Показатели качества

Введение

Актуальность работы. Развитие и совершенствование промышленного производства (энергетики, транспорта, машиностроения, космической техники и т.д.) требует непрерывного увеличения производительности машин и агрегатов, повышения качества продукции, снижения себестоимости. Реализация поставленных целей невозможна без внедрения современных систем управления, включая как автоматизированные (с участием человека-оператора), так и автоматические (без участия человека-оператора) системы управления (СУ).Целью данной работы является изучение показателей качества систем управления.Исходя из целей работы, задачи работы следующие:раскрыть сущность показателей качества систем управления;изучить прямые и косвенные показатели качества систем управления;проанализировать связь между показателями качества систем управления.Объектом исследования являются системы управления.Предмет исследования: система показателей качества управления.Методы исследования: анализ теоретической литературы по проблеме исследования.Работа состоит из введения, шести пунктов, заключения и списка использованных источников.1 Показатели качестваДля сравнительного анализа различных систем управления необходимо иметь некоторые числовые характеристики этих систем, позволяющие оценивать какая из них будет более эффективной. Эти числовые характеристики и называются критериями качества [5].Система управления характеризуется различными показателями, к которым в первую очередь можно отнести: точность, устойчивость, быстродействие надежность, стоимость, оптимальность и др. Учитывая большое разнообразие систем и объектов управления, в настоящее время разработано большое число различных критериев, так или иначе включающих в себя вышеприведенные показатели. Между этими показателями (критериями качества) существует тесная взаимосвязь, поэтому стремление улучшить какой-либо показатель системы управления приводит к ухудшению другого [3]. Классификация показателей качества представлена на рисунке 1.1.453390336550Рисунок 1.1 – Показатели качестваПоказатели качества измеряются либо непосредственно по реакции системы на типовое воздействие, тогда они носят название прямых показателей качества, либо опосредованно, путем анализа других параметров системы, тогда они называются косвенными показателями качества. Наконец, показатели качества могут оцениваться некоторыми функционалами, значения которых определяют численную интегральную оценку показателей качества. Такие оценки называются интегральными показателями качества [9].О качестве системы управления имеет смысл говорить, если она устойчива. Поэтому показатели качества определяют при предположении, что система устойчива.Если исследуемая автоматическая система управления (АСУ или САУ) устойчива, то может возникнуть вопрос о том, насколько качественно происходит регулирование в этой системе и удовлетворяет ли оно технологическим требованиям данного процесса [1].Под качеством системы управления понимается совокупность требований, которые прямо или косвенно характеризуют точность ее работы.Наиболее полной характеристикой качества системы управления является ошибка e(t) =g(t)-y(t). Ошибка e(t), являясь функцией от времени, не очень удобна для оценки качества систем управления. Поэтому на практике при оценке качества чаще используют числовые показатели, которые прямо или косвенно характеризуют точность воспроизведения заданного движения.Ошибка e(t) зависит как от свойства системы управления (т. е. от уравнения), так и от внешнего воздействия. По этой причине показатели качества как характеристики свойства системы определяют при типовых внешних воздействиях. Обычно при оценке качества в переходном режиме, в качестве типового воздействия используют ступенчатую функцию вида k-(t) (к - константа), а при оценке качества в установившемся режиме - полиномы времени t [9].2 Прямые показатели качестваКачество САУ определяется следующими показателями:1. Время достижения установившегося режима, - такое время, по истечение которого для управляемой величины выполняется условие, (Рисунок 2.1).662940196850004082415861695Рисунок 2.1 - Время достижения установившегося режима,где у – управляемая величина;δр – некоторая величина (для САУ 5% от установившегося режима) [4]Время переходного процесса – отрицательное время, при котором переходный процесс по выходной координате достигает 5%-ной зоны от устойчивого значения [10].2. Перерегулирование — это процентное соотношение разницы максимального перерегулирования и установившегося значения:2244090135255 (1.1)3. Время достижения первого максимума (tмакс), такое время, при котором выходная величина