Цепи Маркова

Введение
Цепи Маркова названы в честь выдающегося русского математика Андрея Андреевича Маркова, много работавшего над случайными процессами и внесшего большой вклад в развитие этой области. В последнее время можно услышать об использовании цепей Маркова в самых разных областях: современные веб-технологии, при анализе художественных текстов или даже при разработке тактики игры футбольной команды. У тех, кто не знает, что такое цепи Маркова, может возникнуть ощущение, что это что-то очень сложное и почти недоступное для понимания.Нет, как раз наоборот. Цепь Маркова — это один из простейших случаев последовательности случайных событий. Но, несмотря на свою простоту, часто может быть полезен даже при описании довольно сложных явлений. Цепь Маркова — это последовательность случайных событий, в которой вероятность каждого события зависит только от предыдущего, но не зависит от более ранних событий.Прежде чем углубляться, необходимо рассмотреть несколько вспомогательных вопросов, хорошо известных, но совершенно необходимых для дальнейшего изложения.Цель работы – выполнить поставленное задание.Основная частьОдноканальная СМО с отказами — это система массового обслуживания, в которой есть один канал обслуживания, но нет очереди: если заявка приходит, в момент, когда канал свободен, то она немедленно обслуживается каналом, если заявка приходит — когда канал занят, то заявка покидает систему (теряется).На вход одноканальной СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.Интенсивность простейшего потока обслуживания канала μ.Если заявка застаёт канал свободным, она принимается на обслуживание и обслуживается каналом.Если заявка застаёт канал занятым, то она получает отказ (покидает систему не обслуженной).После окончания обслуживания заявки освобождается канал.Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.Размеченный граф состояний одноканальной СМО представлен на рисунке 1.Рисунок 1 – Граф состояний одноканальной СМОЗдесь  и  – интенсивность потока заявок и выполнения заявок соответственно. Состояние системы So обозначает, что канал свободен, а S1 – что канал занят обслуживанием заявки.Система дифференциальных уравнений Колмогорова для такой СМО имеет вид:где po (t) и p1 (t) – вероятности нахождения СМО в состояниях So и S1 соответственно. Уравнения для финальных вероятностей po и p1 получим, приравнивая нулю производные в первых двух уравнениях системы. В результате получим:  Вероятность p0 по своему смыслу есть вероятность обслуживания заявки pобс, т. к. канал является свободным, а вероятность р1 по своему смыслу является вероятностью отказа в обслуживании поступающей в СМО заявки ротк , т. к. канал занят обслуживанием предыдущей заявки.
Заключение
Цепи Маркова служат хорошим введением в теорию случайных процессов, т. е. в теорию простых последовательностей семейства случайных величин, обычно зависящих от параметра, роль которого в большинстве приложений играет время. Он предназначен в первую очередь для полного описания как долгосрочного, так и локального поведения процесса. Вот некоторые из наиболее изученных вопросов в этом отношении.Броуновское движение и его обобщения представляют собой диффузионные процессы и процессы с независимыми приращениями. Теория случайных процессов способствовала углублению связи между теорией вероятностей, теорией операторов и теорией дифференциальных уравнений, что, помимо прочего, имело большое значение для физики и других приложений. Приложения включают процессы, представляющие интерес для актуарной (страховой) математики, теории массового обслуживания, генетики, управления дорожным движением, теории электрических цепей, а также теории учета и накопления.Мартингалы. Эти процессы сохраняют достаточно свойств марковских цепей, чтобы они могли выполнять важные эргодические теоремы. Мартингалы отличаются от цепей Маркова тем, что при известном текущем состоянии от прошлого не зависит только ожидание будущего, но не обязательно само распределение вероятностей. Помимо того, что она является важным исследовательским инструментом, теория мартингалов обогатила теорию случайных процессов, возникающих в статистике, теорию деления ядер, генетику и теорию информации новыми предельными теоремами.Стационарные процессы. Старейшая известная эргодическая теорема, как отмечалось выше, может быть интерпретирована как результат, описывающий предельное поведение стационарного случайного процесса. Такой процесс обладает тем свойством, что все вероятностные законы, которым он удовлетворяет, остаются инвариантными при сдвигах во времени. Эргодическую теорему, впервые сформулированную физиками как гипотезу, можно представить как утверждение о том, что при определенных условиях среднее по ансамблю совпадает со средним по времени. Это означает, что одну и ту же информацию можно получить как при длительном наблюдении за системой, так и при одновременном (и мгновенном) наблюдении многих независимых копий одной и той же системы. Закон больших чисел есть не что иное, как частный случай эргодической теоремы Биркгофа. Интерполяция и предсказание поведения стационарных гауссовских процессов в широком смысле служат важным обобщением классической теории наименьших квадратов. Теория стационарных процессов является необходимым инструментом исследования во многих областях, например, в теории связи, которая занимается изучением и созданием систем, передающих сообщения при наличии шумов или случайных помех.Марковские процессы (процессы без последействия) играют огромную роль при моделировании систем массового обслуживания (СМО), а также при моделировании и выборе стратегии управления социально-экономическими процессами, происходящими в обществе.
Список использованной литературы

Васильев, А. А. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник и практикум для среднего профессионального образования / А. А. Васильев. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2018. — 232 с.Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник и практикум для академического бакалавриата / Н. Ш. Кремер. — 5-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 538 с. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей : учебник и практикум для среднего профессионального образования / Н. Ш. Кремер. — Москва : Издательство Юрайт, 2020. — 271 с. Мятлев В. Д. Теория вероятностей и математическая статистика. Математические модели : учебник для академического бакалавриата / В. Д. Мятлев, Л. А. Панченко, Г. Ю. Ризниченко, А. Т. Терехин. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2018. — 321 с.Малугин, В. А. Теория вероятностей : учебное пособие для бакалавриата и магистратуры / В. А. Малугин. — Москва : Издательство Юрайт, 2020. — 266 с.