методы обращения матриц: метод Гаусса, метод Холецкого

Содержание

Введение……………………………………………………………

Глава 1. Теоретические основы матричного анализа

1.1. Основные определения и теоремы

1.2. Основные теоремы для обратных матриц

1.3. Алгоритмы численного нахождения обратной матрицы

Глава 2. Практическая часть

2.1. Метод Гаусса

2.2. Метод Гаусса-Жордана

2.3. Метод Холецкого

Заключение.

Выводы и значение проведенного исследования

Литература

Приложение

Введение.

Линейная алгебра и теория матриц давно вошли в число важных инструментов, используемых другими математическими дисциплинами. Результаты теории матриц, даже выходящие за рамки элементарного курса линейной алгебры, необходимы практически в любой области математики — будь то дифференциальные уравнения, теория вероятностей и статистика или теория оптимизации, практически во всех ее приложениях — назовем хотя бы приложения к теоретической и прикладной экономике, инженерным дисциплинам или исследованию операций. К середине XIX века матрицы стали самостоятельными объектами математических исследований. Большой вклад в развитие линейной алгебры внес немецкий математик Карл Фридрих Гаусс. Широко известен его «метод Гаусса» — метод решения системы линейных уравнений, основанный на последовательном исключении переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида. К этому времени уже были сформулированы правила сложения и умножения матриц. Основную роль в их разработке сыграли работы Гамильтона, Кэли и Сильвестра. Исследования Вейерштрасса и Фробениуса далеко продвинули теорию матриц, обогатив ее новым содержанием. Современное название "матрица" было введено английским математиком Джеймсом Сильвестром в 1850 году. В конце XIX века немецкий математик Вильгельм Жордан разработал усовершенствованный вариант метода Гаусса с получением диагональной матрицы.Портреты некоторых из этих выдающихся математиков представлены на рисунке 1.Рисунок 1. Портреты великих математиковПонятие обратной матрицы – одно из основных в матричной алгебре. С ее помощью записываются и решения системы линейных уравнений, и системы дифференциальных уравнений и уравнения баланса в экономике и многое другое в приложениях математики.Актуальность выбранной темы работы состоит в том, что численное вычисление обратной матрицы необходимо для многих приложений математики и, хотя подобные процедуры имеются во всех пакетах прикладных программ, но всегда необходимо знать метод, с помощью которого ищется обратная матрица, понимать его особенности и ограничения.Цель курсовой работы – рассмотреть возможности применения различных методов численного нахождения обратной матрицы. Задача исследования: рассмотреть основные алгоритмы нахождения обратной матрицы.Структура и объем исследования. Курсовая работа состоит из введения, теоретической части, задач практического содержания, выполненных различными алгоритмами и для матриц различной размерности.

Литература:

Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. —М. : Наука, 2001. — 630 с.

Демидович Б. П. Основы вычислительной математики / Б. П. Демидович, И.А.Марон. —М. : Наука, 1966. — 664 с.

Каханер Д., Моурер К., Нэш С. Численные методы и математическое обеспечение: Пер. с англ.- М.: Мир, 1998. – 575 с.

Мицель А.А. Вычислительные методы : учеб. пособие / А. А. Мицель. — Томск : В-Спектр, 2010. — 264 с.

Формалеев В. Ф. Численные методы / В. Ф. Формалеев, Д. Л. Ревизников. М. : Физмалит, 2004. — 398 с.

Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ: Пер. с англ. – М.: Мир, 1989 – 655 с.

Банников А. С., Ким И. Г., Латыпова Н. В. Численные методы: Учебное пособие. Ч. 1. – 2-ое изд. – Ижевск: Удмуртский университет, 2018. – 80 с.

Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2023. – 636 с.

Бахвалов Н. С., Корнев А. А., Чижонков В. Е. Задачи и упражнения по численным методам. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2023. – 352 с.

Волков Е. А. Численные методы. - СПб.: Лань, 2022. –174 с. – 252 с.

Самарский А. А., Вабищевич П. Н., Самарская Е. А., Вабищевич П. Н. Численные методы. Вычислительный практикум. – М.: URSS, 2023. – 208 с.

