Ответы на билеты по математике

Определение числовой последовательности. Определение
предела последовательности и его геометрический смысл.
Последовательностью называется функция, которая переводит множество  натуральных чисел  
 в некоторое множество  :
Элемент  называется первым членом последовательности,  - вторым, ... ,  - -ым
или общим членом последовательности.
Обычно последовательность целесообразнее задавать формулой ее общего члена, которая
позволяет найти любой член последовательности, зная его номер.
Пример
Задание. Найти формулу общего члена последовательности
Решение. Запишем каждый член последовательности в следующем виде:

Как видим, члены последовательности представляют собой произведение степени двойки,
умноженной на последовательные нечетные числа, причем два возводится в степень, которая
равна номеру рассматриваемого элемента.
Таким образом, делаем вывод, что
Ответ. Формула общего члена:
Последовательность  называется сходящейся, если существует такое число  такое,
что  последовательность   является  бесконечно малой последовательностью .
Число  называется пределом последовательности  и обозначается ,

Число  называется пределом последовательности  , если для любого  существует
номер такой, что для любого  выполняется неравенство  :
Итак, с геометрической точки зрения, равенство предела последовательности {an } числу a
означает, что для любой ε - окрестности точки a найдётся такое целое число N , что все члены
последовательности с номерами, превышающими N , будут лежать в этой окрестности.

2

2. Свойства бесконечно малых последовательностей.
Последовательность  называется бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если для
любого  существует номер  такой, что для любого  выполняется
неравенство:
Последовательность   называется бесконечно большой (б.б.п.), если для любого
 существует номер  такой, что для любого  выполняется неравенство:
Основные свойства б.м. и б.б. последовательностей
1°   Сумма б.м. последовательностей есть б.м.п.
2°   Произведение  ограниченной последовательности  и б.м. есть б.м.п.
3°   Если  - б.м.п., то  - ограниченная последовательность.
4°   Произведение б.м.п. есть последовательность б.м.
5°   Если  - б.м.п. и  , то  , т.е.
6°   Если  - б.м.п. и  , то последовательность  - б.б.п.
7°   Если  - б.б.п., то  и последовательность  - б.м.п.
3. Свойства сходящихся последовательностей.
Определение 1. Последовательность  называется сходящейся к числу а, если
последовательность  является бесконечно малой. При этом
число а называют пределом последовательности  и пишут  или  при
 .
Из определения 1 следует, что любая бесконечно малая последовательность  сходится к
нулю, так как  =  , то есть  . В частности,  и, в силу свойств
бесконечно малых последовательностей,  для любых  и  .
Определение 2. Последовательность  называется сходящейся к числу а, если для любого
 найдется номер N, такой, что  для всех значений  .
Из определения 2 получаем, что предел любой постоянной величины А равен этой постоянной
величине, то есть  , так как для любого   для всех значений  .
Определение 3. Последовательность  называется сходящейся к числу а, если в любой  -
окрестности точки а находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
Определение 4. Число а называется пределом последовательности , если для любого
 найдется номер N, такой, что  для всех значений  .
Свойства:
Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
Теорема 3. Сумма (разность) сходящихся последовательностей есть сходящаяся
последовательность, причем
 .

Теорема 4. Произведение сходящихся последовательностей есть сходящаяся
последовательность, причем
 .

3

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, то есть

 .

Теорема 5. Частное  двух сходящихся последовательностей  и  , таких, что
 , определено, начиная с некоторого номера, и представляет собой сходящуюся

последовательность, причем

 .