Учет расчетов по личному и имущественному страхованию на примере ООО «СИБИРИЯ»

Актуальность темы исследования. В последние годы, в условиях перехода к рыночным отношениям, в методологии и организации бухгалтерского учета на предприятиях Российской Федерации произошли большие изменения. Больше внимания стало уделяться изучению опыта организации учета на предприятиях в странах с развитой рыночной экономикой.
Одновременно расширились возможности хозяйствующих субъектов в области бухгалтерского учета. Предприятия разрабатывают свою учетную политику, самостоятельно определяя методики, формы, технику ведения и организации бухгалтерского учета исходя из действующих правил и особенностей хозяйствования. Существенно изменена бухгалтерская отчетность. Ее состав, содержание и адреса представления стали в значительной мере соответствовать международной практике, а сама отчетность стала доступной для любых сторонних пользователей.
В условиях нестабильной экономики, когда происходят всевозможные политические и экономические потрясения, финансовые кризисы особо важное значение приобретают социальная защита населения, а также страхование от потерь имущества и личное страхование.
Статья 39 Конституции РФ определяет виды социальной защиты граждан РФ: каждому гарантируется социальное обеспечение по возрасту , в случае болезни, инвалидности, потери кормильца, для воспитания детей и в иных случаях, установленных законом. Государственные пенсии и социальные пособия устанавливаются законом. Поощряются добровольное социальное страхование, создание дополнительных форм социального обеспечения и страхование.
Важное место в социальной защите и поддержке населения занимают государственные внебюджетные фонды (социального страхования, пенсионный, обязательного медицинского страхования, занятости населения и др.). Порядок их формирования и использования регламентируется соответствующим законодательством.
3. Обратимые матрицы. Матрица A обратимая при |A|0 и r(A)=n(A), а вырожденная при |A|=0 и r(A)<n(A), Замена элементов aij матрицы A алгебраическими дополнениями Aij=(–1)i+j|Aij| и транспонирование дает присоединенную матрицу А+, причем A+A=AA+=|A|G1 (G1=1). Если матрица A обратима, то существует обратная ей матрица A-1=A+/|A| и A-1A=A A-1=G1. Если обратимы A и B, то (АВ)-1=В-1А-1. Для инволютивной матрицы AA=G1 (A-1=A), для идемпотентной AA=A. Матрица A – нильпотентная степени m>1, если Am=0 и Am-10, причем |A|=0. Матрица в нулевой степени A0=G1. Матрица A – ортогональная, если AT=A-1 и |A|=1. Ортогональная матрица Q при |Q|=1 описывает вращение, а матрица Z при |Z|=–1 –  вращение с отражением. Pазложения матрицы A=QR, A=ZU и A=LU, треугольные матрицы R, U (верхние) и L (нижняя). Симметричная матрица A=AT имеет разложение Чолески A=LLT. Матрицы A и B=PAQ эквивалентны, если P и Q обратимы. При B=G1 из PAQ=G1 следует A=P-1Q-1=LU. Матрицы A и B=PAPT конгруэнтные, матрицы A и B=PAP–1 – подобные.  Квадратные матрицы удовлетворяют обычным соотношениям сумм и рядов, но вместо единицы 1 используется единичная матрица G1:  Скалярный многочлен от  степени m.  Если степепь многочлена p() меньше m, то f()=p()q()+r(). Теорема Безу: при делении f() на p()=(–) остаток r=f(). Матричный многочлен от A   Если степепь многочлена p(A) меньше m, то f(A)=p(A)q(A)+r(A). Если p(A)=0, то f(A)=r(A). Многочлен p(A) – аннулирующий, а r(A) – интерполяционный. Аннулирующий многочлен наименьшей степени называется минимальным.  Характеристикой nn-матрицы H является -матрица F()=G1–H, а присоединенная матрица G()=F+ определяется разложением.  Определитель c()=|F()| – скалярный многочлен степени n .  Матрицы G2,…,Gn и коэффициенты c1,…,cn связаны формулами Фаддеева  и, k=1,2,…,n. Отметим, что c1=–tr(H) и cn=(–)n|H|. Формулы Ньютона, k=1,2,3,…,n.  Решения уравнения c()=0 – собственные значения 1,…,n матрицы H, а H= max{1,…,n} – ее спектральный радиус.  Многочлен степени n можно представить произведением n линейных множителей (основная теорема алгебры) .  След и определитель матрицы: и .  Если из собственных значений составить диагональную nn-матрицу, то матрицы правых и левых собственных векторов X и Y удовлетворяют уравнениям на собственные значения матрицы H:  и  или.  