Расчёт стационарного режима линейной электрической цепи переменного тока.

СОДЕРЖАНИЕ TOC \o Задание PAGEREF _Toc103367414 \h 31.  Расчётная схема и исходные данные PAGEREF _Toc103367415 \h 52.  Расчёт с помощью законов Кирхгофа PAGEREF _Toc103367416 \h 83.  Решение с помощью метода контурных токов PAGEREF _Toc103367417 \h 114.  Решение с помощью метода узловых потенциалов PAGEREF _Toc103367418 \h 135.  Расчёт с помощью метода эквивалентного генератора PAGEREF _Toc103367419 \h 146.  Показания ваттметра и варметра PAGEREF _Toc103367420 \h 157.  Векторная диаграмма PAGEREF _Toc103367421 \h 168.  Баланс мощности PAGEREF _Toc103367422 \h 189.  Системы уравнений для цепи с магнитными связями PAGEREF _Toc103367423 \h 19Список использованных источников PAGEREF _Toc103367424 \h 21ЗаданиеНа рисунке 1 показана исходная схема цепи, исходные данные для расчёта показаны в таблицах 1, 2, 3. Рисунок 1 — Исходная схема цепи к первой части курсовой работыТаблица 1 — Параметры и размещение источников, типы ветвейТаблица 2 — Наполнение ветвей пассивными элементамиТип ветвиНабор пассивных элементов в ветвиТип ветвиНабор пассивных элементов в ветви1R4RL2L5RC3C6нет ветвиТаблица 3 — Номиналы элементов RLCПоследняя цифра учетной записиНоминалы для ветвей Z1,Z3,Z5,Z7Номиналы для ветвей Z2,Z4,Z6,Z8R, ОмL, мГнС, мкФR, ОмL, мГнС, мкФ14095,5106,18019153,051.  Расчётная схема и исходные данныеСоставляем принципиальную схему электрической цепи согласно варианту (ERCL – схема, рисунок 1.1). На принципиальной схеме выбираем направления токов в ветвях и направления обхода независимых контуров.Токи I4,I8 указаны чисто формально, в дальнейших расчётах они не используются, поскольку I4=I2, I8=I5.Точки a, b, d на рисунке выделены, так как они являются «настоящими» узлами, т.е. узлами, в которых сходятся более двух звеньев. Остальные точки, обозначенные латинскими буквами, не являются узлами и будут использоваться в дальнейшем для построения топографической диаграммы.Узел a считаем базовым, т.е. его потенциал принимаем равным нулю.Между узлом d и a включён источник ЭДС, поэтому потенциал узла d изначально известен, и этот узел исключается из системы уравнений по методу узловых потенциалов.E0R1C2C3L4R4C5R5R7L8ABDCI1I2I7I8I5I3I4abcdeL1E2I0E1R2fghijkE0R1C2C3L4R4C5R5R7L8ABDCI1I2I7I8I5I3I4abcdeL1E2I0E1R2fghijkРисунок 1.1 — ERCL-схемаПредставляем заданные в схеме источники в комплексной форме, рассчитываем в численном виде величины и комплексные сопротивления всех элементов полученной цепи, считая частоту всех источников равной 50 Гц (рисунок 1.2).Рисунок 1.2 — Исходные данные в символической формеЗаменяем последовательно соединенные элементы в ветвях их комплексными сопротивлениями. Представить эквивалентную схему цепи, в которой в каждой ветви находится не более одного источника и не более одного комплексного сопротивления. Эту схему назовём EZ-схемой (рисунок 1.3, 1.4).