Функциональные уравнения в школьном курсе математики

СОДЕРЖАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ  2

ВВЕДЕНИЕ  3

Глава 1. Операции над функциями  6

1.1Понятие функционального уравнения.  6

1.2Операции над функциями, которые аналогичны соответствующим операциям над действительными числами.  10

1.3Свойства основных операций над функциями, которые отличаются от свойств одноименных операций над действительными числами.  13

Глава 2. Виды функциональных уравнений  17

2.1Функциональное уравнение Коши.  17

2.2Функциональное уравнение показательной функции.  29

2.3Функциональное уравнение логарифмической функции.  31

2.4Функциональное уравнение степенной функции.  32

2.5Функциональное уравнение тригонометрической функции.  34

Глава 3. Методы решения функциональных уравнений  36

3.1. Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции  36

3.2. Метод подстановок 39

3.3. Решение функциональных уравнений с применением теории групп  42

3.4. Применение теории матриц к решению функциональных уравнений  46

3.5. Применение элементов математического анализа к решению функциональных уравнений  52

3.6. Дифференцирование  57

ЗАКЛЮЧЕНИЕ  60

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА  61

Приложение №1  62

Приложение №2  63

ВВЕДЕНИЕ

Данная курсовая работа посвящена проблеме, связанной с исследованием функциональных уравнений и методов их решения. В рамках работы будет рассмотрена актуальность данной темы исследования и ее значимость для математической науки.Следующим пунктом разберём актуальность темы исследования, которая обусловлена не только теоретическими аспектами, но и их практическим применением в различных областях, таких как физика, экономика и другие.Актуальность исследования функциональных уравнений проявляется в их широком применении в различных научных дисциплинах, а также в повседневной жизни. Понимание методов решения таких уравнений имеет важное значение для развития математической науки.Кроме того, изучение функциональных уравнений позволяет не только расширить теоретические знания в области математики, но и применить их для решения практических задач, связанных с моделированием сложных систем.Дальше следует понять степень разработанности проблемы функциональных уравнений, выявить основные подходы к ее решению и определить возможные пробелы в существующих методах Цель курсовой работы – исследовать различные виды функциональных уравнений, изучить методы их решения и провести анализ их применения в математике и других научных областях. Для достижения указанной цели исследования были поставлены следующие задачи: Дать понятие предмету изучения;Проанализировать основные типы функциональных уравнений;Выявить особенности их решения и применения.Объектом исследования являются функциональные уравнения, а предметом – методы их решения, свойства и приложения в различных областях науки и практики.Методологическая основа и методы исследования включают в себя анализ научной литературы, математическое моделирование, использование теории групп, матриц и элементов математического анализа.Информационную базу исследования составляют научные публикации, статьи, книги, диссертации, а также данные из математических журналов и онлайн-ресурсов.Структура курсовой работы состоит из:общей концепции; цели; задач и логики исследования. А также включает в себя: введение; три главы, объединяющие 14 параграфов; заключение;список использованных источников и приложений. Введение обосновано актуальностью темы, постановкой проблемы и сформулированной задачи, цели исследования. Также указаны объект, предмет и методы исследования, информационная база и структура всей работы. Первая глава, состоящая из трех параграфов, освещает понятие функционального уравнения. В первом параграфе рассматриваются основные принципы функциональных уравнений. Второй параграф посвящен операциям над функциями, аналогичным операциям над действительными числами. Наконец, третий параграф затрагивает свойства основных операций над функциями, отличающиеся от свойств аналогичных операций над числами.Вторая глава, содержащая пять параграфов, раскрывает различные виды функциональных уравнений. Первый параграф описывает функциональное уравнение Коши, его классы и обобщения. Далее идут параграфы, посвященные показательным, логарифмическим, степенным и тригонометрическим функциональным уравнениям. Шестой параграф затрагивает методы решения данных уравнений.Третья глава, включающая шесть параграфов, представляет различные методы решения функциональных уравнений. Здесь рассматриваются методы сведения уравнений к известным формам, подстановок, применение теории групп и матриц, а также использование элементов математического анализа. Последние пункты данной главы касаются дифференцирования и предельного перехода.В заключении обобщён материал, представленный в данной работе, подведены итоги по основным результатам проведённого исследования и сделаны выводы.Список использованной литературы включает в себя источники информации, которые были изучены и использованы мною в процессе выполнения курсовой работы.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Лихтарников Л.М. Элементарное введение в функциональные уравнения. – СПб.: Лань, 1997. - 160 с

Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. – М.: Наука, 1967 г. – 376 с.

Просветов Г.И. Функциональные уравнения: задачи и решения: Учебно-практическое пособие. – М.: Издательство «Альфа-Пресс», 2010. – 48с.

Элементарные функции: учебно-методическое пособие/ сост. О.Н. Зубкова; Ряз.гос.ун-т им.С.А. Есенина. – Рязань, 2008.– 84с.

Просветов Г.И. Функциональные уравнения: задачи и решения: Учебно-практическое пособие. – М.: Издательство «Альфа-Пресс», 2010. – 48с.

Гомонов С.А. Математика в школе. Функциональные уравнения в школьном курсе математики – издательство «Школа-Пресс» – 2010. – №10 – с.58-63

Арзамасцев А. Л., Гомонов С. А. Вечные невидимки школьного курса математики, или функциональные уравнения в школе вчера, сегодня и завтра//Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2015.-№1 (январь). – С. 6-10. -URL: http://e-koncept.ru/2015/15002.htm.

Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н.., Савин А.Н., Саушкин И.Н. Функциональные уравнения. - Самара: В мире науки, 1999

Бродский Я. С., Слипенко А. К. Функциональные уравнения. - К.: Высшая школа. Головное издательство, 1983. - 96 с

Ильин В.А. Методы решения функциональных уравнений // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 2, с. 116 - 120

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах: том 1. - М.: Наука, 1968, c. 157 - 162

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения. – М.: «Высшая школа», 2005, с. 190-199