Общее понятие дискретного канала передачи данных

Введение

Построение высокоскоростных систем передачи дискретных сообщений является весьма актуальной ввиду того, что количество передаваемой по каналам связи информации непрерывно увеличивается [3, с.27]. Большинство дискретных каналов связи можно отнести к классу стохастических (со случайными параметрами). Такие каналы с характерным для них эффектом рассеяния энергии передаваемого сигнала во времени (ограничение полосы частот, многолучевое распространение), по частоте (замирания, доплеровские смещения) и в пространстве неизбежно усложняют устройство обработки принимаемого сигнала, так как на выходе канала текущая реализация оказывается зависимой от состояния канала в предыдущие моменты времени. Флуктуационные и сосредоточенные помехи (по времени, по частоте и в пространстве) дополнительно усложняют задачи приема дискретных сообщений в стохастических дискретных каналах связи.Целью написания данного реферата является изучение теоретических особенностей дискретных моделей.Из выше представленной цели можно выделить следующие задачи:общее понятие дискретного канала передачи данных;модели дискретных каналов.1 Общее понятие дискретного канала передачи данныхТочное математическое описание любого реального канала передачи данных обычно весьма сложное. Вместо этого используют упрощенные математические модели, которые позволяют выявить важнейшие закономерности реального канала [1, с.7].В физическом канале сигнал S(t) подвергается воздействию шума n(t). Схема этого явления показана на рисунке 1.1.Рисунок 1.1 – Структурная схема физического канала в общем видеДля количественной оценки степени влияния шума n(t) на сигнал S(t) обычно используют отношение сигнал/шум (SNR), определяемое как отношение мощности сигнала к мощности шума, как показано в формулеSNR=PсPш=(AсAш)2, (1.1)где P — средняя мощность, а A — среднеквадратичное значение амплитуды.Параметры сигнала и шума измеряются в полосе пропускания системы передачи данных.Как правило отношение сигнал/шум выражается в децибелах и рассчитывается по формулеSNRdB=10log10PсPш=20log10(AсAш). (1.2)В цифровой связи основным критерием качества канала связи и системы передачи данных является отношение сигнал/шум, нормированное на ширину полосы пропускания и битовую скорость передачи данных. Нормированное отношение сигнал/шум обозначается как Eb/N0 и рассчитывается по формуле (1.3). Eb — это энергия бита, которая представляет из себя мощность сигнала Pс, умноженную на время передачи одного бита Tb. N0 — это спектральная плотность мощности шума, которая выражается как отношение мощности шума Pш на ширину полосы пропускания канала W:EbN0=PcTbPш/W=Pc/RPш/W=PcPш∙WR=SNR∙WR, (1.3)где R — битовая скорость передачи данных.Выделяют два основных вида моделей каналов передачи данных. Непрерывные (аналоговые) каналы и дискретные (цифровые) каналы [1, с.8].Непрерывные каналы имеют непрерывный сигнал S(t) на входе и непрерывный сигнал R(t) на выходе. Эти сигналы являются непрерывной функцией от времени.Дискретные каналы имеют на входе дискретные кодовые символы xj, а на выходе — дискретные кодовые символы yi, в общем случае не совпадающие с xi.Почти во всех реальных линиях связи дискретный канал содержит внутри себя непрерывный канал, на вход которого подаются сигналы S(t), а с выхода снимаются искаженные помехами сигналы R(t). Свойства этого непрерывного канала наряду с характеристиками модулятора и демодулятора однозначно определяют все параметры дискретного канала. Поэтому иногда дискретный канал называют дискретным отображением непрерывного канала. Однако при математическом исследовании дискретного канала обычно отвлекаются от непрерывного канала и действующих в нем помех и определяют дискретный канал через алфавит источника {x0, x1, ..., xq−1}, вероятности появления символов алфавита, скорость передачи символов, алфавит получателя {y0, y1, . . . , yQ−1} и значения переходных вероятностей P(yi|xj), где i = 0,1,...,Q, j = 0,1,...,q.Переходные вероятности P(yi|xj) являются вероятностями того, что при отправке в канал символа xj на выходе будет получен символ yi.