Определение вероятности

Введение

Вероятность характеризуется степенью ( количественной оценкой , мерой) возможности наступления некоторого события.Основание возможного события происходящего в действительности перевешивают противоположные основания. Данное событие называется вероятным, либо же маловерным или невероятным.Преимущество отрицательного основания к положительному или же может быть в различной степени , благодаря чему вероятность оценивается на высоком уровне. Особенно когда количественная оценка затруднительна.Рассмотрим различные градации уровней вероятности:Классическое определение вероятности.Статистическое определение вероятности. Аксиоматический подход к определению вероятности.Комбинированный метод определения вероятностиВозникновение теории и понятия вероятностиВ 17 веке появились первые работы о теории вероятности. В 1654 году переписка французских ученых П. Ферма и Б. Паскаля и в 1957 году голландского ученого Х. Гюйгенса, которые дали первые трактовки вероятности.Христьян Гюйгенс уже использовал понятие «математическое ожидание». Якоб Бернулли – швейцарский математик установил закон больших чисел для испытаний с двумя исходами.В 18 веке теория вероятности развивается в работа французских математиков С. Пуассона и П. Лапласа, английского математика А. Муавраи германского математика К. Гаусса. Теория вероятности применяется в теории наблюдения ошибок, которая развивалась в связи с потреблением теории стрельбы, астрономии и геодезии. В 1774 году закон распределения ошибок предложил Пьер-Симон Лаплас как зависимость от ошибки без учета знака. В 1778 году предложил функцию квадрата ошибки, данный закон называют нормальным распределением или распределением Гаусса.В 1778 году Даниил Бернулли ввел принцип производственной вероятности одновременных событий.В 1805 году Адриен Мари Лежандр разработал метод наименьших квадратов.Во второй половине 19 века русские математики А. М. Ляпунова, П. Л. Чебышева, А.А. Маркова разработали теорию вероятности. Работы, связанные с работами статистической физики австралийского математика Л. Больцмана и работами математической статистикой английского математика Ф. Гальтона и бельгийского математика А. Кетле и разработали основу для расширения проблем теории вероятности.В 1993 году советскими математиками А. Н. Колмогоровым была разработана наиболее распространённая аксиоматическая (логистическая) схема построения основы теории вероятности.Классическое определение вероятности Классическое определение вероятности случайного события Р (А) равно отношения числа благоприятных исходов к общему числу исходов.Формула классического определения вероятности :Р А=mnДанная формула применяется для вычисления вероятности события. Служит для теоретического определения вероятности события по заданным условиям опыта.Вероятность сводится к подсчету элементов множества и оказывается трудной комбинаторной задачей.Данное определение оправдывается возможностью вероятности на основании условий симметрии, при которых происходит эксперимент, вследствие этих исходов испытания приводит к количеству возможных исходов. Примером классического определения вероятности рассмотрим игральную кость, которую подбрасывают, так чтобы кость успевала сделать наибольшее количество оборотов перед падением, то выпадение любой из ее граней является равновозможным исходом.Симметрия считается равновозможным исходом эксперимента – вынимания перемешанных и не отличаемых на ощупь черных и белых шаров. После определения цвета шара, шар возвращается обратно в мешок и после перемешивания извлекается следующий шар. Данная симметрия наблюдается в искусственно организованных экспериментах, такими являются азартные игры.Классическое определение вероятности связывается с понятием равновозможных экспериментов, которые сводятся к схеме случаев. Для чего необходимо: событие е1, е2, еn являлись несовместимыми.Не все эксперименты удовлетворяют схеме случаев. При нарушении условий симметрии нарушается схема случаев. Эксперименты, которые не обладают симметрией, используются под схемой случаев. Для этого применяется статистическое определение вероятности.Статистическое определение вероятности При анализе результатов испытаний испытываются трудности для определения закономерности.В последовательности одинаковых испытаний можно определить устойчивость средних характеристик.Частью события и n-количества испытаний характеризуется отношением m/n, число m - испытания в которых событие А, наступает к числу испытаний (общему) –n.В каждой серии испытаний частота события А устанавливается около значения m/n которое применяется за вероятность события А.Устойчивость значения подтверждается специальными экспериментами.Статистическая закономерность впервые были обнаружены в азартных играх. На примере испытаний, которые характеризуются равновозможными исходами.Путь к численному определению вероятности через статистический подход, при нарушении условий симметрии эксперимента.Частота события А является статистической вероятностью которая рассчитывается по формуле:Р*А= mАnMa - число экспериментов, с событием А.n – Общее число экспериментов.