Столбец x(k) и строка y(k) nn-матриц X и YT соответствуют значению k.  Множество собственных значений матрицы H называется спектром. Если ввести nn-матрицы S=(H+HT)/2, T=(H–HT)/2 и определить и, то собственные значения матрицы H удовлетворяют неравенствам |k|, |Re(k)| и |Im(k)|.  Комплексное число λk=ak+ibk – это пара чисел (ak,bk) с действительной частью ak=Re(λk) и мнимой частью bk=Im(λk). Сопряженное число λk*=ak–ibk, а i2=–1. Собственные значения симметричной матрицы действительны.  Матрица H нормальная, если HHT=HTH. Матрица H неотрицательная, если hij0. Если H неотрицательна, то спектральный радиус λH удовлетворяет неравенствам min{σi}λHmax{σi}, σi – сумма элементов i-ой строки. Если матрица H неотрицательна, то в уравнении HxH=λHxH величина λH>0 и вектор xH>0 (теорема Перрона). Если матрица конгруэнтна квазидиагональной блочной матрице, но она разложимая. Если H неразложима, ее спектральный радиус имеет кратность nH=1. Собственные значения примитивной матрицы H простые, матрица (1–H)–1 строго положительна.  Строка k матрицы H доминируется строкой i, если hkjhij для всех j. Столбец j доминируется столбцом l, если hijhil для всех i. Если i – сумма элементов строки i матрицы H без элемента hii и i<hii, то у матрицы имеется доминирующая диагональ, а ее определитель |H| удовлетворяет неравенствам  d1d2…dn|H|nn/2n di=|hii|–i и =max|hij|. при и. Матрица H имеет строчную или столбцовую мажоранту, если неравенства  или  выполняются для n чисел i>0 (матрица Адамара). Характеристический многочлен можно представить в виде. Поскольку c(k)=0, то при =k получаем. Заменим скаляр  матрицей kG1, а скаляр  – матрицей H:. Но c(H)=0 (теорема Кели-Гамильтона), а c(kG1)=c(k)G1. Поэтому.  Из определения матрицы F()=(G1–H) следует  и. Присоединенные матрицы kl ортогональны: G(k)G(l)=0. Матрицы Pk=G(k)/tr[G(k)] ортогональны, образуют полную систему P1+P2+…+Pn=G1 и идемпотентны PkPk=Pk. Матрица Pk – внешнее произведение столбца x(k) матрицы X на строку y(k) матрицы YT. Если y(k)x(l)=kl для k,l=1,…,n, то векторы x(1),…,x(n) и y(1),…,y(n) биортогональны, а x(1),…,x(n) линейно независимы. Cтолбцы p(k) матриц Pk образуют матрицу правых собственных векторов X. Матрица X обратимая: YT=X-1. Из YTH=DYT получаем X-1H=DX-1 и X-1HX=D.  Присоединенные матрицы можно также получить из разложения.  Если собственные значения k кратные, матрицу X составляют из столбцов матриц G(k) и матрицы производных. Возможны два случая. Если G(k)=0 для кратного k, то. Простая матрица подобна диагональной матрице из собственных значений. Если G(k)0 для кратного k, то. Непростая матрица подобна жордановой матрице из собственных значений. Эти матрицы для блока с кратностью 2 имеют вид  и. Если собственные значения простые, многочлен c() минимальный. Если собственные значения кратные, может быть несколько аннулирующих многочленов, а степень минимального многочлена m<n. Матрица простая, если минимальный многочлен имеет простые корни. Матрица непростая, если минимальный многочлен имеет кратные корни. Идемпотентная матрица простая. Нильпотентная матрица непростая. Если k – собственные значения матрицы H, то km – собственные значения Hm. Матричный многочлен f(H) имеет собственные значения f(1), f(2),…,f(n). Функция f() на спектре k матрицы H определяется величинами  ,…,. Если f() задана на спектре матрицы H, а fk(l) – l-ая производной при =k, то (первая формула Сильвестра),где nk – кратность корня, сумма по k включает некратные корни   и. Если матрицу C() заменить присоединенной матрицей G()=dn-1()C() при наибольшем общем делителе dn-1() элементов матрицы G(), то () нужно заменить на c() и использовать. Компоненты матрицы связаны соотношениями  и для kl. Подстановка Zkl дает вторую формулу Сильвестра. Если H – простая nn-матрица, то,где Pk=x(k)y(k) (j=1,2,…,n). Так как минимальный многочлен ()=0 при =k вместе с производными до (mk-1)-ой, то считая его аннулирующим, получаем, ,…, ,где верхний индекс – порядок производной. Решение системы m уравнений для k=1,2,..,q дает m коэффициентов интерполяционного многочлена.  