Как правило, переходные вероятности в канале записывают в виде матрицы переходов, являющейся стохастической матрицей, у которой сумма всех элементов каждой строки равна единице. В общем случае матрица переходов с входным алфавитом из q символов xj и выходным алфавитом из Q символов yi, содержит все переходные вероятности и имеет вид [1, с.8]PXY=P(y0|x0)P(y1|x0)⋯P(yQ-1|x0)P(y0|x1)P(y1|x1)…P(yQ-1|x1)⋮⋮⋱⋮P(y0|xq-1)P(y1|xq-1)⋯P(yQ-1|xq-1) (1.4)Если переходные вероятности для каждой пары i, j остаются постоянными и не зависят от того, какие символы передавались и принимались ранее, то дискретный канал называется постоянным или однородным. Иногда применяют также другие названия: канал без памяти или канал с независимыми ошибками. Если же вероятности перехода зависят от времени или от имевших место ранее переходов, то канал называют неоднородным или каналом с памятью.Помимо дискретных и непрерывных каналов выделяют дискретно-непрерывные каналы, которые имеют дискретный вход и непрерывный выход.2 Модели дискретных каналовДля описания каналов передачи информации принято использовать математические модели, учитывающие особенности распространения радиоволн в окружающей среде. Среди таких особенностей можно, например, отметить наличие частотно-селективных замираний, приводящих к явлению межсимвольной интерференции (МСИ). Эти явления существенно сказываются на качестве принимаемой информации, так как приводят в ряде случаев к пакетированию одиночных ошибок. Для описания процессов пакетирования было разработано множество моделей каналов связи с памятью [2, с.143].Каналы связи принято называть дискретными по времени только в том случае, если входные и выходные сигналы доступны для наблюдения и дальнейшей обработки в строго фиксированные моменты времени. Для определения моделей дискретных каналов связи достаточно описать случайные процессы, происходящие в них, а также знать вероятности появления ошибок. Для этого необходимо иметь входной (А) и выходной (Aˆ) наборы передаваемых символов, должна быть задана совокупность переходных вероятностей p(aˆ|a), которая зависит от следующих величин: a = (a1,a2 ,...ai ,...) – случайной последовательности символов входного алфавита, где ai ∈ A– символ на входе канала в i-й момент времени; aˆ = (aˆ1,aˆ2,...aˆi,...) – последовательности принятых символов, взятой из выходного алфавита, где aˆi ∈ Aˆ – символ на выходе канала в i-й момент. С математической точки зрения вероятность p(aˆ|a) можно определить как условную вероятность приема последовательности aˆ при условии, что передана последовательность a. Количество переходных вероятностей прямо пропорционально возрастает с увеличением длительности входных и выходных последовательностей. Например, при использовании бинарного кода для последовательности длиной n, количество переходных вероятностей составит 22n. Ниже приведено описание математических моделей дискретных каналов, содержащих ошибки. С их помощью можно достаточно просто определить переходные вероятности p(aˆ|a) для заданной последовательности длиной n.2.1 Дискретный канал без памятиЭтот тип канала характеризуется тем, что вероятность появления символа на его выходе определяется только набором символов на его входе. Это утверждение справедливо для всех пар символов, передаваемых через данных канал связи. Наиболее ярким примером канала без памяти является бинарный симметричный канал. Принцип его функционирования можно описать в виде графа, показанного на рисунке 2.1 [2, с.144]. На вход канала подается произвольный символ из последовательности а. На приемной стороне он воспроизводится верно с постоянной вероятностью q равной q=p00=p(1|1), или неверно в случае, если вероятность определяется выражением pош=p10=p01=1-q. (1)Диаграмма переходов для бинарного канала (БСК) показана на рисунке 1.Рисунок 2.1 – Дискретный канал без памятиДля БСК можно легко определить вероятность получения любой последовательности символов на выходе при условии, что задана некоторая входная последовательность, обладающая фиксированной длиной. Допустим, что такая последовательность имеет длину 3 P000001=qq1-q=q2pош 2.Для удобства анализа представим БСК как канал, к которому подключен генератор ошибок. Такой генератор выдает случайную последовательность ошибок …, ei-1, ei, ei+1. Каждый её символ ei складывается по модулю с символом ai, принадлежащим двоичному каналу – ai=ai⨁ei. Сложение выполняется только при условии, что позиции ошибки и символа совпадают. Таким образом, если ошибка {ei} имеет единичное значение, передаваемый символ изменится на обратный, то есть на приемной стороне будет декодирована последовательность {aˆi}, содержащая ошибку. Переходные вероятности, описывающие стационарный симметричный канал имеют вид p{ai}{ai}=p(eiai=pei (3.)