достигает своего максимального по модулю значения:24726905080(1.2)4. Время нарастания – tнар.5. Число перерегулирований – это количество раз, когда управляемая величина превышает по модулю значение:1615440198120(1.3)6. Частота колебаний:28536905080(1.4)где Т – период колебаний7. Ошибка в установившемся режиме (характеризует точность САУ):2718435194945(1.5)Таким образом, прямые методы определения качества базируются на исследовании переходного процесса, дают наиболее достоверную информацию с последующим определением показаний качества. Но они являются самыми трудоемкими.3 Корневые показатели качестваКорневые методы для определения косвенной оценки показателя качества используют корни характеристического уравнения замкнутой системы и их расположения на комплексной плоскости [7].Передаточная функция любой системы может быть представлена в следующем виде:1463040-1905(3.1)где i – это нули передаточной функции; i – полюса передаточной функции (корни характеристического уравнения).i определяет устойчивость системы и качество переходных процессов, i определяет только качество переходных процессов [6].Влияние полюсов передаточной функции на качество переходных процессов. Каждому полюсу i на комплексной плоскости соответствует определенная точка. Данные корни определяют на плоскости следующую замкнутую плоскость, (Рисунок 3.1).18440402501900Рисунок 3.1 – Корневой метод оценки качества управленияВ корневых методах используют так называемые корневые показатели, определяемые по расположению корней р1, р2, …, рп характеристического уравнения замкнутой системы на комплексной плоскости.1. Наиболее общим корневым показателем качества является среднее геометрическое значение модулей корней:2472690165735 (3.2)которое легко вычисляется через крайние коэффициенты характеристического уравнения:272034040640 (3.3)0 определяет центр расположения всех корней характеристического уравнения и влияет на быстродействие системы. Чем меньше показатель 0, тем ближе «созвездие» корней к мнимой оси и тем больше длительность переходного процесса [7].В числитель подкоренного выражения (3.3) входит коэффициент , который зависит от передаточного коэффициентаразомкнутого контура:20059657620(3.4)Отсюда можно сделать вывод: чем выше коэффициент усиления k, тем лучше быстродействие системы (при прочих равных условиях – одинаковой конфигурации “созвездия” корней).Основное влияние на характер переходного процесса оказывают корни, расположенные ближе к мнимой оси, которые дают наиболее длительные составляющие переходного процесса и называются доминирующими [7].2) Расстояние от мнимой оси до действительной части ближайшего к ней корня называется степенью устойчивости  [1].21964653181353) Колебательные свойства системы регулирования предопределяет k–ая пара комплексных корней  , для которой наибольшее отношение: (3.5)или наибольший угол  между действительной осью и лучами, соединяющими начало координат с этими корнями. В данном случае такой парой являются комплексные корни р2 и р3 [2].Отношение  д  мнимой части   к действительной части    доминирующей пары комплексных корней называют степенью колебательности.В практических расчетах чаще используют корневой показатель колебательности:, (3.6)также определяемый через доминирующую пару комплексных корней. При выборе настроек регуляторов стремятся получить значения .4 Частотные показатели качестваЧастотными называются оценки качества, позволяющие по виду частотных характеристик замкнутой САУ количественно оценить запас устойчивости и быстродействие системы [6].Величина запаса устойчивости показывает, насколько далеко находится САУ от колебательной границы устойчивости, за которой в системе возникают незатухающие автоколебания.Под быстродействием САУ понимается быстрота реагирования САУ на появление управляющих и возмущающих воздействий [4].К числу основных частотных оценок качества САУ относятся:запас устойчивости по амплитуде (или по модулю)  (в линейном масштабе) и  (в логарифмическом масштабе);запас устойчивости по фазе ;показатель колебательности ;резонансная частота ;частота среза ;частота , соответствующая полосе пропускания замкнутой системы [8].Устойчивость замкнутой САУ зависит от расположения кривой АФЧХ разомкнутой системы  относительно критической точки с координатами. Чем ближе эта кривая проходит от критической точки, тем ближе замкнутая САУ к границе устойчивости. Поэтому запас устойчивости системы можно определять по удалению АФЧХ, разомкнутой системы  от критической точки . Для этой цели вводятся понятия запаса устойчивости по амплитуде (по модулю) и запаса устойчивости по фазе [2].