Если все корни минимального многочлена () простые, получим многочлен Лагранжа и. 4. Матричные уравнения Матрица А размерами mn рассматривается как отображение xAx вектора xRn в вектор AxRm. Отображение yyA двойственно отображению xAx. Если вектору xL поставлен в соответствие вектор yL, то задано линейное преобразование пространства, которое характеризуется матрицей. Если матрица A переводит вектор x в вектор y, а матрица B переводит вектор y в вектор z, то линейное преобразование C=BA переводит x в z (произведение преобразований). Вид матриц линейного преобразования зависит от базиса. Если за базис взять собственные векторы, то матрица преобразования будет диагональной с собственными значениями матрицы.  Существование решений уравнения Ax=b зависит от ранга матрицы r(A)min(m,n). Достаточным условием является r(A)=n. Но оно не является необходимым. Если r(A)<n, а уравнения переставить так, чтобы первые r уравнений были независимы, то система в блочной форме и, где A11-1 – обратная матрица. Решение x1 зависит от x2: существует множество решений соответственно положению точки x2 в (m–r)-мерном пространстве.  Рассмотрим систему m=2 линейных уравнений  a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1, a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2. Если матрица  имеет ранг r=1, то a21/a11=a22/a12=...=a2n/a1n (гиперплоскости параллельны). Если ранг r=2, система уравнений определяет (n–2)-мерную плоскость. Если ранг расширенной матрицы   равен 2 (a21/a11=a22/a12=...=a2n/a1nb2/b1), то система уравнений несовместная (гиперплоскости не пересекаются). Если ранг расширенной матрицы равен 1 (a21/a11=a22/a11=...=a2n/a1n=b2/b1), то система сводится к одному уравнению (гиперплоскости совпадают).  Неоднородное уравнение Ax=b имеет единственное решение при m=n, если матрица A обратимая. В этом случае (правило Крамера)  или,  где j=1,2,…,n.  Можно разбить nn-матрицу A на блоки: .  Выразим вектор x2 из второго уравнения и подставим в первое уравнение:  Однородное уравнение Ax=0 при m=n имеет ненулевое решение, если матрица A вырождена. Определитель блочной матрицы: .  Формула Фробениуса для обратной матрицы при |A11|0: .  Если матрица A разложима  то |A|=|A11||A22|. Cтолбцы матрицы A линейно независимы при |ATA|>0 и зависимы при |ATA|=0 (определитель Грамма). Определитель произведения квадратных матриц |AB|=|A||B| и (A-1)T=(AT)-1. Если ARnn, u,vRn и wR, то и  . Если ранг матрицы r(A)<n, то система имеет решение при условии совместности r(A|b)=r(A) (теорема Кронекера-Капелли). Система уравнений совместна, если компоненты вектора b имеют линейную зависимость строк матрицы A. Условие совместности при n1=r и n2=n–r дает. Если уравнения совместны, можно найти решение в том смысле, что любое значение x2 однозначно определяет значение x1. Поскольку x2 произвольно, то существует бесконечное число решений, каждое из которых отвечает точке в (n–r)-мерном пространстве решений. Если A21=0, то x1 зависит от x2:  .  Если блоки A11 и A22 неразложимы, а A12=0 или A21=0, матрица A называется разложимой. Ей отвечают независимые совокупности переменных. Понятие разложимости появляется в связи с неотрицательными матрицами, поскольку положительные матрицы неразложимы.  Решение системы уравнений Ax=b с обратимой матрицей А дается в виде x=A–1b. Обратная матрица A-1 устойчива, если ее элементы изменяются мало при изменениях элементов матрицы A. Матрица A обусловлена плохо, если A-1 неустойчива. Решения уравнений с плохо обусловленной матрицей изменяются даже при малых изменениях элементов.  Для характеристики обусловленности применяют произведение норм K(A)=||A||||A-1||. Число K(A)=(λmax/λmin)1/2 зависит от собственных значений λmax и λmin матрицы ATA (Уилкоксон).  Справедливо одно из утверждений: или система Ах=b разрешима, или уравнения pTА=0, pTb=c имеют решение для любого с. Справедливо одно или другое утверждение, но никак не оба. Справедливо одно из утверждений: или система уравнений Ах=b имеет решение x0 или разрешима система неравенств pTA0, pTy<0.  