Данная формула служит для определения частности события. Для использования формулы, требуется опытный статистический материал.Аксиоматический подход к определению вероятностиАксиоматический подход определяется вероятностью, которое было сформулировано в 1933 году русским математиком А. Н. Колмогоровым. Вероятностью задается числовой функцией Р (А) на количество всех событий, которые определяются данным экспериментом, и удовлетворяют следующим аксиомам:0≤Р(А)≤1Р(А) =1, если «А» является достоверным событием.Р А∪В=РА+Р(В)При условии «А» и «В» которые являются несовместимыми.Основные свойства вероятности:Для события «А» определятся вероятность: 0≤Р(А)≤1Для достоверного события ∪ имеет место равенства Р (∪)=1. Свойство 1 и свойство 2 следует из определения вероятности.Для произвольных событий А и В:РА∪В=РА+РВ-Р(АВ) Для произвольных событий А и А имеет место равенство:РА=1-Р(А)Вводится невозможное событие которое обозначается «О», которое не способствует исходу из пространства элементарных событий.Вероятность возможного события =0.Комбинированный методВ проблемах вероятности необходимо перечисление всевозможных исходов эксперимента или элементарного события, которые возможны в данной ситуации.Для этого используются следующие правила:Правило №1.Если операций состоит нескольких шагов. Первый шаг сделан n1 способом, и второй шаг сделан n2 способами. Следовательно, вся операция сделана за n1*n2 способов.Понятие «операция» характеризуются любой процедурой , методом или процессом выбора.Для подтверждения правила, была рассмотрена операция, которая состоит из шагов xi и yi, шаг x осуществляется n1 способом, так же шаг может осуществляется n2 способом. Тогда ряд всевозможных способов представлен следующими парами n1n2Правил №2.Операция состоит из K- шагов. Первый шаг может быть сделан n1- способом. Второй шаг может быть сделан n2- способом и так далее, k- й способ. Так вся операция осуществляется n1*n2….nk шагов.Правило №3.Число перестановок n различных объектов =n!.Правило №4Число размещения из n- объектов по r определится как:Аnr=n!n-r!для r=0,1,….., n).Круговыми перестановками характеризуются объекты, которые располагаются по кругу.Несколько круговых перестановок не являются различными, если объекты в 2 расположениях имеют такие же объекты слева и справа.Правило №5.Число перестановок из n- предметов , которые расположены по кругу, и равны (n-1)!.n- объект из которых выбираются r- объектов и формирование перестановок, которые являются различными.Следовательно, все выше перечисленные формулы не могут числа способов расположенных 3 копий одной новело и одной копии из 4 других новелл на полке или использоваться для определения числа способов расположения букв в слове «book» .Пример №6.Число перестановок n- объектов, в которых n1 – одного сорта, n2- второго сорта, ….., nk- k-го сорта. Для определения задач необходимы определения числа способов выбор r- объектов из n- различных объектов. Не происходит должного внимания на порядок, в котором происходит выбор. Данные комбинации характеризуются сочетаниями.Пример №7.Число комбинаций по r- объектов из n-различных объектов котрое определяется числом:Сnr=n!r!n-r!Число сочетаний обозначается как nrПравило №8. Число способов с помощью которых ряд n-объектов , разбивается на k- частей с n1- объектами в 1 части , n2- объекта во 2 части, …., nk в k- части, которая определяется по формуле:n!n1!n2!nk!Доказательством правила №8 является следующее:Так как n1 объектов могут быть выбраны в рядспособами, n2 могут быть выбраны:и т. д.Согласно правилу 2 всего число способов будет определяться в видеЗаключение На сегодняшний день понятие «вероятность» получает большое распространение в науке, эконометрике.Классическое определение основывается понятием равновозможным исходом.В реферате были рассмотрены следующие уровни вероятности:Классическое определение вероятности.Статистическое определение вероятности. Аксиоматический подход к определению вероятности.Комбинированный метод определения вероятности

Список используемой литературы

Балдин, К.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В Рукосуев. - М.: Дашков и К, 2016. - 472 c.Борзых, Д.А. Теория вероятностей и математическая статистика в задачах: Более 360 задач и упражнений / Д.А. Борзых. - М.: Ленанд, 2018. - 240 c.Высоцкий, И.Р. ЕГЭ 2013 Математика Задача В10.Теория вероятностей: Рабочая тетрадь / И.Р. Высоцкий. - М.: МЦНМО, 2013. - 48 c.Горобец, Г.С. Теория вероятностей, математическая статистика и элементы случайных процессов / Г.С. Горобец. - М.: КД Либроком, 2013. - 232 c.Григорьев-Голубев, В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Руководство по решению задач: Учебник / В.В. Григорьев-Голубев. - СПб.: BHV, 2014. - 256 c.Золотаревская, Д.И. Теория вероятностей: Задачи с решениями / Д.И. Золотаревская. - М.: КД Либроком, 2018. - 168 c.Ивановский, Р.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами / Р.И. Ивановский. - СПб.: BHV, 2012. - 528 c.