Эконометрика и моделирование в менеджменте

ВВЕДЕНИЕ
Основные термины математического моделирования и эконометрикиЭконометрика – это наука, изучающая количественные закономерности и взаимосвязи в экономике [6. с. 5].Она зародилась и получила свое развитие на основе слияния экономической теории, математической экономики, экономической и математической статистики. В современной эконометрике широко используются информатика, статистические пакеты прикладных программ. В качестве объекта в эконометрике выступает экономика, различные экономические явления и взаимосвязи. Предметом является их количественные характеристики. Задачи эконометрики: - построение эконометрических моделей и оценивание их параметров;- проверка гипотез, о свойствах показателей и формах их связей.Эконометрический анализ – это основа для экономического анализа и прогнозирования.Эконометрика базируется на реальных экономических данных. Существуют следующие типы данных [6, с. 7]:- пространственные данные – данные о каком-либо экономическом показателе, полученные от однотипных объектов и относящиеся к одному моменту (периоду времени). Модели, построенные по пространственным данным, называются пространственными моделями;- временные ряды – данные об экономическом показателе, характеризующем какой-либо объект в различные моменты времени. Модели, построенные на временных рядах, называются моделями временных рядов.В эконометрике выделяют следующие основные классы моделей:1. Модели временных рядов: - модели тренда (описывают устойчивые изменения экономического показателя в течение длительного времени);Уравнение тренда – это уравнение в виде математической функции, описывающее зависимость уровней динамического ряда от фактора времени [2, с. 145].- модели сезонности (описывают устойчивые внутригодовые колебания);- модели авторегрессии (в них описываются влияния значения объясняемого экономического показателя в прошедший момент времени на его значение в текущий момент времени).2. Регрессионные модели с одним уравнением [6, с. 6]. В них объясняемый экономический показатель представляется в виде функции от объясняющих экономических показателей (факторов). В зависимости от вида функции эти модели бывают: линейные и нелинейные. 3. Системы одновременных уравнений – это системы регрессионных уравнений, в которых в качестве объясняющих переменных используются объясняемые переменные из других уравнений системы.По мере того как какаялибо наука становится более точной, в ней во все больших масштабах применяется математическое описание исследуемых объектов и явлений.В экономической литературе представлено следующее понятие моделирования. Моделирование — это особый метод познания окружающего мира, который относится к общенаучным методам [7, с. 14]. Математическая модель – это приближенное представление реальных объектов, процессов или систем, выраженное в математических терминах и сохраняющих существенные черты оригинала. Математическое моделирование ‒ это средство изучения реального объекта, процесса или системы путем их замены математической моделью, более удобной для проведения необходимых исследований [7, с. 22]. Модели производстваПроизводство – это процесс использования рабочей силы и оборудования в сочетании с природными ресурсами и материалами для изготовления необходимых товаров и выполнения услуг. При любом уровне развития технологии существует устойчивая связь между затратами факторов производства и выпуском продукции. Эту связь в экономической науке называют производственной функцией. В производстве, участвует множество факторов, но в упрощенной форме обычно рассматривается производственная функция, учитывающая два основных фактора – труд и капитал [4, с. 9]:Q = f(K, L), (1)где Q – объем выпуска, K – затраты капитала, L – затраты труда. Производственная функция показывает, какой объем производства будет создан при данных затратах труда и капитала. Для каждой фирмы будет характерна своя производственная функция, отражающая уровень технологического развития и эффективность использования ресурсов данной фирмой.Для объяснения фундаментальных экономических понятий «экономический выбор» и «альтернативная стоимость» может быть использована модель «кривая ил граница производственных возможностей» (КВП).Условные допущения, принимаемые при построении кривой производственных возможностей (КПВ):- производится два блага;- в течение короткого времени количество и качество ресурсов не меняется; -применяемые технологии неизменны;- ресурсы используются полностью и наиболее эффективным образом.1754505230505Количество блага Y00Количество блага Y2668905240665На рисунке 1 представлен общий вид КПВ.