Нормировка случайных величин

Введение

Теория вероятностей - относительно молодая, но уже ставшая классической, ветвь математики. Развитие ее как отдельной науки пришлось на середину XVII века, и началось с переписки двух известных во всем мире французских математиков: Блеза Паскаля и Пьера де Ферма. Однако задачами, относящимися к просчету вероятностей в азартных играх, ученые начали интересоваться значительно раньше.Сегодня методы теории вероятностей и математической статистики являются неотъемлемой частью практически любой дисциплины, как технической, так и гуманитарной направленности. Законы распределения случайных величин оказались применимыми не только к математике, физике, химии, и так далее, но и к дисциплинам, носящим отчасти прогностический характер, таким как социология, экономика, политология.Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайная величина является числовой характеристикой результата эксперимента, которая принимает свои значения в зависимости от элементарного события. Примером случайной величины могут быть: число очков, выпадающих при одном бросании игральной кости, число граждан, которые имеют высшее образование среди взятых наугад n человек, число бракованных изделий в партии из N штук, время безотказной работы прибора и т.д.Цель работы – изучение основных понятий нормировка случайных величин, а также асимптотических теорем теории вероятностей.1 Нормировка случайных величинПри экспериментальном изучении какого-либо явления с целью установления его закономерностей приходится наблюдать его многократно в одинаковых условиях. При этом под одинаковыми условиями мы понимаем одинаковые значения всех количественных характеристик контролируемых факторов. Все неконтролируемые факторы будут при этом различными. Вследствие этого действие контролируемых факторов будет практически одинаковым при разных наблюдениях одного и того же явления. В этом как раз и проявляются законы данного явления. Случайные же отклонения от закономерности, вызванные действием неконтролируемых факторов, будут различными при разных наблюдениях, причем предвидеть заранее, какими они будут при данном конкретном наблюдении, принципиально невозможно. Роль случайностей в разных явлениях различна. В некоторых явлениях случайные отклонения от закономерностей настолько малы, что их можно не учитывать. Однако есть и такие явления, в которых невозможно подметить никаких закономерностей, и случайность играет основную роль. Примером такого явления может служить движение малой частицы твердого вещества, взвешенной в жидкости, так называемое броуновское движение. Под действием толчков огромного количества движущихся молекул жидкости частица движется совершенно беспорядочно, без всякой видимой закономерности. В подобных явлениях сама случайность является закономерностью. При многократном наблюдении случайных явлений в них самих можно заметить определенные закономерности. Изучив эти закономерности, человек получает возможность в известной степени управлять случайными явлениями, ограничивать их влияние, предсказывать результаты их действия и даже целенаправленно использовать их в своей практической деятельности.Случайная величина - это фундаментальное понятие теории вероятностей и математической статистики. Каждый автор по-своему формулирует понятие случайной величины. Е.С. Вентцель, например, определяет случайную величину, как величину, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Иначе говоря, случайная величина это величина, имеющая целый набор допустимых значений, но принимающая лишь одно, и какое именно, заранее точно сказать нельзя. Формальное математическое определение случайной величины звучит следующим образом: Пусть (Ω, F, P) - вероятностное пространство, тогда случайной величиной называют функцию X: Ω → R. Случайную величину на практике обычно обозначают заглавными буквами, например: X, Y, Z, тогда, как возможные значения самой величины определяются строчными знаками: x, y, z. случайный величина теория вероятностьРазличают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные. К дискретным относятся те случайные величины, множество значений, которых конечно или фиксировано. Примером дискретной случайной величины, можно считать количество попаданий в цель при заранее определенном числе выстрелов. Непрерывная случайная величина это такая величина, множество значений которой несчётно или бесконечно. В качестве примера для непрерывной случайной величины, можно взять количество кругов на воде, после попадания в нее камня, или расстояние, которое пролетит стрела, прежде чем упасть на землю. Все случайные величины, ко всему прочему, имеют еще одну важную характеристику - ряд допустимых значений, который, в свою очередь, может как ограниченным, так и неограниченным. Отсюда, имеем, в зависимости от числа допустимых значений, ограниченные случайные величины, ряд допустимых значений конечен или фиксирован, и неограниченные, количество допустимых значений которых бесконечно. Дискретные случайные величины могут иметь ограниченный и неограниченный ряд возможных значений, когда как непрерывные - только неограниченный. На практике в теории вероятностей и математической статистике, как правило, имеют дело только с непрерывными случайными величинами.Нормированная случайная величина имеет дисперсию равную 1 и математическое ожидание равное 0.Нормированная случайная величина V – это отношение данной случайной величины X к ее среднему квадратичному отклонению σV = X/σ.Среднее квадратичное отклонение – это квадратный корень из дисперсииσ=D(X),Математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величины V выражаются через характеристики X так:MV= M(X)σ=1v, DV= 1,где v – коэффициент вариации исходной случайной величины X.Для функции распределения FV(x) и плотности распределения fV(x) имеем:FV(x) = F(σx), fV(x) = σf(σx),где F(x) – функция распределения исходной случайной величины Х, а f(x) – ее плотность вероятности.2 Асимптотические теоремы теории вероятностей Теория вероятностей изучает закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Как и любая другая наука, теория вероятностей предназначена для того, чтобы возможно точнее предсказать результат того или иного явления или эксперимента. Если явление носит единичный характер, то теория вероятностей способна предсказать лишь вероятность исхода в весьма широких пределах. Закономерности проявляются только при большом числе случайных явлений, происходящих в однородных условиях.