обсуждался еще на заре квантовой механики, поскольку он был связан с проблемой квантования систем с непериодическим движением (напомним, что в то время квантование периодических систем проводилось по правилу Бора — Зоммерфельда. Появление волновой механики и ее дальнейшее развитие позволяют нам свести вопрос о временной эволюции любой квантовой системы к решению нестационарного уравнения Шредингера (1): (1)где Н — оператор гамильтониана системы, Ф — его волновая функция и Чтобы объяснить трудности, возникающие при переходе от классических хаотических систем к их квантовому аналогу, напомним основные различия между классическими и квантовыми системами.1. По сравнению с классической механикой, в которой переход к статистическому описанию необходим лишь в случае хаотического поведения системы, в квантовой механике по существу возможно только статистическое описание. Хотя уравнение Шредингера линейно по Ф и его решение в некоторых случаях можно легко получить в виде регулярной зависимости -функций от времени (например, для гармонического осциллятора), несмотря на отсутствие временного хаоса, это еще не означает, что поведение системы полностью детерминировано. Действительно, величина дает лишь вероятность найти электрон в пространственно-временной точке.2. Согласно принципу неопределенности Гейзенберга (2:) (2)в квантовой механике отсутствует понятие траектории движения (измерение координаты q с точностью приводит к возмущению импульсар на величину в соответствии с. Поэтому описание хаотического движения на основе экспоненциально быстрого разбегания близких траекторий в квантовой механике становится невозможным.3. Из принципа неопределенности также следует, что точки в-мерном фазовом пространстве, находящиеся внутри объема размером неразличимы, т. е. фазовое пространство дискретно. Это означает, что если области в фазовом пространстве с классическим хаотическим движением имеют размер, меньший чем то в квантовой механике такие области «не видны» и можно ожидать, что поведение соответствующей квантовой системы будет регулярным. Таким образом, отличие от нуля постоянной Планка ведет к подавлению хаоса. С другой стороны, это затрудняет предельный переход (для тех систем, которые в классическом пределе обнаруживают хаотическое поведение), поскольку при уменьшении h в фазовом пространстве появляются все более и более мелкие структуры.Далее мы будем различать автономные системы с не зависящими от времени гамильтонианами и неавтономные системы. Примером неавтономной системы может служить квантовый аналог ротатора с периодическими толчками.Для автономных систем с помощью замены можно перейти от к линейной задаче нахождения собственных значений энергии Е (3): (3)Если уровни дискретны, волновая функция Ф ведет себя во времени регулярным образом, что говорит об отсутствии хаоса. Однако остаются принципиальные вопросы, например о том, при каких условиях это имеет место и имеется ли какое-либо различие между энергетическими спектрами квантовых систем с регулярным классическим поведением и систем, которые в классическом пределе являются хаотическими?Вопрос о поведении неавтономных систем с зависящим от времени гамильтонианом может быть связан, например, с задачей о распределении энергии (по уровням) молекулы, находящейся в поле лазерного луча. Такие вопросы имеют практическое значение в лазерной фотохимии.Более конкретно, нас интересуют ответы на следующие вопросы: существует ли квантовый хаос? в каких терминах его можно описать? имеется ли в квантовой механике какая-либо аналогия той иерархии классического хаоса, которая отражена в табл. 12? что означает теорема КАМ для квантового движения? В настоящее время вопросов больше, чем ответов.Чтобы по крайней мере понять суть этих вопросов, мы рассмотрим несколько модельных систем.В реферате исследуется квантовый аналог отображения Арнольда, в котором классическое движение полностью хаотическое, и показывается, что в такой системе нет хаоса. Это связано с конечным значением постоянной Планка и с двойными периодическими условиями, приводящими к дискретности собственных значений оператора эволюции, вследствие чего движение будет квазиперио-дическим.В следующем разделе приводятся численные результаты (McDonald, Kaufman, 1979), из которых видно, что энергетический спектр свободной квантовой частицы в стадионе (с классическим хаотическим движением) существенным образом отличается от спектра свободной (квантовой) частицы в круге (классическое движение регулярно).[1
ГЛАВА 2. ЗАДАЧА ЭЙНШТЕЙНА ОТ 1917 ГОДА