Количество блага YКоличество блага Y304927015240C00C3232785193040286448527432000CC3282950104775A00A3293745196215AA303720527940B00B307022541910BB412686529845Количество блага Х00Количество блага Х2668905192405Количество блага ХКоличество блага ХРисунок 1 – Общий вид кривой производственных возможностейКПВ показывает возможные объемы производства двух благ при полном и эффективном использовании ресурсов, т. е. какое максимальное количество блага Y может быть произведено при каждом возможном объеме производства блага X и наоборот [4, с. 10].Эффективное использование ресурсов означает в данном случае, что иное их использование не может обеспечить одновременный рост производства и блага X, и блага Y, т. е. ресурсы используются наилучшим образом. Точки на кривой (А) соответствуют наборам благ, которые могут быть произведены при полном и эффективном использовании ресурсов. очки под кривой(В) соответствуют наборам благ, которые могут быть произведены, но при этом ресурсы будут использоваться или не полностью, или неэффективно. При этом может быть увеличено производство как одного, так и другого блага. Точки над кривой(С) соответствуют наборам благ, которые не могут быть произведены, так как для их производства ресурсов не хватит [4, с. 11].Задача оптимизации заключается в повышении эффективности технологических и организационных систем (металлорежущего станка, автоматической линии, производства в целом) при помощи принятия продуманных решений. Главное в постановке задачи оптимизации: максимизация или минимизация целевой функции. Оптимизировать можно разные процессы производства: себестоимость детали (минимизация), быстродействие оборудования, доход от реализации (максимизация) [4, с. 57].Задачей (проблемой) оптимизации является минимизация или максимизация каких-либо необходимых показателей в процессе организации производства и принятия решений, таких как общее затраченное время, фактическая продолжительность, стоимость и т.д., учитывая заданные условиями реальной задачи ограничения.Проблемы оптимизации возникают во всех областях производства и экономики, например, разработка технологического процесса, увеличение производительности, логистике, управлении трафиком, транспортными потоками, рабочей нагрузкой, стратегическом планировании.Двойственность является важным понятием в линейном программировании, имеющим экономическое (практическое) применение. Например, для задачи оптимального распределения ресурсов для производства некоторых видов товаров пара прямой и двойственной задачи принимает следующий экономический смысл: Прямая задача: Сколько и какой продукции xj необходимо производить, чтобы при заданных доходах Cj и объемах ресурсов bi максимизировать доход от продажи продукции? Двойственная задача: Какова должна быть "теневая" цена каждого ресурса yi, чтобы при заданных количествах bi и доходах Cj минимизировать затраты?Модели потребленияСпрос –количество товара, которое покупатели готовы (то есть хотят и могут) купить на рынке в единицу времени. Рыночный спрос на товар зависит от различных факторов. Во-первых, от цены на данный товар. Этот фактор иногда называют ценовым фактором. Во-вторых, от других факторов, которые принято называть неценовыми. К ним относятся уровень доходов, цены на другие товары, сложившиеся вкусы, предпочтения покупателей [4, с. 20].Закон спроса заключается в том, что при прочих равных условиях цена товара и величина спроса на него находятся в обратной зависимости – чем больше цена, тем меньше величина спроса. Закон спроса можно объяснить действием:- Эффекта нового покупателя: снижение цены позволяет новым покупателям предъявлять спрос на данный товар;- Эффекта замещения: снижение цены приводит к тому, что люди отказываются от товаров-заменителей, цены на которые не изменились и хотят купить больше подешевевшего товара;- Эффекта дохода: снижение цены приводит к тому, что у людей появляются свободные деньги, которые они зачастую тратят на подешевевший товар;- Закона убывающей предельной полезности.Предложение –количество товара, которое продавцы готовы (то есть хотят и могут) про-дать в единицу времени. Рыночное предложение товара зависит от различных факторов. Во-первых, от цены на данный товар. Этот фактор иногда называют ценовым фактором. Во-вторых, от других факторов, которые принято называть неценовыми. К ним относятся технология производства товара, цены на используемые в производстве ресурсы [4, с. 22].