Запасом устойчивости по амплитуде  называют минимальный отрезок действительной оси, характеризующий расстояние между критической точкой  и ближайшей к ней точкой пересечения кривой АФЧХ разомкнутой системы  с действительной осью, (Рисунок 4.1).Запасом устойчивости по фазе называют минимальный угол, образуемый радиусом, проходящим через точку пересечения кривой AФЧХ разомкнутой системы  с окружностью единичного радиуса с центром в начале координат, и отрицательной частью действительной оси, (Рисунок 4.2).166306510223500Рисунок 4.1 - Запас устойчивости по амплитуде11677654635500Рисунок 4.2 - Запас устойчивости по фазеНа рисунке 4.2 показано, как по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы можно найти запас устойчивости по амплитуде, выраженный в децибелах:дБ  (4.1)и запас устойчивости по фазе:, (4.2)где  - значение ФЧХ разомкнутой системы при частоте среза .Для рассматриваемых характеристик можно, говорить и о запасах устойчивости по амплитуде  и , соответствующих частотам  и .Система обладает необходимым запасом устойчивости, если она, удовлетворяя условию устойчивости, имеет значения модуля вектора , отличающиеся от единицы не менее чем на заданную величину , и фазу, отличающуюся от -180° не менее чем на величину  при частоте среза . По заданным значениям запаса устойчивости по амплитуде  и запаса устойчивости по фазе  может быть построена запретная область, в которую не должна заходить кривая АФЧХ разомкнутой САУ, обладающей требуемыми запасами устойчивости, (Рисунок 4.3).7683501333500310134089535Рисунок 4.3 – Построение запретной области, в которую не должна заходить кривая АФЧХ разомкнутой САУ, обладающей требуемыми запасами устойчивостиЗапас устойчивости системы также можно оценить по показатели колебательности. Показателем колебательности называется максимальное значение ординаты АЧХ замкнутой системы при начальной ординате, равной единице, т.е. относительная высота резонансного пика АЧХ:221551510160 (4.3)По заданному значению показателя колебательности , обеспечивающему требуемый запас устойчивости САУ, может быть построена запретная область в виде окружности с радиусом R и с центром, смещенным влево от начала координат на величину C, которая охватывает точку  и внутрь которой не должна заходить кривая AФЧХ разомкнутой системы, (Рисунок 4.4).24384021336039001702463803891915160655Рисунок 4.4 – Построение запретной области по заданному значению показателя колебательности Чем меньше запас устойчивости, тем больше склонность системы к колебаниям и тем выше резонансный пик АЧХ замкнутой САУ. Считается, что в хорошо демпфированных системах запас устойчивости по амплитуде  составляет примерно 6-20 дб, запас устойчивости по фазе  – около 30° – 60°, а показатель колебательности  не должен превосходить значений 1,1-1,5 [4].Быстродействие САУ количественно характеризуется следующими оценками качества, определяемыми по АЧХ замкнутой системы при начальной ординате, равной единице:1)  - резонансная частота, соответствующая резонансному пику АЧХ;2) - частота реза, соответствующая условию:2701290229870 (4.4)3)  - частота, соответствующая полосе пропускания замкнутой системы и определяемая из условия:2320290187960(4.5)где использовано обозначение .Допустимые значения этих характерных частот, как и соответствующая им допустимая длительность переходного процесса , могут сильно меняться в зависимости от типа и назначения САУ.5 Интегральные показатели качестваИнтегральные критерии позволяют судить о качестве управления путем вычисления интегралов от некоторых функций управляемой величины. Эта функция выбирается таким путем, чтобы значение определенного интеграла от этой функции по времени от 0 до + ∞ было однозначно связано с качеством переходного процесса. В то же время данный интеграл должен сравнительно просто вычисляться через коэффициенты уравнений исследуемой системы [6].Например, если переходная характеристика является монотонной, то можно утверждать, что качество переходного процесса тем лучше, чем меньше площадь, ограниченная данной кривой и установившимся значением управляемой величины, (Рисунок 5.1). Она равна площади, ограниченной кривой изменения свободной составляющей управляемой величины и осью абсцисс.16916401924050Рисунок 5.1 - Переходной процесс в системеЕсли система устойчива, то свободная составляющая управляемой величины в пределе стремится к нулю , поэтому площадь, ограниченная данной кривой, имеет конечное значение и определяется по формуле:2396490-5715(5.1)Величина J00 представляет собой линейную оценку качества управления. Чем она меньше, тем выше быстродействие системы. При выборе параметров системы стремятся обеспечить минимум J00 [5].