Исследование квантового хаоса в сложных системах представляет собой чрезвычайно увлекательную и активную область современной физики, химии и математики. Однако не столь известно, что эта область исследований своим происхождением обязана вопросу, впервые поставленному Эйнштейном во время доклада о связях между классической и квантовой механикой сильно хаотических систем, прочитанного в Берлине 11 мая 1917 года. С исторической точки зрения это кажется почти невозможным, поскольку квантовая механика еще не была изобретена и явление хаоса едва ли было знакомо физикам в 1917 году. Сейчас, когда мы празднуем семидесятипятилетний юбилей нашей alma mater «Гамбургского университета» (основан 10 мая 1919), любопытно взглянуть на физику тех дней. Большинство физиков, по-видимому, назовут это время эпохой старой квантовой теории, которая была создана Планком в 1900 году и затем развивалась под влиянием гениальной, но парадоксальной модели атома Бора и правил Бора-Зоммерфельда для квантования простых квантовых систем. Некоторые могут связать эти годы с величайшим вкладом Эйнштейна — созданием общей теории относительности с кульминацией в виде общековариантной формы уравнений поля для гравитации, которые были найдены Эйнштейном в 1915 году (и, независимо, математиком Гильбертом в это же время). В своем докладе в мае 1917 года Эйнштейн рассматривал условия квантования БораЗоммерфельда R pi dqi = 2πni~, i = 1, . . . , l, для систем с l степенями свободы, где qi — координаты, a pi — сопряженные с ними импульсы. Через ~ обозначена константа Планка, деленная на 2πi, а ni — целые квантовые числа. (Эйнштейн называет эти квантовые условия «Квантовое условие Зоммерфельда-Эпштейна».) Он подчеркивает, что произведения pi dqi в общем случае не являются инвариантными и поэтому эти квантовые условия не имеют инвариантного смысла, а зависят от выбора системы координат, в которой классическое движение является разделяемым (если такая существует). При исследовании простого примера двумерного движения частицы под действием притягивающей центральной силы Эйнштейн обнаружил общую координатноинвариантную формулировку квантовых условий (k = 1, 2, . . . , l) (1) (1)заметив, что линейные интегралы от один-формы P i pidqi , взятые по всему множеству топологически эквивалентных («нередуцируемых») замкнутых петель Lk, являются инвариантными. В отличие от исходной версии условий квантования нет необходимости явно выполнять разделение переменных. Действительно, нет требования, чтобы движение было сепарабельным, достаточно лишь, чтобы оно было многократно периодическим. Однако, Эйнштейн указал, что условия (1.1) могут быть выписаны только в случае очень частной системы, для которой существуют l интегралов для 2l уравнений движения вида Rk(pi , qi) = const, где Rk — алгебраические функции от pi такие, что соответствующие многообразия в 2l-мерном фазовом пространстве имеют форму l-мерных торов. В современной терминологии эти системы называются интегрируемыми системами. (Здесь и в дальнейшем мы рассматриваем только гамильтоновы системы, т. е. движение, обусловленное уравнением Ньютона без диссипации. l констант Ri , предполагаются «достаточно гладкими» и находящимися в инволюции, т. е. их пуассоновы скобки друг с другом равны нулю.[2]
ГЛАВА 3. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ПРИЗНАКИ КВАНТОВОГО ХАОСА
Наиболее поразительным свойством детерминированного хаоса является чувствительная зависимость от начальных условий такая, что близкие траектории в фазовом пространстве отдаляются друг от друга с экспоненциальной скоростью. В результате долговременное поведение сильно хаотической системы непредсказуемо. Возникает фундаментальный вопрос, проявляет ли это вполне определенное явление классического хаоса себя в квантовом мире посредством аналогичного явления, которое можно было бы назвать «квантовым хаосом». Под этим мы понимаем следующее. Дана классическая динамическая система, которая является сильно хаотической, существует ли какое либо проявление в соответствующей квантовой системе, которое выдает свой хаотический характер. По аналогии с классическим случаем первым делом по-видимому следует искать возможное хаотическое поведение для случая квантовой механики в долговременном поведении системы. Однако оказывается, что долговременный предел в квантовой механике находится под надежным контролем ввиду фундаментального факта, что оператор эволюции по времени e −iH t/ является унитарным и поэтому его спектр лежит на единичной окружности. Более того, для систем с ограниченными состояниями системы спектр является дискретным, и эволюция по времени, таким образом, является почти периодической в смысле теории Гаральда Бора почти периодических функций. Здесь возникает отличие от классических систем, для которых, эволюцией по времени которых управляет оператор Лиувилля. Если классическая система является смешанной и хаотической, то спектр Лиувиллиана имеет непрерывную часть на единичной окружности [23] и, таким образом, эволюция по времени является непредсказуемой для больших промежутков времени. Это фундаментальное отличие между классической и квантовой эволюцией по времени привело к общему убеждению, что «кажется маловероятным» [13], что в квантовой механике существует что-либо сравнимое с хаотическим поведением классических динамических систем. С другой стороны, в предисловии к своей книге Гутцвиллер писал : «Этот вопрос до сих пор остается открытым и все предварительные ответы наводят на мысль, что квантовая механика является более глубокой, чем полагает большинство из нас.».