Закон предложения состоит в том, что при прочих равных условиях цена товара и величина его предложения находятся в прямой зависимости – чем больше цена товара, тем больше величина его предложения.Эластичность спроса по цене, или ценовая эластичность спроса, –показатель реакции величины спроса на товар на изменение цены данного товара. Эластичность предложения по цене, или ценовая эластичность предложения, –показатель реакции величины предложения товара на изменение цены данного товара.34426072369729S00S27197702364986D00D279673424326592773408242332823421262197281P00P27267552292700Условием рыночного равновесия является совершенная конкуренция. Рыночное равновесие –ситуация на рынке, когда при данной цене величина спроса равна величине предложения. Равновесная цена – цена, при которой количество товара, предлагаемого продавцами, совпадает с количеством товара, которое готовы купить покупатели. Равновесное количество – количество товара, соответствующее равновесной цене. Ситуация рыночного равновесия представлена на графике 2. Это точка пересечения кривой спроса и кривой предложения.SSDDPP279820221615Qe – равновесное количество товара00Qe – равновесное количество товара2729103595Pe – равновесная цена товара00Pe – равновесная цена товараQe – равновесное количество товараQe – равновесное количество товараPe – равновесная цена товараPe – равновесная цена товара32025902601432731420260143236555699579Pe00PePePe3076575115285Qe00Qe399995522950Q00Q2726754172435QeQeQQРисунок 2 – Ситуация рыночного равновесияЕсли цена товара выше равновесной (P> Pe), то величина предложения товара больше, чем величина спроса на него, на рынке образуется излишек товара и его цена начнет снижаться. Если цена товара ниже равновесной (P < Pe), то величина спроса на товар больше величины его предложения, на рынке образуется дефицит товара и его цена начнет повышаться [8, с. 24].Теория потребительского поведения – это теория, рассматривающая поведение потребителей на рынке, раскрывающая механизм взаимодействия потребностей и спроса. В основе формирования рыночного спроса лежат решения отдельных потребителей. Эти решения продиктованы желанием достичь наибольшей выгоды, или отдачи, или полезного эффекта, при имеющихся затратах или возможностях. Теория потребительского выбора основана на том, что потребитель имеет определённые индивидуальные вкусы и предпочтения, что он ограничен в удовлетворении своих вкусов и предпочтений бюджетным ограничением (своими доходами) и что он делает в этих условиях выбор, обеспечивающий максимально возможную полезность [10, с. 80].Модель ВВПОсновной показатель, характеризующий результаты экономического развития страны – валовой внутренний продукт (ВВП).Валовой внутренний продукт (ВВП) –рыночная стоимость конечных товаров и услуг, созданных в течение года внутри страны [4, с. 81]. Важно пояснить следующее:- «рыночная стоимость». Чтобы оценить результаты экономического развития страны, необходимо знать, какое количество товаров и услуг производится в стране. Однако сведения о том, что количество производимых, например, самолетов снизилось, а легковых автомобилей выросло, не дадут ответа на вопрос: как в целом идут дела в экономике. Надо все производимые товары и услуги (автомобили, холодильники, обеды в столовой, услуги прачечных и др.) как-то соизмерить, т. е. привести к общему знаменателю. В качестве общего измерителя можно использовать рыночные цены, т.е. те цены, по которым фактически покупаются товары и услуги на рынке. Таким образом, рыночная стоимость –это денежная оценка товаров и услуг в рыночных ценах.- «конечные товары и услуги». Если сложить рыночные цены всех товаров и услуг, произведенных в стране за год, то будет иметь место повторный счет. Чтобы его избежать, необходимо учитывать только стоимость конечной продукции, а стоимость промежуточной продукции не учитывать. Конечная продукция – товары и услуги, которые покупатель приобретает не для дальнейшей переработки, а для удовлетворения своих потребностей или использования на своем предприятии в качестве средств труда (здания, машины, оборудование).Промежуточная продукция –товары и услуги, которые были использованы в процессе производства другого товара, т. е. были подвергнуты дальнейшей переработке [4, с. 82].К конечной продукции относятся:- потребительские товары и услуги, которые служат для удовлетворения личных потребностей людей (продукты питания, одежда, бытовая техника, личные автомобили, услуги парикмахера, услуги портного и др.);- все построенные в текущем году здания и сооружения, изготовленные в текущем году машины и оборудование;- товары и услуги коллективного потребления, которые оплачиваются государством (услуги школ, больниц, услуги правоохранительных органов и др.);- «созданные в течение года». В ВВП продажа товаров, бывших в употреблении не учитывается, а учитывается только продукция, произведенная в этом году. Продукция, произведенная в прошлые годы, учитывается в ВВП прошлых лет.