Пусть дано уравнение динамики замкнутой САУ:453390-3175(5.2)Свободный процесс описывается однородным дифференциальным уравнением:18535653810 (5.3)следовательно:653416609600(5.4)Пусть при t = 0 система автоматического управления имела следующие начальные условия:137731512700(5.5)так как процесс затухает и при t →∞ свободная составляющая и все производные становятся равны нулю. Подставляя эти значение, получаем:1634490-34290(5.6)То есть линейную оценку качества регулирования можно легко вычислить, зная начальные условия и коэффициенты дифференциального уравнения. Возможны и другие линейные оценки качества, но они используются реже, например:15487656985(5.7)Линейные оценки качества неприменимы при колебательном процессе. Так как площади, ограниченные кривой yCB (t) и осью абсцисс, складываются с учетом знака, то минимальному значению J может соответствовать процесс с большим числом колебаний и малым быстродействием, (Рисунок 5.2). Рисунок 5.2 - Колебательный переходной процессВ этом случае более эффективны квадратичные оценки качества, например:J20 =  yсв2(t)dt. (5.8) Выбирая параметры САУ по минимуму J20 мы приближаем кривую yсв(t) к осям координат, что приводит к уменьшению времени регулирования, (Рисунок 5.3). Вывод формулы для вычисления этой оценки сложен, поэтому ограничимся замечанием, что значение вычисляется через коэффициенты дифференциального уравнения a0...an, b0...bm. При вычислении слагаемых в этой формуле используются определители Гурвица, так что даже расчет по ней сопряжен с определенными трудностями и требует использования ЭВМ или специальных таблиц [9].Рисунок 5.3 – Кривая yсв(t)При выборе параметров САУ по минимуму J20 часто получают нежелательную колебательностm процесса, так как приближение yсв(t) к оси ординат вызывает резкое увеличение начальной скорости, что в свою очередь может вызвать большое перерегулирование, уменьшив при этом запас устойчивости. Для того, чтобы обеспечить плавность протекания процесса, в квадратичную оценку качества добавляется слагаемое, зависящее от скорости изменения регулируемого параметра y’св (t). Получаем критерий качества:1920240201930(5.9)где t — некоторая наперед заданная постоянная времени, определяющая весовое соотношение между оценкой по усв и по y’св. При малых значениях т уменьшение колебательности будет незначительным. Завышение т увеличит время переходного процесса так, что ее выбор определяется конкретными условиями.Этот интеграл имеет наименьшее значение, если переходный процесс соответствует экспоненте с постоянной времени t. Другими словами, по соображениям качества управления следует стремиться к тому, чтобы переходная характеристика замкнутой системы автоматического управления как можно меньше отличалась от характеристики инерционного звена первого порядка, имеющего наперед заданную постоянную времени т, значение которой определяется техническими условиями [5].Задача выбора параметров САУ по минимуму J20 и J21 решается аналитически только в случае невысокого порядка дифференциального уравнения. Иначе используют ЭВМ.6 Связи между показателями качестваУчитывая большое разнообразие автоматических систем и объектов регулирования, в настоящее время разработано большое число различных критериев, которые, с одной стороны, включают взаимоисключающие требования, а с другой - между показателями качества существует тесная взаимосвязь, поэтому стремление улучшить какой-либо из них может привести к ухудшению другого. Так, например, стремление уменьшить ошибку автоматического регулирования приводит к уменьшению запаса устойчивости и быстродействия и наоборот, или повышение надежности автоматической системы неизбежно приводит к увеличению ее стоимости.Мы уже знаем, что автоматическая система прежде всего должна быть устойчивой, однако это необходимое, но недостаточное условие для эффективной работы автоматической системы. В устойчивой системе переходный процесс затухает. Однако для практики вовсе не безразличен характер затухания переходного процесса. Так, например, если переходный процесс затухает медленно, и система долго входит в новый установившийся режим, то она обладает недостаточным быстродействием, и, следовательно, ее применение будет ограничено. Поэтому устойчивость является необходимым, но недостаточным условием работоспособности автоматических систем. Достаточным условием является качество процессов регулирования, которое оценивается качеством переходных процессов и ошибками в установившихся режимах [3].