Рисунок 1.3 — Комплексные сопротивления звеньевZ1Z1bbAAE1E1I0BR7E0I0BR7E0E2I1E2I1I7I7I2CZ3I2CZ3aI3Z2aI3Z2ddI5I5DZ5DZ5Рисунок 1.4 — EZ-схема2.  Расчёт с помощью законов КирхгофаЗаписываем систему уравнений, составленных по законам Кирхгофа, в дифференциально-интегральной форме (по ERCL-схеме). Узел b:i1+i2-i7=0.Узел d:i0-i2-i3+i7-i8=0.Контур А:R1i1+L1di1dt+R7i7=E1-E0.Контур B:i2R2+R4+L4di2dt+1C20ti2(τ)dτ+R7i7=E2.Контур C:1C30ti3(τ)dτ=E0.Контур D:1C30ti3(τ)dτ+1C50ti5(τ)dτ+i5R5+L8di5dt=0.Записываем систему уравнений, составленных по законам Кирхгофа, в комплексной форме по ERCL-схеме.Узел b: I1+ I2- I7=0.Узел d:I0- I2- I3+ I5+ I7=0.Контур А:I1R1+jωL1+R7I7=E1-E0.Контур B:I2(R2+R4+1jωC2+jωL4)+R7I7=E2.Контур C: I31jωC3=E0.Контур D: I3jωC3+I5R5+1jωC5+jωL8=0.Записываем систему уравнений, составленных по законам Кирхгофа, в комплексной форме по EZ-схеме.Узел b: I1+ I2- I7=0.Узел d:I0- I2- I3+ I5+ I7=0.Контур А:I1Z1+I7Z7=E1-E0.Контур B:I2Z2+I7Z7=E2.Контур C: I3Z3=E0.Контур D:I3Z3+I5Z5=0.Записываем систему уравнений, составленных по законам Кирхгофа, в комплексной форме по EZ-схеме с подставленными численными значениями E и Z.Узел b: I1+ I2- I7=0.Узел d:I0- I2- I3+ I5+ I7=0.Контур А:50ej36,9°I1+40I7=628ej142,8°.Контур B:160I2+40I7=-400.Контур C: 30e-j90°I3=500.Контур D:30e-j90°I3+50ej36,9°I5=0.Находим токи во всех ветвях, решив систему уравнений с помощью MathCAD.Записываем матрицы системы:Решаем систему методом обратной матрицы, находим токи:Находим модули и аргументы всех токов для записи в экспоненциальной форме:3.  Решение с помощью метода контурных токовСоставляем систему уравнений по методу контурных токов (по EZ-схеме), в общем виде.Контур А:Z1+Z7IA+Z7IB=E1-E0.Контур B:Z7IA+(Z2+Z7)IB=E2.Контур C:Z3IC+Z3ID=E0.Контур D:Z3IC+(Z3+Z5)ID=0.Записываем систему уравнений с подставленными значениями коэффициентов.Контур А:85,4ej20,6°IA+40IB=628ej142,8°.Контур B:40IA+200IB=-400.Контур C:30e-j90°IC+30e-j90°ID=500.Контур D:30e-j90°IC+40ID=0.Найдём контурные токи, решив систему линейных уравнений с помощью MathCAD.Записываем матрицы системы:Находим контурные токи методом обратной матрицы:По контурным токам находим токи в звеньях.Токи совпадают с токами, найденными методом законов Кирхгофа.4.  Решение с помощью метода узловых потенциаловСоставим систему уравнений по методу узловых потенциалов (по EZ-схеме), в общем виде. В качестве базового узла (узла с нулевым потенциалом) используем узел a.Так как между узлом a и узлом d включён источник ЭДС, потенциал в этом узле заранее известен, таким образом, необходимо составить уравнение только для узла b. φa=0; φd=E0;Узел b:Y1+Y2+Y7 φb=E0Y7+E1Y1+(E0+E2)Y2.Рассчитаем комплексные проводимости входящих в уравнение звеньев:Записываем систему уравнений по методу узловых потенциалов с подставленными значениями коэффициентов:Узел b:0,04875e-j14,3° φb=18,7e-j19,0°.