- «внутри страны». В ВВП учитывается продукция, произведенная на территории страны. При этом не важно, произведена ли она с использованием национальных или иностранных факторов производства.ВВП рассчитывается, как сумма расходов всех экономических субъектов на приобретение конечной продукции.ВВП = C + Lg + G + (Ex – Lm), (2)гдеC – личные потребительские расходы;Lg – валовые частные инвестиции;G – государственные закупки товаров и услуг;(Ex – Lm) – чистый экспорт.Личные потребительские расходы–это расходы домашних хозяйств на приобретение товаров и услуг для удовлетворения личных потребительских нужд (приобретение продуктов, одежды, книг, мебели, автомобилей, услуг парикмахера, таксиста и т. д.).Валовые частные инвестиции–это расходы предприятий на приобретение новых инвестиционных товаров (здания, сооружения, машины, оборудование).Государственные закупки товаров и услуг – расходы государственных учреждений в связи с производством благ, бесплатно предоставляемых обществу (услуги по обеспечению обороны страны, правопорядка, государственному управлению, услуги дорожного хозяйства, услуги, оказываемые учреждениями системы государственного образования, здравоохранения и т. д.).Чистый экспорт–это величина экспорта товаров и услуг за вычетом импорта товаров и услуг.Элементы теории вероятностей и математической статистикиТеория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений [12, с. 7].Случайное явление – это явление с неопределенным исходом, происходящее при неоднократном воспроизведении определенного комплекса условий.Стоит отметить, что в природе, технике и экономике в каждом явлении присутствует случайность: в спросе на товар, в погодных условиях и прочем.Существует два подхода к изучению явлений: «детерминистский» и «вероятностный». При первом подходе выделяют основные факторы, характеризующие явление, а при втором – учитывают, помимо основных факторов, второстепенные, которые, если их не учесть, как раз и приводят к случайным возмущениям и искажениям результата.Математическая статистика – это раздел математики, изучающий математические методы сбора, систематизации, обработки и интерпретации результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей [12, с. 9].В конечно счете, теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений на основе абстрактного описания, а математическая статистика уже на основе этого описания оперирует непосредственно результатами конкретных наблюдений. Можно сказать, что теория вероятностей – это базис, фундаментальная надстройка математической статистики, которая уже применяется в реальной жизни.Согласно определению, вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятных ему, к общему числу случаев [12, с. 12]:p (A) = mn, (3)гдеm – число случаев, благоприятных событию А;n – общее число случаев.Если события В и С не могут произойти одновременно, то вероятность того, что произойдет одно из событий В или С, равна сумме вероятностей этих событий:P(A + B) = P(A) + P(B). (4)Если событие В не зависит от события С, то вероятность того, что произойдут оба события В и С, равна произведению вероятностей этих событий:P(A · B) = P(A) · P(B). (5)При решении задач на нахождение вероятностей часто удобно использовать сведения из комбинаторики, в частности, правила суммы и произведения. Основной задачей комбинаторики является определение числа способов выполнения некоторых точно определенных операций, или, другими словами, определение числа подчиненных тем или иным условиям комбинаций, которые можно составить из заданной совокупности объектов.Если теория вероятностей исследует явления, то в математической статистике вероятностная модель определена с точностью до неизвестных параметров. Отсутствие сведений о параметрах компенсируется «пробными испытаниями, на основе которых и восстанавливается недостающая информация.