В 1984 году Бохигас и др. в выдвинули гипотезу, что статистические свойства флуктуации энергетических уровней хаотических систем описываются универсальными законами теории случайных матриц. Однако, сегодня известно, что предсказания теории случайных матриц выполняются только для близкодействующих и среднедействующих корреляций квантового спектра, но совершенно непригодны для дальнедействующих корреляций.Mathcad –это приложение для математических и инженерных вычислений, промышленный стандарт проведения, распространения и хранения расчетов.Mathcad – продукт компании PTC – мирового лидера разработки систем САПР, PDM и PLM. Mathcad является универсальной системой, т.е. может использоваться в любой области науки и техники – везде, где применяются математические методы.Mathcad — система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается лёгкостью использования и применения для коллективной работы.Mathcad был задуман и первоначально написан Алленом Раздовом из Массачусетского технологического института (MIT), соучредителем компании Mathsoft, которая с 2006 года является частью корпорации (Parametric Technology Corporation).Mathcad имеет интуитивный и простой для использования интерфейс пользователя. Для ввода формул и данных можно использовать как клавиатуру, так и специальные панели инструментов.Некоторые из математических возможностей Mathcad (версии до 13.1 включительно) основаны на подмножестве системы компьютерной алгебры Maple (MKM, Maple Kernel Mathsoft). Начиная с 14 версии — использует символьное ядро MuPAD.Работа осуществляется в пределах рабочего листа, на котором уравнения и выражения отображаются графически, в противовес текстовой записи в языках программирования. При создании документов-приложений используется принцип WYSIWYG (What You See Is What You Get — «что видишь, то и получаешь»).Несмотря на то, что эта программа, в основном, ориентирована на пользователей, не являющихся программистами, Mathcad также используется в сложных проектах, чтобы визуализировать результаты математического моделирования путём использования распределённых вычислений и традиционных языков программирования. Также Mathcad часто используется в крупных инженерных проектах, где большое значение имеет трассируемость и соответствие стандартам.Mathcad достаточно удобно использовать для обучения, вычислений и инженерных расчетов . Открытая архитектура приложения в сочетании с поддержкой технологий и позволяют легко интегрировать Mathcad практически в любые ИТ-структуры и инженерные приложения. Есть возможность создания электронных книг (e-Book).[3]
ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕМ СОВРЕМЕННОГО СПЕЦИАЛИЗИРОВАННОГО ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ VISSIM, MATLAB, MATHCAD, SIMULINK ПРИ ИЗУЧЕНИИ ХАОСА В КВАНТОВЫХ СИСТЕМАХ
Среди бурно развивающихся систем компьютерной математики (СКМ), в первую очередь ориентированных на численные расчеты, особо выделяется матричная математическая система MATLAB. Система MATLAB вобрала в себя весь передовой опыт развития современной компьютерной математики. MATLAB в новейшей своей реализации имеет большое число пакетов расширения. Самым известным из них стало расширение Simulink, обеспечивающее блочное имитационное моделирование различных систем и устройств. Simulink предназначен для моделирования динамических систем, модели которых составляются из отдельных блоков (компонентов). В нем реализованы принципы визуально-ориентированного программирования, что позволяет легко набирать нужные блоки и соединять их в виде модели системы или устройства. Программа VisSim предназначена для построения, исследования и оптимизации виртуальных моделей физических и технических объектов, в том числе и систем управления. VisSim – это аббревиатура выражения Visual Simulator – визуальная, воспринимаемая зрением среда и средство моделирования. Язык и программная среда VisSim широко используется в разработке систем управления и цифровой обработки сигналов для моделирования и дизайна. Она включает в себя блоки для арифметики, булевых и трансцендентных функций, а также цифровые фильтры, передаточные функции, численного интегрирования и интерактивного вывода. Основными областями моделирования являются аэрокосмическая, биологическая/медицинская, Digital Power, электродвигатели, электрические, гидравлические, механические, тепловые процессы, эконометрика.Свободно распространяемый VisSim Viewer предоставляет возможность обмениваться моделями с коллегами и клиентами, не имеющими лицензии VisSim. Viewer способен выполнить любую модель VisSim и при этом позволяет изменять параметры блоков и модели, чтобы проиллюстрировать различные сценарии. Если модель содержит бегунки и кнопки, то они также будут активны. [4]
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе написания реферата были изучены все поставленные в начале работы задачи:рассмотрено понятие хаоса в квантовых системах;изучена задача Эйнштейна от 1917 года;разобраны универсальные признаки квантового хаоса;рассмотрено применение современного специализированного программного обеспечения vissim, matlab, mathcad, simulink при изучении хаоса в квантовых системах.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний/ В.Д. Горяченко. – Красноярск: Изд- во Красноярск. ун-та, 2001. – 429 с.Кузнецов С.П. Динамический хаос. Москва, Физматлит, 2001.Мещеряков В.В. Задачи по математике с MatLab&Simulink. – М.: Диалог-МИФИ, 2007. – 528 с.Дьяконов В.П. VisSim+MathCAD+MATLAB. Визуальное математическое моделирование. – М.: СОЛОН-Пресс, 2004. – 384 с.