Из вышеприведенного выражения видно, что канал можно полностью описать статистикой последовательности ошибок {ei}, где ei ∈{0, 1}. Такую последовательность, обладающую длиной n, принято называть вектором ошибок. Компоненты данного вектора принимают единичные значения только на позициях, соответствующих неправильно принятым символам. Число единиц в векторе определяет его вес.2.2 Симметричный канал без памяти со стираниемЭтот вид канала во многом аналогичен каналу без памяти за исключением того, что входной алфавит содержит дополнительный (m+1) символ «?». Используется этот символ только в том случае, если детектор не способен надежно распознать переданный символ ai. Вероятность такого события Рс всегда является фиксированной величиной и не зависит от передаваемой информации. Граф вероятностей переходов для данной модели показан на рисунке 2.2 [2, с.146].Рисунок 2.2 – Симметричный канал без памяти со стиранием2.3 Несимметричный канал без памятиДанный канал связи можно охарактеризовать тем, что отсутствует зависимость между вероятностями возникновения ошибки. Но сами они определяются передаваемыми в текущий момент времени символами. Таким образом, для бинарного канала можно записать P(1|0) ≠ P(0|1). Переходные вероятности, описывающие данную модель, показаны на рисунке 2.3 [2, с.146].Рисунок 2.3 – Несимметричный канал без памяти2.4 Дискретный канал с памятью.Этот канал можно описать зависимостью между символами входной и выходной последовательностей. Каждый принятый символ зависит как от соответствующего переданного, так и от предыдущих входных и выходных бит. Большая часть реально функционирующих систем связи содержит именно такие каналы. Наиболее существенной причиной наличия памяти в канале является межсимвольная интерференция, проявляющаяся из-за ограничений, накладываемых на полосу пропускания канала связи [2, с.147]. Каждый выходной символ обладает зависимостью от нескольких последовательных символов на входе. Вид этой зависимости определяется импульсной характеристикой канала связи. Второй, не менее важной, причиной эффекта «памяти» являются паузы в передаче данных в канал. Длительность таких пауз может значительно превышать длительность одного бита данных. Во время перерыва в передаче вероятность неправильного приема информации резко возрастает, в результате возможно появление групп ошибок, называемых пакетами. По этой причине многими исследователями рекомендуется использовать понятие «состояния канала». В результате каждый символ принятой последовательности статистически зависит как от входных символов, так и с состояния канала в текущий момент времени. Под термином «состояние канала» обычно понимают вид последовательности входных и выходных символов вплоть до заданного момента времени. На состояние канала в том числе оказывает сильное влияние и межсимвольная интерференция. Память у каналов связи подразделяется на два вида: память по входу и выходу. Если присутствует зависимость между выходным символом и битами на входе ai, ai-1, …ai-k, то такой канал обладает памятью по входу. Его можно описать переходными вероятностями вида p(aˆi|ai ,ai−1,ai−2,...), i = –1, 0, 1, 2, …. С точки зрения математического анализа память канала бесконечна. На практике количество символов, оказывающих влияние на вероятность правильного или неверного приема информации конечно. Память канала вычисляется как число символов N, начиная с которого справедливо равенство условных вероятностей paiai,ai-1,…,ai-N=paiai,ai-1,…,ai-N-j, для всех j≤1. (4)Последовательность входных символов ai−1,...,ai−N можно представить как состояние канала Ci−1 в (i-1)-й момент. В таком случае канал можно охарактеризовать набором переходных вероятностей вида p(aˆi|ai ,Ci−1). В том случае если принятый бит данных aˆi характеризуется зависимостью от предшествующих выходных символов, то канал связи принято называть каналом с памятью по выходу. Переходные вероятности можно представить в виде выраженияpaiai,ai-1,…,ai-N=paiai, Ci-1, (5)где