Функция f(x)=xTSx с симметричной nn-матрицей S – квадратичная форма, а x1,…,xn – координаты в n-мерном пространстве. Соотношение x=Vy или y=V-1x определяет новую систему координат y1,…,yn. Поскольку ,  рассмотрим конгруэнтные преобразования VTSV матрицы S, при которых VTSV является диагональной матрицей. Если матрица S ранга r имеет p положительных собственных значений, а матрица V приводит ее к виду , то существует p чисел dj>0 и n–r чисел dj=0. Числа p и 2p–r – индекс и сигнатура квадратичной формы.  Функция f(x)=xTSx – квадратичная форма, r(x)=xTSx/xTx – отношение Релея. Если собственные значения i упорядочить 12…n, то  1r(x)n, и,  где О – сфера в Rn. Собственный вектор x матрицы S является cтационарной точкой отношения Релея r(x). Положительное значение квадратного корня из xTx – длина вектора x (евклидова норма). Если скалярное произведение равно нулю, векторы ортогональны. Система ортогональных векторов с единичной длиной ортонормированная. Симметричная матрица S простая, а при xTSx>0 для всех ненулевых векторов x называется положительно определенной. Матрица положительно определенная, если положительны все ее главные миноры, и отрицательно определена, если знаки главных миноров порядка k изменяются как (–1)k. Отличие положительно определенной и положительной матрицы в том, что все элементы положительных матриц положительны, но не все собственные значения положительны. Собственные значения положительно определенной матрицы положительны, но не все элементы положитеьны. Положительная определенность – свойство симметричной матрицы. Если xTSx0 для всех x и xTSx=0 для некоторого x>0, то матрица S неотрицательно определенная. Переменные x квадратичной формы f(x)=xTSx могут удовлетворять m линейным уравнениям Bx=0. Окаймленная (n+m)(n+m)-матрица .  Условие положительности формы xTSx при Bx=0 – совпадение знака главных миноров окаймленной матрицы с (–1)m и знаком |S|. Достаточным условием отрицательности xTSx при Bx=0 является sign|S|=sign(-1)n и совпадение знака главного минора порядка m+n–k с (–1)n-k.  Однородный многочлен второй степени с переменными x1,x2  является квадратичной формой матрицы . Произведем замену базиса: от переменных x1,x2 переходим к x1 и x2, которые линейно выражаются через x1,x2. Если базисом взяты собственные векторы, то матрица будет диагональной в этом базисе с собственными значениями на главной диагонали, а квадратичная форма примет канонический вид  . Конгруэнтное преобразование квадратичной формы ведет к сумме квадратов. Приведение к каноническому виду используется в уравнениях линий и поверхностей. Нужно иметь в виду, что собственные векторы определены с точностью до множителя: если u – собственный вектор, то u – собственный вектор (собственное направление, неизменное при линейном преобразовании).  Элементарные операции многочленных -матриц: (1) перестановка строк (столбцов), (2) умножение строки (столбца) на число, (3) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на многочлен. Левые операции – умножение матриц P на -матрицу, правые операции – умножение -матрицы на матрицы Q. Определители элементарных матриц не зависят от . Две -матрицы B() и C() эквивалентны, если B() можно получить из C()последовательностью элементарных операций:, где P()=P(1)()P(2)()….P(M)() и Q()=Q(1)()Q(2)()…Q(N)(), а число левых и правых элементарных операций M,N1.  Левые и правые операции для 33-матриц:, , и  и . Парето. Матрицы финансовых потоков несимметричные, а их характеристические матрицы могут быть поэтому комплексными. Переход к запасам позволяет дать описание в симметричных матрицах. Графы матриц. Графы потоков. Графы уравнений. Преобразование mn-матрицы выпуска-затрат к nn-матрице дает матрицу прямых затрат, которая не является неотрицательной. Матрица Леонтьева всегда неотрицательная. Она несимметричная. Не все потоки доходов и расходов являются независимыми при балансе. Не все потоки хорд бухгалтерских проводок являются независимыми. Состояние системы описывает совокупность переменных, а каждое ее состояние можно представить вектором из пространства переменных состояния. Заинтересованные стороны называются агентами (множество агентов I). Действие i-агента называется стратегией xiXi (множество стратегий i-агента Xi). Множество стратегий x=(x1,…,x|I|)T называется ситуацией (множество ситуаций X=X1X2 …X|I|). Интерес