Оценки качества работы автоматических систем, полученные непосредственно по кривым переходного процесса, называют прямыми. Вычисление всех этих критериев основывается на использовании математического аппарата управления, причем наиболее часто при вычислении критериев качества используются временные и частотные характеристики автоматических систем. Анализ переходных процессов сводится к отысканию общего решения неоднородного дифференциального уравнения, описывающего физические процессы в автоматической системе при заданных начальных условиях и известных внешних воздействиях, а также к анализу влияния изменения параметров автоматической системы на вид этого решения. Следует отметить, что аналитическое решение уравнений требует вычисления корней характеристического уравнения и вычисления постоянных интегрирования, что для уравнений выше третьего порядка невозможно [4].Поэтому применяют приближенные методы анализа переходных процессов, не требующие, так же, как и при исследовании устойчивости автоматических систем, непосредственного решения дифференциальных уравнений. Чаще всего при анализе качества работы автоматических систем требуется лишь установить, находится ли переходный процесс внутри области допустимых значений регулируемой величины или выходит за ее пределы. Оценки, получаемые этим методом, называют косвенными [7].Прямые показатели качества переходных процессов. Качество переходных процессов обычно оценивают по переходной функции, которая представляет собой реакцию автоматической системы на внешнее воздействие типа единичного скачка. На примере переходной функции познакомимся с основными показателями качества переходного процесса: 1. Ошибка регулирования; 2. Время регулирования; 3. Перерегулирование; 4. Степень колебательности; 5. Количество колебаний [8].Таким образом, использование того или иного показателя работы автоматической системы или их комбинации в виде критериев качества определяется удобством его применения в системах автоматического регулирования, а также, в известной мере, сложившимися традициями.

Заключение

Качество системы управления характеризуется совокупностью свойств, обеспечивающих функционирование системы управления. Свойства, которые в совокупности составляют эти свойства и имеют количественные измерители, называют показателями качества системы управления.Классификация показателей качества состоит из нескольких групп:прямые - определяемые непосредственно по переходной характеристике процесса;корневые - определяемые по корням характеристического полинома;частотные - по частотным характеристикам;интегральные - получаемые путем интегрирования функций.Учитывая большое разнообразие автоматических систем и объектов регулирования, в настоящее время разработано большое число различных критериев, которые, с одной стороны, включают взаимоисключающие требования, а с другой - между показателями качества существует тесная взаимосвязь, поэтому стремление улучшить какой-либо из них может привести к ухудшению другого.Использование того или иного показателя работы автоматической системы или их комбинации в виде критериев качества определяется удобством его применения в системах автоматического регулирования, а также, в известной мере, сложившимися традициями.Таким образом, цели и задачи данной работы были достигнуты.
Список используемых источников
Антонец В. А., Инновационный менеджмент. Учебник и практикум для СПО. — М.: Юрайт. 2018. 304 с.Варжапетяна, А.Г. Системы управления. Инжиниринг качества / А.Г. Варжапетяна. - М.: Вузовская книга, 2017. - 320 c.Виханский, О. С. Менеджмент : учебник / О. С. Виханский, А. И. Наумов. — 6-е изд., перераб. и доп. — Москва : Магистр : ИНФРА-М, 2021. — 656 с. Даньков, В.В. Теория автоматического управления. Задачи и решения: Учебное пособие / В.В. Даньков, М.М. Скрипниченко, Н.Н. Горбачёва. - СПб.: Лань, 2017. - 608 c.Иванова, Т. Ю. Теория менеджмента. Синергетический менеджмент : учебник для вузов / Т. Ю. Иванова, Э. М. Коротков, В. И. Приходько. – 2-е изд., испр. и доп. – Москва : Издательство Юрайт, 2021. – 331 с. Мельник, М.В. Комплексный экономический анализ: Учебное пособие / М.В. Мельник, С.Е. Егорова, Н.Г. Кулакова и др. - М.: Форум, 2018. - 64 c.Плахотникова, М. А. Информационные технологии в менеджменте. Учебник и практикум для прикладного бакалавриата/ М.А. Плахотникова — Москва : Издательство Юрайт, 2019 – 326 с.Попов, Р.А. Современные системы управления деятельностью: Учебник / Р.А. Попов. - М.: Инфра-М, 2017. - 384 c.Рубчинский, А. А. Методы и модели принятия управленческих решений : учебник и практикум для академического бакалавриата / А. А. Рубчинский. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 526 с.Шарапова, Т. В. Основы теории управления : учебное пособие для вузов / Т. В. Шарапова. – Москва : Издательство Юрайт, 2020. – 210 с.