Находим потенциалы в узлах схемы: По найденным потенциалам вычисляем токи в звеньях:Токи совпадают с токами, найденными методом законов Кирхгофа.5.  Расчёт с помощью метода эквивалентного генератораНеобходимо методом эквивалентного генератора рассчитать ток в звене 3.Поскольку звено 3 напрямую подключено к источнику ЭДС E0, получаемEэкв=E0=500 В;zэкв=0.Тогда искомый токI3=Eэквzэкв+Z3=5000-j30=j16,67 А.Ток совпал с результатами, полученными другими методами.6.  Показания ваттметра и варметраРассчитаем показания ваттметра и варметра в звене 4. Схема подключения прибора показана на рисунке 6.1.E1I1R1L1E1I1R1L1aWaWbbРисунок 6.1 — Подключение ваттметра (варметра)Рассчитываем мощности двумя способами.Первый способ:Второй способ:Оба способа дают одинаковый результат.7.  Векторная диаграммаE0R1C2C3L4R4C5R5R7L8ABDCI1I2I7I8I5I3I4abcdeL1E2I0E1R2fghijkУзлы, потенциалы которых учитываются на диаграмме, показаны на рисунке 7.1.E0R1C2C3L4R4C5R5R7L8ABDCI1I2I7I8I5I3I4abcdeL1E2I0E1R2fghijkРисунок 7.1 — Обозначения узловВычисляем потенциалы в отмеченных на рисунке точках:Векторная диаграмма представлена на рисунке 7.2.abcdefghijkE0UC3E1E2UR1UR2UR4UR5UC2UC5UL1UR7UL4UL8I0I1I2I3I5I7Масштабпо напряжению — 1 В/дел.по току — 0,05 A/дел.abcdefghijkE0UC3E1E2UR1UR2UR4UR5UC2UC5UL1UR7UL4UL8I0I1I2I3I5I7Масштабпо напряжению — 1 В/дел.по току — 0,05 A/дел.Рисунок 7.2 — Векторная диаграмма8.  Баланс мощностиРассчитываем мощность, генерируемую всеми источниками:Рассчитываем мощность, потребляемую всеми приёмниками:Баланс мощности сходится.9.  Системы уравнений для цепи с магнитными связямиЗададим магнитную связь между катушками L4 и L8 (рисунок 9.1).E0R1C2C3L4R4C5R5R7L8ABDCI1I2I7I8I5I3I4abcdeL1E2I0E1R2fghijkM48E0R1C2C3L4R4C5R5R7L8ABDCI1I2I7I8I5I3I4abcdeL1E2I0E1R2fghijkM48Рисунок 9.1 — Cхема c магнитными связями (согласованное включение катушек)По сравнению с уравнениями, записанными в разделе 2, изменения коснутся только уравнений для контуров В, D, поэтому записывает только эти уравнения.Уравнения в дифференциально-интегральной форме для согласованного включения катушек:Контур B:i2R2+R4+L4di2dt+M48di5dt+1C20ti2(τ)dτ+R7i7=E2.Контур D:1C30ti3(τ)dτ+1C50ti5(τ)dτ+i5R5+M48di2dt+L8di5dt=0.Уравнения в дифференциально-интегральной форме для встречного включения катушек:Контур B:i2R2+R4+L4di2dt-M48di5dt+1C20ti2(τ)dτ+R7i7=E2.Контур D:1C30ti3(τ)dτ+1C50ti5(τ)dτ+i5R5-M48di2dt+L8di5dt=0.Уравнения в комплексной форме для согласованного включения катушек:Контур B:I2R2+R4+1jωC2+jωL4+I5jωM48+R7I7=E2.Контур D:I2jωM48+I31 jωC3+I5R5+1jωC5+jωL8=0.Уравнения в комплексной форме для встречного включения катушек:Контур B:I2R2+R4+1jωC2+jωL4-I5jωM48+R7I7=E2.Контур D:-I2jωM48+I31 jωC3+I5R5+1jωC5+jωL8=0.Список использованных источников1. Бессонов, Л.А. Теоретические основы электротехники. Электричес-кие цепи: учебник для бакалавров / Л. А. Бессонов. — М.: Юрайт, 2016. — 701 с. 2. Татур Т.А. Основы теории электрических цепей (справочное пособие). — М.: Высш. шк., 1980 . — 271 с.