Задачи математической статистики:- определение способов сбора и группировки статистической информации;- разработка методов анализа статистических данных, интерпретация и формирование выводов. Классическая Модель Линейной Регрессии Нарушения предпосылок Гаусса-МарковаКорреляционно-регрессионный анализ является одним из наиболее распространенных и гибких приемов обработки статистических данных. Данный метод заключается в построении и анализе экономико-математической модели в виде уравнения регрессии (корреляционной связи), характеризующего зависимость признака от определяющих его факторов. Основной задачей регрессионного анализа выступает выявление наличия корреляционной связи и ее аналитического выравнивания в виде уравнения регрессии. Уравнение регрессии – это модель в виде математической функции, описывающая зависимость между факторным и результативным признаком. Например, при прямой зависимости уравнение регрессии выглядит следующим образом:yx=a+bx, (6)гдеyx- результативный показатель; x - факторный признак; a – параметр уравнение регрессии;b – коэффициент регрессии.Факторным называется признак под влиянием, которого изменится результативный признак, а результативным называется зависимый признак. Если связь между факторным и результативным признаком является тесной, то полученное уравнение регрессии имеет практическое значение и может быть использовано для прогнозирования результативного показателя. Для того чтобы провести корреляционно-регрессионный анализ необходимо в первую очередь произвести теоретический анализ сущности изучаемого явления с целью научного обоснования наличия зависимости на основании знания экономических законов развития общества. Затем необходимо выбрать вид математической функции для уравнения регрессии. Существует несколько способов выбора математической функции – это аналитический, графический и экспериментальный.Совокупность точек соответствующих каждой паре значений факторного и результативного признака признаков называется корреляционным полем. Если корреляционное поле вытянуто из нижнего левого угла в правый верхний, то зависимость прямая и наоборот. Затем нужно рассчитать параметры уравнения регрессии в зависимости от того какой был выбран вид математической функции путем решения системы уравнений. Их можно рассчитать методом наименьших квадратов.na+bx=у;ax+bx2=xy. (7)После чего чтобы проверить правильность уравнения регрессии в него по очереди должны подставлять все значения X.Для экономической интерпретации полученной регрессионной модели используют:Коэффициент регрессии, который показывает, на сколько единиц изменился результативный признак с увеличением факторного признака на единицу;Коэффициент эластичности, показывающий, на сколько процентов изменился результативный признак при увеличении факторного признака на 1 процент.При анализе, чтобы оценить тесноту связи факторов необходимо воспользоваться линейным коэффициентом корреляции. Его используют для оценки тесноты линейной связи. Коэффициент принимает как положительное, так и отрицательное значение. Если значение линейного коэффициента положительное, то связь прямая, если отрицательное, то связь обратная.Чтобы дать качественную оценку тесноты связи используют шкалу Чэддока (табл.1).Таблица 1 - Шкала Чеддока№ группыЗначение показателейТеснота связи1231 0,1 – 0,3Слабая20,3 – 0,5Умеренная30,5 – 0,7Заметная40,7 – 0,9Высокая50,9 – 0,99Очень высокаяСредняя ошибка аппроксимации применяется для того, что проверить качество модели. Модель является качественной, если ошибка не превышает 10%.Теорема Гаусса-Маркова гласит, что наилучшие оценки параметров уравнения регрессии могут быть получены при обязательном соблюдении следующих предпосылок:Математическое ожидание случайного отклонения равно нулю.Данное условие означает, что случайное отклонение в среднем не оказывает влияния на зависимую переменную, случайный член может быть положительным или отрицательным, но он не должен иметь систематического смещения.Дисперсия случайных отклонений постоянна.Условие независимости дисперсии ошибки от номера наблюдения называется гомоскедастичностью. Невыполнимость этой предпосылки называется гетероскедастичностью. Случайные отклонения являются независимыми друг от друга. Выполнимость этой предпосылки предполагает, что отсутствует систематическая связь между любыми случайными отклонениями. Величина и определенный знак любого случайного отклонения не должны быть причинами величины и знака любого другого отклонения.Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих переменных.Модель является линейной относительно параметров. Для случая множественной линейной регрессии существенными являются еще две предпосылки.Отсутствие мультиколлинеарности. Между объясняющими переменными отсутствует сильная линейная зависимость.Случайные отклонения εi, i = 1, 2, ... , n, имеют нормальное распределение.7. Основные термины анализа временных рядовОдной из важнейших задач статистики является изучение изменений анализируемых показателей во времени, то есть их динамика. Эта задача решается при помощи анализа рядов динамики.