Эссе на тему: «Теория вероятностей в теории графов»

Эссе на тему:

«Теория вероятностей в теории графов»

Теория вероятностей является одной из классических отраслей математики. У него долгая история. Сегодня вероятностные и статистические методы глубоко укоренились в прикладных областях. Они используются в области физики, инженерии, домоводства, биологии и медицины. Особенно с развитием компьютерных технологий их роль возрастает. Например, для изучения физических явлений проводятся наблюдения и эксперименты.

Результаты обычно записываются в виде числа наблюдаемых величин. Если эксперимент повторить, результаты будут другими. Например, при определенных условиях (температура, влажность и т.д.) повторные измерения одной и той же величины одним и тем же измерительным прибором дадут хотя бы немного отличающиеся результаты.

При многократных измерениях невозможно точно предсказать следующее измерение. В этом смысле результат измерения считается случайной величиной. Случайность, случайность, случайная неудача, случайное открытие, случайная ошибка. Эту серию можно продолжать бесконечно. Математики давно задавались вопросом, какие законы существуют в мире случайностей!

Но здесь наука обнаруживает интересную закономерность - ту, которая дает нам уверенность, когда мы сталкиваемся со случайными событиями. Именно в 17 веке теория вероятностей начала развиваться как наука. Концепция вероятности возникла в результате потребности в азартных играх и необходимости страхования в то время, когда торговля и путешествия стремительно развивались.

Одним из самых простых способов решения задач в теории вероятностей является использование диаграмм вероятностей или деревьев вероятностей.

Диаграмма вероятности с метками строится (обычно) слева направо. Эксперименты (испытания) показаны в виде толстых точек или прямоугольников, а каждый результат - в виде непрерывной линии (ветви) от соответствующей точки или прямоугольника. Рядом с каждой ветвью показана вероятность соответствующего исхода. Сумма вероятностей ветвей из одного прямоугольника равна 1. Двигаясь по каждой ветви и перемножая соответствующие вероятности, мы получаем вероятность составного события в конце пути. Если мы сложим необходимые вероятности, то получим вероятность желаемого события.

Существует два основных типа графов: неориентированные и направленные. Неориентированный граф - это множество точек (вершин графа) с соединительными линиями (ребрами графа или ветвями), соединяющими некоторые из этих точек. Направленный граф - это множество точек (вершин), с направленными отрезками прямых (стрелками), соединяющими некоторые из этих точек. В этой статье будут использоваться только направленные графы.

Правила вычисления вероятностей по маркированным вероятностным графам следующие

1) Вероятность достижения конечной точки (вероятность исхода) может быть рассчитана путем перемножения вероятностей ребер соответствующих путей (рис. 1, жирный путь).

Рис. 1 Вероятность попадания в одну конечную вершину

2) Если нас интересует вероятность события в пользу исхода, мы суммируем вероятности соответствующих конечных узлов (рис. 2, путь жирной линии).

Пример 1: В каждой из трех групп по 25 студентов. Число студентов в каждой группе, сдавших экзамен по математике, составило 22, 20 и 18 соответственно. Какова вероятность того, что случайно выбранный студент сдаст экзамен по математике?

Ответ. Составьте маркированный график вероятности (рис. 4).

Рис. 2  Вероятность попадания в несколько вершин

Рис. 3 Вероятность сдачи экзамена студентами разных групп (пример 1)

Пусть L обозначает событие, когда случайно выбранный студент сдает экзамен. Этому событию благоприятствуют все три пути графика. Таким образом,

Пример 2 Студент знает 25 из 30 билетов и идет сдавать экзамен. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен, если он откажется отвечать на один билет и ему разрешат вытащить другой билет?

Ответ. Давайте составим маркированный вероятностный граф (рисунок 5). Пусть A - это событие, когда студент сдает экзамен: на графике вероятностей в точке 1 есть два пути, которые благоприятствуют этому событию. Поэтому

Рис. 5 Вероятность сдачи экзамена студентом (пример 2)

Пример 3 В первой банке находится 7 белых и 9 черных шаров, во второй - 6 белых и 4 черных шара. Два шарика переходят из первой банки во вторую, и один шарик извлекается из второй банки. Найдите вероятность того, что этот шар белый.

Решение Нарисуйте маркированный график вероятности (рисунок 6).

Пусть событие A - это белый шар, извлеченный из второй урны. В графе есть четыре пути. Затем

Рис. 6 Вероятность вынуть белый шар (пример 3)

СПІСОК ЛІТЕРАТУРЫ

1. Учебное пособие (пособие) Ш.Ф. Арасланова «Теория графов, лекции и практические занятия» Казань 2015.
2. Пономарев В.Ф. Дискретная математика для экономистов-информатиков. Учебник Калининград: КарГТУ, 2003.