Метод ломаных Эйлера решение дифференциальных уравнений

Введение

Уравнения, содержащие производную функции одной переменной, возникают во многих областях прикладной математики. Вообще говоря, любая физическая ситуация, где рассматривается степень изменения одной переменной по отношению к другой переменной, описывается дифференциальным уравнением, а такие ситуации встречаются довольно часто.Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (нелинейных) первого порядка с начальными данными (задача Коши) - классическая область применения численных методов. Имеется много разностных методов, часть из которых возникла в домашинную эпоху и оказалось пригодным для современных ЭВМ.В этой программе использовался метод Эйлера, один из самых старых и широко известных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений. Этот метод имеет довольно большую ошибку; кроме того, он очень часто оказывается неустойчивым - малая начальная ошибка быстро увеличивается с ростом Х. Поэтому чаще используют более точные методы, такие как: исправленный метод Эйлера и модифицированный метод Эйлера. Нужно, однако, заметить, что метод Эйлера является методом Рунге - Кутта первого порядка.Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.Метод Эйлера для обыкновенных дифференциальных уравнений используется для решений многих задач естествознания в качестве математической модели. Например, задачи электродинамики системы взаимодействующих тел (в модели материальных точек), задачи химической кинетики, электрических цепей.1. Метод ЭйлераРешить дифференциальное уравнение у/=f (x, y) численным методом – это значит для заданной последовательности аргументов х0, х1…, хn и числа у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1, у2,…, уn, что уi=F(xi) (i=1,2,…, n) и F(x0)=y0.Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=xk-xk-1 называется шагом интегрирования.Метод Эйлера относится к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядкаy/=f (x, y) (1)с начальным условиемx=x0, y(x0)=y0 (2)Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [а, b].Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х0, х1, х2,…, хn, где xi=x0+ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.В методе Эйлера приближенные значения у(хi)yi вычисляются последовательно по формулам уi+hf(xi, yi) (i=0,1,2…).При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М0(х0, у0), заменяется ломаной М0М1М2… с вершинами Мi(xi, yi) (i=0,1,2,…); каждое звено МiMi+1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (1), которая проходит через точку Мi, смотри рисунок 1.Рисунок 1 – Ломаная ЭйлераЕсли правая часть уравнения (1) в некотором прямоугольнике R {|x-x0|a, |y-y0|b} удовлетворяет условиям:|f (x, y1) – f (x, y2)| N|y1-y2| (N=const),|df/dx|=|df/dx+f (df/dy)| M (M=const), то имеет место следующая оценка погрешности:|y(xn) – yn| hM/2N[(1+hN)n-1], (3)где у(хn) – значение точного решения уравнения(1) при х=хn, а уn – приближенное значение, полученное на n-ом шаге.Формула (3) имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2. Погрешность более точного значения уn* оценивается формулой|yn-y(xn)||yn*-yn|. (4)Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков.2. Усовершенствованный метод Эйлера. Метод ГюнаТочность метода Эйлера можно повысить, если воспользоваться для аппроксимации интеграла более точной формулой интегрирования - формулой трапеций. (5)Данная формула оказывается неявной относительно yi+1 (это значение есть и в левой и в правой части выражения), то есть является уравнением относительно yi+1, решать которое можно, например, численно, применяя какой-либо итерационный метод (в таком виде его можно рассматривать как итерационную формула метода простой итерации). Однако, можно поступить иначе и приблизительно вычислить значение функции в узле i+1 с помощью обычной формулы Эйлера:,которое затем использовать при вычислении по (1).Таким образом получается метод Гюна или метод Эйлера с пересчетом. Для каждого узла интегрирования производится следующая цепочка вычисленийБлагодаря более точной формуле интегрирования, погрешность метода Гюна пропорциональна уже квадрату шага интегрирования.3. Пример решения дифференциального уравнения методом ломанных ЭйлераФормулировка задачиРешение дифференциального уравнения методом Эйлера и усовершенствованным методом Эйлера (на примере уравнения ).Решение задачи методом Эйлера.Уравнение: На отрезке [1;5] Количество шаговN=4= (a-b)/n= 1=1=3Xi=xi-1+h;X1=2=3=4X4=5=yi-1+(f(xi-1;yi-1))*hY1=3+((1*1-3+2)/(3*1+3*1))*1=3=3+((2*2-3+2)/(3*2+3*3))*1=3,25=3,25+((3*3-3,25+2)/( 3,25*4+3*3))*1=3,663=3,663+((4*4-3,663+2)/( 3,663*4+3*4))*1=4,201=4,201+((5*5-4,201+2)/( 4,201*5+3*5))*1=4,834Рисунок 2 – График функции по найденным точкам.Решение задачи усовершенствованным методом Эйлера.Уравнение: На отрезке [1;5]Количество шаговN=4= (a-b)/n= 1=1=3Xi=x0+h;X1=1=2=3=4=yi-1+h/2*(f(xi-1;yi-1))+*f(xi-1;(yi-1+h*f(xi-1;yi-1))))Y1=3+1/2*((1*1-3+2)/(3*1+3*1))+3+1*((1*1-3+2)/(3*1+3*1))= 4,5=4,5+1/2*((2*2-4,5+2)/( 4,5*2+3*2))+ 4,5+1*((2*2-4,5+2)/( 4,5*2+3*2))= 6,91=6,91+1/2*((3*3-6,91+2)/( 6,91*3+3*3))+ 6,91+1*((3*3-6,91+2)/( 6,91*3+3*3))= 10,6173=10,6173+1/2*((4*4-10,6173+2)/( 10,6173*4+3*4))+ 10,6173+1*((4*4-10,6173+2)/(10,6173*4+3*4))= 16,2332=16,2332+1/2*((5*5-16,2332+2)/( 16,2332*5+3*5))+ 16,2332+1*((5*5-16,2332+2)/(16,2332*5+3*5))= 24,6888Рисунок 3 – График функции по полученным точкам.

Заключение

Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит свое применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем.Метод Эйлера считается самым простым методом, но это не значит что он самый точный. Усовершенствованный метод немного сложнее в исполнении, но зато за то же количество шагов позволяет построить график значительно точнее.В заключение лучшим методом стал усовершенствованный метод Эйлера, т.к. он является более точным.

Список использованных источников

Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения), Н.С. Бахвалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 2017. – 315 с.Методы, теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Н.И. Гаврилов. Государственное издательство «Высшая школа» Москва-2018. – 300 с.В.В. Пак., Ю.Л. Носенко. Высшая математика: Учебник. – Д.: Сталкер, 2018. – 281 с.Б.П. Демидович, И.А. Марон Основы вычислительной математике. – М., 2018. – 277 с.Загускин В.Л. – Справочник по численным методам решения уравнений. – М.: ФИЗМАТГИЗ, 2020. – 216 с.Либерти, Джесс. Освой самостоятельно С++ за 21 день, 4-е издание.:Пер с англ.-М.: Издательский дом «Вильямс», 2019.-832 с.П. Нортон, П. Иао «Программирование на С++ в среде Windows» («Диалектика» Киев 2020 г.)Янг М. Microsoft Visual C++ – М.:ЭНТРОП, 2020.Марченко А.И., Марченко Л.А. – Программирование в средеTurbo Pascal 7.0 – К.: ВЕК+, М.: Бином Универсал, 2018. – 496 с.10. Высшая математика: Справ. материалы: Книга для учащихся. – М.:Просвещение, 2018. – 416 с.