i-агента в ситуации xXI выражает функция выигрыша fi(x) – отображение fi: XR множества ситуаций на множество действительных чисел R. Любой конфликт агентов представляет тройка множеств (I,Xi,fi). Если ситуацию выражают эмоциональные, эстетические или этические категории, то указывают сравнительную полезность ui(x) ситуации x для i-агента [6]. Конфликт агентов в таком случае будет представлять тройка множеств (I,Xi,ui). Количество товара и услуги описывает неотрицательное число xi (i=1,2,…n). Набором товаров и услуг называется вектор xRn. Бинарное отношение xy двух наборов означает «набор x предпочтительнее набора y», а отношение xy – «набор x эквивалентен набору y». Наборы упорядочены: для некоторых x,yRn имеется xy или yx или xy. Наборы транзистивны: если x,y,zRn и xy, а yz, то xz. Наборы монотонны: (…xi+Δι…)(…xi…) при Δi>0. Транзистивность нарушается при xy, yz, zx и xy, yz, zx: агент не может выйти из цикла. Безразличие транзистивно при xy, yz и xz. В экономической теории не учитываются ни циклы предпочтений, ни транзистивность безразличий. Монотонность уточняет структуру предпочтений агента (увеличение блага делает набор привлекательнее). Благом называется товар и услуга, повышающие уровень жизни человека. Институциональная теория экономики использует матрицы. Агент и рынок противостоят друг другу: рынок – это один из способов организации деятельности агентов. Другой способ – командная организация. Предмет институционального анализа – трансакционные издержки агентов. Организации подменяют рынок потому, что способствуют минимизации издержек системы. Организации агентов расширяют сферу рационального поведения и становятся фактором стабилизации рыночной среды. Совершенная конкуренция рыночного беспорядка заменяется организованной структурой.  Простая модель содержит целевую функцию и систему ограничений [20]. Нужно знать множество допустимых состояний (альтернатив) xX. Альтернативу описывает n-мерный вектор xRn. Точечные отображения ставят в соответствие элементу xXRn один элемент yYRm, точечно-множественные отображения – подмножество элементов YRm. Множество XY содержит пары (x,y) элементов xX и yY. Если взять пару (x,y), то y=f(x) или yf(x), а пары из y=f(x) образуют подмножество [x,f(x)] в XY, называемое графиком функции f(x). Если xRn, а y=f(x)Rm, то график является подмножеством в Rn+m. Целевая функция f(x) – это точечное отображение f: XRm. Локальным минимумом или максимумом функции f(x) называют x0 (экстремум функции), для которого f(x)f(x0) или f(x)f(x0). Если f(x) непрерывна на ограниченном замкнутом множестве ХRn и, кроме отдельных точек, имеет на нем частные производные, то найдется точка x0X, в которой функция имеет наибольшее или наименьшее значение.  Допустимое множество XRn вводится с помощью ограничений: gi(x)0, i=1,2,…,m. Множество допустимых решений обозначается X={xRn|gi(x)0,iI}. Если gi(x) непрерывны на Rn, то X замкнуто. Если множество X ограничено, а функция f(x) непрерывна на X, то она имеет на нем наибольшее и наименьшее значения.  Основными чертами оптимальности в конфликтах являются представления о выгодности, устойчивости и справедливости. Выгодность для одного агента понимают как максимизацию выигрыша на множестве ситуаций. Если максимума нет, то для ограниченной функции существует ее супремум, к которому можно подойти сколь угодно близко (ближе, чем на произвольное число >0). Все точки максимума устойчивы: отклонение агента от выгодной стратегии может разве что уменьшить его выигрыш. Это выглядит как объявление максимумами функции f: XR таких значений xX, что ни для какого другого yX не будет f(y)>f(x). Если говорят о супремуме функции, то соответствующие ситуации -устойчивы.  В оптимальной ситуации своих максимумов достигают функции выигрыша каждого агента. Условие оптимальности для ситуации x*X можно записать как fi(x)fi(x*) для всех агентов iI и всех ситуаций xX. Выгодность и устойчивость такой ситуации очевидны, а ее  праведливость вытекает из симметрии вхождения агентов в условие оптимальности. Но эта справедливость неполная, поскольку агенты могут иметь разные выигрыши. Мера справедливости ситуации отражает справедливость действий агентов: если правила таковы, что дают одному агенту большие выигрыши, чем другому, то никакая справедливость не компенсирует  щемленного положения второго агента. Стремление к справедливости должно заключаться не в каком-то оптимальном поведении в рамках принятых правил, а в изменении самих этих правил. Поэтому нужно искать другие представления об оптимальности.  