Ответы на билеты по высшей математике

1. Числовая последовательность. Определение предела последовательности.
Последовательностью называется функция, которая переводит множество  натуральных чисел   в некоторое
множество  :
Элемент  называется первым членом последовательности,  - вторым, ... ,  - -ым или общим членом
последовательности.
Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно
малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значенияx n,  у которых n>N,
удовлетворяют неравенству   |x n  - a| < ε.                  
Записывают это следующим образом:  или x n → a. Неравенство |x n  - a| < ε равносильно
двойному неравенству    a- ε < x n  < a + ε, которое означает, что точки x  n , начиная с некоторого номера
n>N, лежат внутри интервала (a-ε, a+ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

2. Предел функции в точке и на бесконечности. Свойства предела функции.
Пусть задано некоторое числовое множество  и каждому  поставлено в соответствие
число  , тогда говорят, что на множестве  задана функция  .
Определение предела функции по Коши
Число  называется пределом функции  в точке , если для   такое, что для
 из того, что  следует, что :   или

 при  .
Определение предела функции по Гейне
Число  называется пределом функции  в точке , если для любой  последовательности
 , которая сходится к , соответствующая последовательность значений функции

сходится к .
Теорема
При  функция  может иметь только один предел.
Предел функции на бесконечности. Бесконечно большая функция
Рассмотрим функцию , заданную на .
Число  называется пределом функции  на бесконечности или при , если для любого
 существует число  такое, что для всех  из того, что , выполняется
неравенство .
Функция  называется бесконечно большой в точке , если для любого  существует такое
, что для любого , удовлетворяющего неравенству , выполняется

неравенство: . В этом случае пишут:
Функция  называется бесконечно большой при , если для любого  существует
такое число  такое, что для всех  из области определения функции , которые
удовлетворяют неравенству , выполняется неравенство :
Свойства пределов функции