Беликова Г. И., Бровкина Е. А., Вагер Б. Г., Витковская Л. В., Матвеев Ю. Л. Численные методы: учеб. Пособие для студентов 2-го курса. - СПб.: РГГМУ, 2019. –174 с.

Вабищевич П. Н. Численные методы. Вычислительный практикум. Практическое применение численных методов при использовании алгоритмического языка. – М.: Едиториал УРСС, 2021. – 320 с.

Гателюк О. В. Численные методы. – М.: Юрайт, 2022. – 141 с.

Гильмутдинов Р. Ф., Хабибуллина К. Р. Численные методы. Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань: Изд-во КНИТУ,2018. 92 с.

Гулин А. В. Введение в численные методы в задачах и упражнениях: Учебное пособие. — М.: Инфра-М, 2017. — 432 c.

Деза Е. И., Шахов Ю. Н. Численные методы. – М.: URSS, 2022. – 248 с.

Емельянов В. Н. Численные методы: введение в теорию разностных схем. – М.: Юрайт, 2022. – 189 с.

Ерохин Б. Т. Численные методы: Учебное пособие. — СПб.: Лань КПТ, 2016. — 256 c.

Зализняк В. Е. Численные методы. Основы научных вычислений. Учебник и практикум. – М.: Юрайт, 2016. – 358 с.

Зарипов Р. С. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. — СПб.: Лань, 2016. — 400 c.

Зенков А. В. Численные методы. – М.: Юрайт, 2020. – 123 с.

Зенков А. В. Вычислительная математика для IT-специальностей. – М.: Инфра-Инженерия, 2022. – 128 с

.Калашников А. Л., Потемин Г. В., Федоткин А. М. Методические указания к решению задач по интерполяции функций. Учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2016. – 35 с.

Квасов Б. И. Численные методы анализа и линейной алгебры. Использование Matlab и Scilab. Учебное пособие. – СПб.: Лань, 2016. – 328 с.

Колдаев В. Д. Численные методы. — М.: Форум, 2022. — 339 c.

Козловский В. А. Численные методы. Курс лекций: Учебное пособие. — СПб.: Лань П, 2016. — 208 c.

Копченова Н. В. Вычислительная математика в примерах и задачах: учебное пособие / Н.В. Копченова, И.А. Марон. — 4-е изд., стер. — Санкт-Петербург: Лань, 2017. — 368 с.

Корнеев П. К., Тарасенко Е. О., Гладков А. В., Дерябин М. А. Численные методы. Ставрополь: Изд-во СКФУ, 2018. 107 с.

Крайнов А. Ю., Моисеева К. М. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений: учеб. пособие. Томск: STT, 2016. 44 c.

Локтионов И. К. Численные методы: Учебник. – М.: Инфра-Инженерия, 2022. – 380 с.

Нагаева И. А., Кузнецов И. А. Основы математического моделирования и численные методы. – СПб.: Лань, 2022. – 204 с.

Пименов В. Г. Численные методы в 2 частях. Часть 1. – М.: Юрайт, 2022. – 122 с.

Пакулина А. Н. Практикум по методам вычислений. СПб., СПбГУ, 2018. – 127 с.

Пирумов У. Г. Численные методы. Учебник и практикум. – М.: Юрайт, 2019. – 422 с.

Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Задачи и упражнения по численным методам. – М.: URSS, 2021. – 208 с.

Слабнов В. Д. Численные методы и программирование. – СПб.: Лань, 2022. – 460 с.

Слабнов В. Д. Численные методы. – СПб.: Лань, 2022. – 392 с.

Турупалов В. В., Мироненко Л. П., Локтионов И.К. Численные методы. – М.: Инфра-Инженерия, 2022. – 380 с.

Фаддеев М. Ф., Марков К. А. Численные методы. Учебное пособие. – ННГУ, 2019. – 158 с.

Шевченко Г. И., Куликова Т. А. Численные методы: лабораторный практикум. Ставрополь: Изд-во СКФУ, 2016. 107 с.

Шахов Ю. Н., Деза Е. И. Численные методы. – М.: Либроком, 2017. – 248 с.

Шевченко А. С. Численные методы. Учебное пособие. – М.: Инфра-М, 2022. – 381 с.