Контрольная работа по Математике на тему: "Производные функции и матрицы"

Вариант 5

Задание 1. Найти и изобразить на числовой оси области определения функций:

а) x/ 4 √6x-x2-5
б) arcsin (3x+1)
в) lg (x+3 / 3-x)
 

Задание 2. Построить график функции y = Asin (ax+b) (либо y = Acos (ax+b)) преобразованием графика функции y = sinx ( либо y = cosx).

y = 5/6 sin (2x/3 +1)

Задание 3. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

a) х →∞ lim x3 + 1/ 2x3+1 = (∞/∞) 
б) х → -2  lim √2-x+x / x2 + 3x+2 = (0/0)
в)  х → 0 lim 5xctg3x 
г) х → 3 lim (3x - 8) 2/x-3

Задание 4. Задана функция y = f(x). Найти точки разрыва функции, если существуют. Сделать чертеж

f(x) = { 1 / x-1; x ⩽ 1
           2,1 < x < 3
           x2; x ⩾ 3 

Задание 5. Найти производные dy / dx данных функций.

а) y= 3+6x / √ 3 - 4x + 5x2
б) y = sinx  - xcosx
в) y = Xm lnx
г) y =  x - tgx
д) y/x = arctg (x/y)

Задание 6. Найти производные dx / dy и d2y/ dx2 для заданных функций:

a) y = f(x)
б) x = q (t); w (t)

Задание 7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y =f (x)  на отрезке (a;b)

f(x) = √3/2x + cosx ; [ 0, П/2]
 

Задание 8. Задачи на физический смысл производной

Тело движется по прямой Ox по закону x = t3 \3  - 2t2  + 3t . Определить скорость и ускорение движения. В какие моменты тело меняет направление движения?

Задание 9. Исследовать математическими методами дифференциального исчисления функцию y = f(x) и, используя результаты исследования, построить график.

 y= 3x2  / x2-1

Задание 10. Доказать равенство вторых частных производных функции z = z (x;y) и найти значение выражения.
 P (x;y) = 2q2z / qx2 - 3 q2z / qy2 в точке М0 (1, 0).

Задание 11. Задана функция U (x;y) выражающая меру полезности набора (x;y) где х – количество товара А, у – количество товара В. Найти наибольшую скорость роста функции полезности набора M0 (x0; y0)

U (x;y) = 2y / ex; M0 (4;6).

 

Задание 12. Введение в математический анализ

5. Зная, что объем производства y связан с производительностью труда x линейной зависимостью, определить эту зависимость, если известно, что при x = 3, y = 185, при x = 5, y = 305. Определить объем производства при x = 20
 

Задание 13. Производная функции, ее нахождение

5. Стоимость произведенной продукции на 1 руб. основных промышленно-производственных фондов (фондоотдача) y(x) зависит от коэффициента сменности оборудования (характеризующего степень равномерности использования оборудования по сменам) x следующим образом: y(x) = √x +C, где C - const. Найти: 1) скорость изменения фондоотдачи при коэффициенте сменности оборудования x = 1.35; 2) функцию этого изменения, если C = 0, полагая, что некоторое время фондоотдача будет изменяться с постоянной скоростью.
 

Задание 14. Исследование функции и построение графиков

5. Суточные расходы при плавании судна состоят из двух частей - постоянной, равной а руб., и переменной -возрастающей пропорционально кубу скорости (коэффициент пропорциональности K). Найти крейсерскую скорость судна, при которой плавание будет наиболее экономично. Вычислить ее значение при а=640, К=0.04.


Вариант 5
 

1. Решить уравнение
   
   | 2x  3|
   4 -x -2  = 0
   
    
2. Решить систему
   
    { 3x1  + x2 = 11
      4x1  + 2x2  = 16
   
   3. Вычислить
   
   | 1  -1  3 |
   |2  -2  4 |
   | -1 1  -1 |
   
   4. Решить систему по формулам Крамера:
   
    { x1 + 2x2 + 3x3 = -1
     2x1 + 3x2 +  x3 = -1
      3x1 + x2 + 2x3 = 2 
   
   5. Найти АВ и ВA
   
   A = (  1  2  1)
         ( -3  1  0)
         (1   4  2)
   
   B = ( 7  0  1)
         ( 3  5   8)
         (-4   2   3)
   
   6. Найти матрицу A-1. Показать, что AA-1 = E
3. 
   A =  (3   4   15)
           (2  8  16)
          (4   20   7)
   
   7. Решить систему матричным методом:
   
    { 3x1  + 2x2  + x3 = 5
      2x1  + 3x2 + x3 = 1
      2x1 + x2 + 3x3 = 11
   
   8. Решить систему методом Гаусса и Жордана-Гаусса:
   
    { x1 - 2x2  + 3x3 = 6
      2x1  + 3x2  - 4x3 = 20
     3x1  - 2x2  - 5x3 = 6