Контрольная работа по Математике на тему: "Теория вероятностей"

Задача 1.

Условие. Бросаются две игральные кости. Требуется определить вероятности событий: а) сумма очков не превосходит N; б) произведение очков не превосходит N; в) произведение очков делится на N.

Дано:

- N = 10.
 

Задача 2.

Условие. Имеются изделия четырёх сортов. Число изделий i-го сорта равно n_i (i = 1,2,3,4). Для контроля наудачу берут m изделий. Найти вероятность того, что среди отобранных окажется m1 изделий 1-го сорта, m2 — 2-го, m3 — 3-го, m4 — 4-го (при m1+m2+m3+m4 = m).

Дано:

- n1 = 3, n2 = 2, n3 = 2, n4 = 4;

- m = 5; m1 = 2, m2 = 1, m3 = 1, m4 = 1.
 

Задача 3.

Условие. Среди n лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли m билетов. Найти вероятность того, что среди них окажется l выигрышных.

Дано:

- n = 8, k = 5, m = 4, l = 3.
 

Задача 4.

Условие. В лифт k-этажного дома сели n пассажиров (n<k). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со второго. Найти вероятность: а) все выйдут на разных этажах; б) по крайней мере двое сойдут на одном этаже.

Дано:

- k = 7, n = 3.

 

Задача 5.

Условие. На отрезке единичной длины [0;1] наудачу появляется точка. Найти вероятность того, что расстояние от точки до обоих концов отрезка превосходит 1/k.

Дано:

- k = 9
 

Задача 6.

Условие. Моменты начала двух событий наудачу распределены на промежутке времени от T1 до T2. Одно из событий длится 10 минут, другое — t минут. Определить вероятность того, что: а) события перекрываются по времени; б) события не перекрываются.

Дано:

- T1 = 13:00, T2 = 14:00, значит длина интервала L = 60 минут;
 

Задача 7.

Условие. В круге радиуса R наудачу появляется точка. Найти вероятность того, что она попадёт в одну из двух непересекающихся фигур площадей S1 и S2.

Дано:

- R = 12; S1 = 2,4; S2 = 3,5.
 

Задача 8.

Условие. В двух партиях доля доброкачественных изделий равна k1% и k2% соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Найти вероятность обнаружить: а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное.

Дано:

- k1 = 77%, k2 = 41%.
 

Задача 9.

Условие. Вероятность поражения цели при одном выстреле первым стрелком равна p1, вторым — p2. Первый сделал n1 выстрелов, второй — n2. Найти вероятность того, что цель не поражена.

Дано:

- p1 = 0,77; p2 = 0,38; n1 = 3; n2 = 2.
 

Задача 10.

Условие. Два игрока A и B поочерёдно бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше выпадает герб. Первый бросок делает A, второй — B, третий — A и т. д. Для вариантов 16–23 требуется найти вероятность события «выиграл B до k-го броска».

Дано:

- k = 12; монета симметричная: P(герб)=P(цифра)=1/2.
 

Задача 12.

Условие. Из 1000 ламп n_i принадлежат i-й партии (i=1,2,3), причём n1+n2+n3=1000. В первой партии 6% брака, во второй 5%, в третьей 4%. Наудачу выбирается одна лампа. Найти вероятность того, что выбранная лампа бракованная.

Дано:

- n1 = 160, n2 = 570, n3 = 1000−160−570 = 270;

- доли брака: 0,06; 0,05; 0,04.
 

Задача 15.

Условие. В магазин поступают однотипные изделия с трёх заводов. i-й завод поставляет m_i% изделий (i=1,2,3). Среди изделий i-го завода n_i% первосортных. Куплено одно изделие, оно оказалось первосортным. Найти вероятность того, что изделие изготовлено j-м заводом.

Дано:

- m1=60%, m2=10%, m3=30%;

- n1=80%, n2=90%, n3=80%;

- требуется j = 1.

 

Задача 16.

Условие. Монету бросают до тех пор, пока герб не выпадет n раз. Найти вероятность того, что цифра выпадет m раз.

Дано:

- n = 4, m = 2; монета симметричная.
 

Задача 17.

Условие. Вероятность выигрыша по одному билету равна p. Куплено n билетов. Найти наиболее вероятное число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

Дано:

- p = 0,5; n = 13.
 

Задача 18.