выходные символы aˆi−1,..., aˆi−N определяют состояние канала Ci−1 в (i–1)-й момент. Использование переходных вероятностей для описания каналов с памятью очень неэффективно в виду громоздкости математических выкладок. Например, если имеется канал с межсимвольной интерференцией, а его память ограничена пятью символами, то количество возможных состояний канала составит 25=32. Если же память только по входу или только по выходу ограничивается в двоичном канале N символами, то число состояний равно 2N, то есть растет по экспоненциальному закону в зависимости от количества символов памяти N. На практике чаще всего приходиться сталкиваться с каналами, обладающими памятью в десятки, сотни и даже тысячи символов.2.5 Дискретно-непрерывный канал Рассмотрим дискретно-непрерывный канал, на входе которого имеются независимые символы ai, а на выходе присутствует непрерывный сигнал z(t). Для его описания воспользуемся переходными (условными) плотностями w[z |ai] декодируемой реализации z(t) при условии, что передан символ ai, а также априорными вероятностями передаваемых символов P(ai). Переходные плотности также принято называть функциями правдоподобия. С другой стороны, дискретно-непрерывный канал можно описать апостериорными вероятностями P[ai|z] передачи символа ai при получении на выходе колебания z(t). При использовании формулы Байеса получим [2, с.148]Paiz=Paiw[z|ai]w(z), 6.В данном выражении используется плотность декодируемого колебания, которая определяется какwz=i=0m-1Paiwzai 7.Непрерывно-дискретный канал описывается аналогично.2.6 Дискретный канал с памятью, характеризующийся коррелированными замираниямиЗамирания возникают, когда амплитуда или фаза сигнала, переданного через канал, изменяются по случайному закону. Понятно, что замирания приводят к существенному ухудшению качества принятой информации. Одной из наиболее существенных причин появления замираний считается многолучевое распространение сигналов [2, с.149]. Для описания канала связи будем считать, что кодовая последовательность, подлежащая передаче a = (a(1) ,a(2) ,...,a(i),...), a(i) ∈{0,1}, i =1,2,... генерируется с использованием сверточного кодера. А после этого подвергается бинарной частотной модуляции, описываемой выражением вида Skt=2ETcos2πfkt, 0≤t≤T, k=0,1,… 8.Здесь буквами E, T обозначена энергия и длительность сигнала,fk=lkT, lk-целые числа, lk>1. 9.На приемной стороне будет наблюдаться случайный процесс y(t)y(t)=μ2ETcos2πfkt+θ+nt, 0≤t≤T 10. В данном выражении используются следующие параметры:µ —коэффициент передачи канала, выбираемый случайным образом, θ — случайный фазовый сдвиг, n(t) — белый гауссовский шум (АБГШ). Его спектральная плотность мощности равна N0/2. Если передается некоторая последовательность a, то выходной сигнал когерентного демодулятора примет вид y = (y(1), y(2),..., y(i) ,...). Названная последовательность поступает на вход декодера. Полученную последовательность можно представить в виде вектора y(i)=(y0(i),y1(i)), для вычисления компонент которого используются выражения (11) и (12):y0i=(μci2γ+nc0i)2+(μsi2γ+ns0i)2 11.y1(i)=(nc1(i))2+(ns1i)2 12.Здесь µc(i) ≜ µ(i) cosθi, µs(i) ≜ µ(i) sinθi - квадратурные компоненты в сумме, дающие коэффициент передачи канала, nck(i), nsk(i), k=0,1 — случайные величины, связанные с влиянием белого гауссовского шума, γ = E/N0 – отношение сигнал/шум. Данные выражения имеют силу, только если передается символ a(i) = 0. Если имеет место передача символа a(i) =1, то правые части равенств (11) и (12) меняются местами. Случайные величины µc(i), µs(i), nck(i), nsk(i), k=0,1 подчиняются гауссовскому распределению, обладающему параметрамиncki=nski=nckinski=0 13ncki=nskl=nckinskl=δil 14μc(i)=μs(i)=μc(i)μs(i)=0 (15)μc(i)nckl=μc(i)nski=μs(i)nckl=μs(i)nskl=0, i,l=1,2,… (16)Анализируя эти выражения, можно прийти к выводу, что канальный коэффициент передачи μ(i)≜(μci)2+(μsi)2 зависит от рэлеевского распределения. Канал с замираниями характеризуется наличием памяти между элементами последовательности символов μ=(μ(1), μ(2),…,μ(i),…). Эта память зависит от характера связей между членами рядов μc=(μc(1), μc(2),…,μc(i),…) и μs=μs1, μs2,…,μsi,… 17.Предположим, чтоμciμcl=μsiμsl=12ril=12ri-l, 18,где 0≤r≤1. В таком случае μc и μs образуют независимые Марковские последовательности. А функция плотности вероятностей w(µ) для последовательности µ при N> 1 будет равна wμ=wμ1wμ2μ1…wμNμN-1, 19.