Группа теорем, устанавливающих соответствие между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин и случайных событий при большом числе испытаний над ними, а также касающихся предельных законов распределения, объединяются под общим названием предельных теорем теории вероятностей.Есть два типа предельных теорем: закон больших чисел и центральная предельная теорема.Закон больших чисел, занимающий важнейшее место в теории вероятностей, является связующим звеном между теорией вероятностей как математической наукой и закономерностями случайных явлений при массовых наблюдениях над ними.Закон играет очень важную роль в практических применениях теории вероятностей к явлениям природы и техническим процессам, связанным с массовым производством.Предельные законы распределения составляют предмет группы теорем - количественной формы закона больших чисел. Т.е. закон больших чисел - ряд теорем, в каждой из которых устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным, т.е. устанавливают факт сходимости по вероятности некоторых случайных величин к постоянным. Это теоремы Бернулли, Пуассона, Ляпунова, Маркова, Чебышева. Центральная предельная теорема (ЦПТ) имеет огромное значение для применений теории вероятностей в естествознании и технике. Ее действие проявляется там, где наблюдаемый процесс подвержен влиянию большого числа независимых случайных факторов, каждый из которых лишь ничтожно мало изменяет течение процесса.Наблюдатель, следящий за состоянием процесса в целом, наблюдает лишь суммарное действие этих факторов. Эта схема поясняет также исключительное место, которое нормальное распределение занимает среди других вероятностных распределений.Закон распределения суммы независимых случайных величин приближается к нормальному закону распределения при неограниченном увеличении n (то есть, при ), если выполняются следующие условия: имеют конечные математические ожидания и дисперсии:Ни одна из случайных величин по степени своего влияния на всю сумму случайных величин не отличается от остальных (то есть, влияние каждой из случайных величин на всю сумму ничтожно мало. Другими словами выполняется условие:тогда Следует отметить, что центральная предельная теорема справедлива не только для непрерывных, но и для дискретных случайных величин. Практическое значение теоремы Ляпунова огромно. Опыт показывает, что закон распределения суммы независимых случайных величин, сравнимых по своему рассеиванию, достаточно быстро приближается к нормальному. Уже при числе слагаемых порядка десяти закон распределения суммы можно заменить на нормальный (в частности, примером такой суммы может быть среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин, то есть Частным случаем центральной предельной теоремы является теорема Лапласа. В ней, как вы помните, рассматривается случай, когда случайные величины  дискретны, одинаково распределены и принимают только два возможных значения: 0 и 1.Далее, вероятность того, что Y заключено в интервале  можно вычислить по формуле Используя функцию Лапласа, последнюю формулу можно записать в удобном для расчётов виде:где Теорема Пуассона: При неограниченном увеличении числа независимых испытаний, проводимых в переменных условиях, относительная частота появления события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей появления данного события в каждом из опытов, то естьТеорема Пуассона является частным случаем теоремы Чебышева. Далее, закон больших чисел применительно к зависимым событиям был дан А.А.Марковым, который заметил, что рассуждения Чебышева позволяют получить более общий результат.Теорема Чебышева: При неограниченном увеличении числа независимых испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины, имеющей конечную дисперсию, сходится по вероятности к ее математическому ожиданию иначе, если  независимые одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием  и ограниченной дисперсией , то при любом  справедливо:Теорема Чебышева (обобщенная). Если случайные величины в последовательности  попарно независимы, а их дисперсии удовлетворяют условию , то для любого положительного  справедливо утверждение: или, что то же с) Теорема Маркова, (закон больших чисел в общей формулировке)Если дисперсии произвольных случайных величин в последовательности удовлетворяют условию: , то для любого положительного  имеет место утверждение теоремы Чебышева: ЗаключениеТаким образом, рассмотренные теоремы закона больших чисел касаются вопросов приближения некоторых случайных величин к определённым предельным значениям независимо от их закона распределения. В теории вероятностей, как уже отмечалось, существует другая группа теорем, касающихся предельных законов распределения суммы случайных величин. Общее название этой группы теорем – центральная предельная терема. Различные её формы различаются условиями, накладываемыми на сумму составляющих случайных величин. Впервые одна из форм центральной предельной теоремы была доказана выдающимся русским математиком А.М.Ляпуновым в 1900 году с использованием специально разработанного им метода характеристических функций.

Список использованной литературы

1. Балдин, К.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В Рукосуев. - М.: Дашков и К, 2016. - 472 c.2. Балдин, К.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков. - М.: Дашков и К, 2016. - 472 c.3. Белько, И.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Примеры и задачи / И.В. Белько, Г.П. Свирид. - Минск: Новое знание, 2007. - 251 c.4. Бирюкова, Л.Г. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие / Л.Г. Бирюкова, Г.И. Бобрик, В.И. Матвеев. - М.: Инфра-М, 2019. - 160 c.5. Битнер, Г.Г. Теория вероятностей: Учебное пособие / Г.Г. Битнер.. - Рн/Д: Феникс, 2012. - 329 c.6. Блягоз, З.У. Теория вероятностей и математическая статистика. Курс лекций: Учебное пособие / З.У. Блягоз. - СПб.: Лань, 2018. - 224 c.