Условие. Для каждого билета: с вероятностью p1 возможен крупный выигрыш, с вероятностью p2 — мелкий, с вероятностью p3 билет без выигрыша, p1+p2+p3=1. Куплено n билетов. Найти вероятность получить n1 крупных выигрышей и n2 мелких.

Дано:

- n = 14; n1 = 1 (крупный), n2 = 4 (мелкий);

- p1 = 0,1; p2 = 0,21; p3 = 0,69.
 

Задача 19.

Условие. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна p. Поступило n вызовов. Найти вероятность m «сбоев».

Дано:

- m = 8; n = 700; p = 0,01.
 

Задача 20.

Условие. Вероятность наступления события в каждом из n независимых испытаний равна p. Найти вероятность того, что число наступлений m удовлетворяет заданному неравенству. Для вариантов 12–21 требуется вероятность P(m ≥ k1).

Дано:

- n = 100; p = 0,6; k1 = 75.
 

Задача 21.

Условие. Дана плотность распределения p(x) случайной величины ξ. Найти параметр γ, математическое ожидание Mξ, дисперсию Dξ, функцию распределения F(x) и вероятность выполнения неравенства x1 < ξ < x2. Для вариантов 9–16: p(x)=a при x∈[γ,b], и 0 иначе.

Дано:

- a = 2; b = 4,8; x1 = 4,5; x2 = 5;

- форма плотности: p(x)=a на [γ,b], p(x)=0 вне этого отрезка.
 

Задача 22.

Условие. Плотность распределения случайной величины ξ имеет вид p(x)=γ·e^{a x^2 + b x + c}. Найти γ, Mξ, Dξ, функцию распределения F(x) и вероятность выполнения неравенства x1 < ξ < x2.

Дано:

- a = −4; b = −6; c = 0;

- x1 = −3/4; x2 = 1/4.
 

Задача 25.

Условие. Дана плотность распределения pξ(x) случайной величины ξ. Случайная величина η — площадь одной из геометрических фигур, заданная через ξ. Найти плотность pη(y), а также Mη и Dη.

Дано:

- вариант 16 относится к группе 16–31, поэтому pξ(x)=2(x−a)/(b−a)^2 при x∈[a,b], и 0 иначе;

- a = 0; b = 2;

- для вариантов 16–20: η — площадь равностороннего треугольника со стороной ξ.
 

Задача 26.

Условие. Случайная величина ξ имеет плотность распределения pξ(x), указанную в задаче 25. Другая случайная величина η связана с ξ функционально: η = 2·ξ^m + 1. Найти Mη и Dη.

Дано:

- pξ(x)=x/2 при 0≤x≤2 (как установлено в задаче 25);

- m = 4; значит η = 2·ξ^4 + 1.
 

Задача 27.

Условие. Случайная величина ξ имеет плотность pξ(x). Найти плотность pη(y) случайной величины η=φ(ξ).

Дано:

- pξ(x) = 1/π при x∈(−π/2; π/2), и 0 иначе;

- η = 2ξ + 3.
 

Задача 29.

Условие. По заданной плотности pξ(x1,x2) двумерной случайной величины (ξ1,ξ2) найти плотность pη(y1,y2) двумерной случайной величины (η1,η2), связанной взаимно однозначно с (ξ1,ξ2) указанными соотношениями.

Дано:

- вариант 16 относится к группе 16–31, поэтому:

pξ(x1,x2) = ab / [ π^2 (x1^2 + a^2)(x2^2 + b^2) ].

- параметры: a=4, b=5, n=1;

- взаимно однозначная замена:

ξ1 = a·tg(nη1), ξ2 = b·tg(nη2), при |η1|<π/(2n), |η2|<π/(2n).
 

Задача 30.

Условие. Двумерная случайная величина (ξ,η) равномерно распределена в треугольной области ABC, то есть p(x,y)=1/S внутри треугольника и 0 вне его, где S — площадь треугольника. Найти маргинальные плотности pξ(x) и pη(y), Mξ, Mη, Dξ, Dη, коэффициент корреляции r. Установить, независимы ли ξ и η.

Дано:

- вершины треугольника: A(−2,−2), B(2,−2), C(0,0).
 

Задача 31.

Условие. Используя неравенство Чебышёва, оценить вероятность того, что случайная величина ξ отклонится от своего математического ожидания Mξ менее чем на Nσ, где σ=√(Dξ), а N — номер варианта.

Дано:

- N = 16.