Где wμ=2μexp-μ2при μ≥00 приμ<0 (20)wμξ=2μ1-r2exp⁡(-μ2+r2ξ1-r2I02rμξ1-r2при μ≥00 при μ<0 21.В приведенном выражении I0(х) является функцией Бесселя первого рода нулевого порядка. Параметр будет равен среднему значению отношения С/Ш для релеевского канала. Параметр r характеризует зависимость случайных канальных коэффициентов передачи от времени. Этот параметр может лежать в интервале 0,99-0,999. Зная все вышеперечисленные параметры, можно определить условную функцию плотности вероятности w(y|x). Аналитическое выражение для этой функции имеет вид wyx=wyx,μw(μ)dμ 22.С учетом выше приведенных уравнений, получимwyx,μ=i=1Nw(yi|xi,μ(i)) 23.Таким образом, условные функции плотности вероятности w(y(i)| x(i), µ(i)) являются произведением функций плотности вероятности в случае центрированного и не центрированного X2 – распределения. Такое распределение имеет две степени свободы. 2.7 Модель Гильберта К сожалению, все выше рассмотренные модели каналов не способны описать пульсирующую природу реальных каналов передачи. Поэтому Гильбертом была предложена следующая модель канала с ошибками. Вероятность ошибки в текущем состоянии сети зависит от того, в каком состоянии находилась сеть в предыдущий момент времени. То есть подразумевается, что имеет место корреляция между двумя последовательными событиями. Таким образом, проявляется память канала и его пульсирующая природа. Модель Гильберта по сути является моделью Маркова первого порядка с двумя состояниями – «хорошим» и «плохим». Если ошибки в принятых данных отсутствуют, то речь идет о «хорошем» состоянии. В «плохом» состоянии вероятность ошибки принимает некоторое значение большее, чем 0. На рисунке 2.4 показана модель Гильберта [2, с.152].Рисунок 2.4 – Схематическая иллюстрация модели ГильбертаВероятность того, что канал находится в «плохом» состоянии равна PB=qp+q 24.И таким образом, полная вероятность ошибкиPe=P1BPB+P1GPG=P1B*qp+q 25.Модель Гильберта является самовозобновляемой моделью, это означает, что длины пачек ошибок и длины безошибочных промежутков не зависят от предшествующих пачек и промежутков ошибок. Это так называемая скрытая модель Маркова (HMM). Текущее состояние модели (Х или П) не может быть определено до тех пор, пока не будет получен выходной сигнал модели. Кроме того, параметры модели {p, q, P(1|B)} не могут быть получены непосредственно во время моделирования. Они могут быть оценены лишь с помощью специальных триграмм или с помощью аппроксимации кривых, как это предложено в работе Гильберта. Из-за возможности прямой оценки параметров чаще всего использовалась упрощенная версия модели Гильберта, в которой вероятность ошибки в «плохом» состоянии всегда равна 1. Эта модель может быть несколько модифицирована и представлена в виде цепи Маркова первого порядка с двумя состояниями. Два параметра упрощенной модели Гильберта {p, q} могут быть вычислены непосредственно путем измерений трасс ошибок при учете средней длины пачек ошибокp=1Lburst 26и среднем значении длин промежутковq=1Lgap=Pc(Lburst*(1-Pe)) (27)или полной вероятности ошибкиPe=qLburst/(1+qLburst 28.Улучшения модель Гильберта впервые была описана в работе Элиота. В ней ошибки могут происходить также и в хорошем состоянии, как это показано на рисунке 2.5.Рисунок 2.5 – Схематическая иллюстрация модели Гильберта-ЭллиотаЭта модель, также известная как канал Гильберта-Элиота (GEC), преодолевает ограничение модели Гильберта в отношении геометрических распределений длин пачек ошибок. Кроме того, что данная модель должна соответствовать модели HMM, она должна быть не возобновляемой, то есть длины пачек ошибок должны быть статистически независимы от длин промежутков. Это привносит новые возможности для моделирования радиоканала, но и усложняет процедуру оценки параметров. Параметры для не возобновляемой модели HMM и модели GEC могут быть оценены с использованием алгоритма Баума-Валия [2, с.153]. В 1960-х годах, исследователи Бергер, Манделброт, Суссман и Элиот предложили использовать возобновляемые процессы для моделирования характеристик ошибок коммуникационных каналов. Для этого Бергер и Манделброт использовали независимое распределение Парето видаfta=a*t-a, t≥1,0