В экономической литературе представлено следующее определение временного ряда. Временным рядом называют последовательность наблюдений, обычно упорядоченную во времени (хотя возможно упорядочение и по какому-либо другому параметру). Основной чертой, выделяющей анализ временных рядов среди других видов статистического анализа, является существенность порядка, в котором производятся наблюдения [2, с. 29].Динамический ряд – это ряд расположенные в хронологическом порядке статистические данные, характеризующих явление во времени [5, с. 94].Виды динамических рядов по времени, отражаемому в рядах, бывают:Моментные – это динамические ряды, уровни которого характеризуют состояние явления на определенные период времени.Интервальные – это динамические ряды, уровни которого характеризуют размер явления за определенные период времени.От вида динамического ряда зависит способ расчета его среднего уровня. Для интервального ряда используют среднюю арифметическую простую. Для моментного, если значений больше двух, то среднюю хронологическую, а если ряд моментный не равностоящий, то среднюю арифметическую взвешенную. Важнейшим требованием к построению рядов динамики является обеспечение сопоставимости данных на протяжении всего динамического ряда. Существуют следующие показатели анализа рядов динамики:Абсолютный прирост, который показывает абсолютное изменение уровней динамики ряда в тех единицах измерения, в которых выражены уровни динамического ряда;Темп роста, который показывает сколько процентов (раз) составляет сравниваемый уровень от базы сравнения;Темп прироста показывает, на сколько процентов в среднем изменились уровни динамического ряда ежегодно;Абсолютное значение одного процента прироста показывает, какая абсолютная величина скрывает за каждым процентом прироста.В таблице 2 один представлены формулы показателей анализа рядов динамки [2, с. 45].Таблица 2 – Формулы показателей анализа рядов динамики№ п/пПоказательУсловные обозначенияСпособ расчета показателей динамикиБазисныйЦепной1Абсолютный прирост, ∆y∆yц – цепной абсолютный прирост;yi – уровень сравниваемого периода;yi-1 – уровень периода предшествующий сравниваемому;∆yб – базисный абсолютный прирост; y1 – уровень базисного периода;Тр (ц) – цепной темп роста;Тр (б) – базисный темп роста;Тпр (ц) – цепной темп прироста;Тпр (б) – базисный темп прироста.∆yб= yi- y1∆yц= yi- yi-12Темп роста, ТрТр (б) = yiy1×100Тр (ц) = yiyi-1×1003Темп прироста, ТпрТпр (б) = ∆y(б)yi×100Тпр (ц) = ∆y(ц)yi-1×1004Абсолютное значение одного процента прироста, [1%][1%] = ∆y (ц)Тпр (ц)В целях проведения более полного анализа необходимо рассчитать средние показатели рядов динамики. Средний абсолютный прирост рассчитывается по формуле 8:∆y=xn - x1n-1, (8)гдеn – число уровней ряда динамики,x1 – первый уровень ряда динамики,xn – последний уровень ряда динамики.Средний темп роста определяется по формуле 9:Tр= m-1ПTр(ц), (9)гдеm – число темпов роста.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Агаларов З. С., А. И. Орлов Эконометрика: учебник. М: Дашков и К, 2021. — 380 c.Алетдинова А.А., Антипова Ю.А., Иванова Т.М. Экономическое прогнозирование: учеб. пособие. Новосибирск: СибУПК, 2019. 180 с.Буравлев А. И. Эконометрика : учебное пособие. М: Лаборатория знаний, 2021. — 165 c.Буфетова А.Н., Веселая Л.С. Основы экономической теории: учеб. пособие. Новосибирск: НГУ, 2016. 140 с.Гусаров В. М., Проява С. М. Общая теория статистики: учеб. пособие для студентов вузов. М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2018. 207 c.Деружко Л. Ф. Эконометрика: учебно-методическое пособие. Минск: УО Белорусский государственный университет, 2019. – 41 с.Звонарев С. В. Основы математического моделирования: учебное пособие. Екатеринбург: Изд-во Урал ун-та, 2019. – 112 с.Наумов И. В. Эконометрика. Экономическое моделирование социально-экономических процессов: учебное пособие. М: Ай Пи Ар Медиа, 2021. — 127 c.Орлов, А. И. Эконометрика: учебное пособие. Москва, Саратов: Интернет-Университет Информационных Технологий (ИНТУИТ), Ай Пи Ар Медиа, 2020. — 676 c.Ромоданосвкая Н. Б. Концептуальная модель потребительского выбора // Московский экономический журнал. 2021. №10. С.78-89.Сиргалина Р. Р. Использование методов линейного программирования для решения задачи оптимизации производства // Символ науки. 2018. №6. С. 56-68.Трофимова Е. А. Теория вероятностей и экономическая статистика: учебное пособие. Екатеринбург: Изд-во Урал ун-та, 2018. – 160 с.