Плодотворная идея связана с понятием равновесия. Ситуация называется равновесной, если ни один агент не заинтересован в отклонении от нее. Пусть x=(x1,…,xn)T – некоторая ситуация, а x||xi - результат замены стратегии xi агента i в ситуации x на стратегию xi. Ситуация приемлема для агента i, если fi(x||xi)fi(x). Ситуация x* равновесна, если fi(x*||xi)fi(x*) для каждого агента iI и для каждой его стратегии xiXi. Множество ситуаций равновесия – это пересечение множеств приемлемых ситуаций всех агентов. В ситуациях равновесия и только в них ни один агент не заинтересован в изменении стратегии. Если ситуация равновесия является предметом договора, ни один агент не будет заинтересован в нарушении обязательств. Если в договоре агентов зафиксирована какая-то неравновесная ситуация, то  айдется хотя бы один агент, заинтересованный в отклонении от нее и, тем самым, в нарушении договора.  Другой вариант устойчивости, больше отражающий выгодность ситуации, – это оптимальность по Парето. Ситуация x0X называется оптимальной по Парето, если не существует другой ситуации xX, для которой fI(x0)fI(x). В равновесной ситуации ни один агент, действуя в одиночку, не может увеличить свой выигрыш. Действуя совместно в ситуации, которая оптимальна по Парето, агенты не могут увеличить выигрыш каждого. Свободная конкуренция, воздействуя на мотивы агентов, является двигателем экономики. Эта доктрина неоклассики доминирует в экономической теории. Ее основу составляют модели поведения и предпочтений агентов: они дают критерии отбора лучшей из альтернатив (теория выбора). Агент определяется как функция полезности, отражающая его систему предпочтений. Потоки доходов-расходов и предложения-спроса образуют матрицы  и, где Y – доход предприятий, R – доход домохозяйств, W – доход других агентов, C – потребление домохозяйств, L – оплата труда, I – инвестиционные расходы, K – оплата капитала, S – сбережение домохозяйств и Q – другие расходы. Условия баланса потоков Y=C+I=L+K, R=C+S=L+Q, W=K+S=I+Q. Введем вектор и матрицу доходов и предложения. Матрицы проводимостей Gm=I0D0-1 и Ga=I0TD0-1 содержат элементы и. Вектор состояния экономики x удовлетворяет однородным уравнениям и. Матрицы Gm и Ga подобны, так как имеют общий характеристический многочлен, a1=–tr(Gm)=–3, a2=3–CL/YR–IK/WY–QS/RW, a3=–|Gm|=0. Матрица проводимостей доходов-расходов имеет вид, где gC=C/R, gI=I/W и gL=L/Y. Матрицу проводимостей предложения-спроса дает конгруэнтное преобразование Ga=PTGP с матрицей перестановки P вторых и третьих строк и столбцов. Потоки доходов и расходов. Инвестиции и сбережения и. и. Введем обозначения y=C, y=Y–C, y=R–C и S=C–L. 8. Оптимизация производства Управление деятельностью основано на экономико-математических моделях принятия решений. Среди главных задач – номенклатура продукции, оптимизация производства, распределение ресурсов по видам деятельности, определение ассигнований на приобретение оборудования; определение цены и оптимальной прибыли; накопление финансовых ресурсов для расширения деятельности, определение потребности в кредитах, влияние изменений стоимостных показателей на эффективность производства. Рассмотрим оптимизацию производственной программы в условиях случайных цен на продукцию и производственные ресурсы. Известные величины: n – число видов продукции (товаров и услуг), которые могут изготовляться; j – номер вида продукции (j=1,…,n), т – число видов ресурсов; i – номер вида ресурсов (i=1,...,т), aij – затраты i-го ресурса для изготовления единицы j-ой продукции; bi – имеющиеся объемы ресурсов i-го вида; cj – переменная часть себестоимости единицы j-ой продукции; xjmin, xjmax –нижняя и верхняя границы объема j-ой продукции; yimin, yimax – нижняя и верхняя границы использования i-го ресурса; vjmin, vjmax – нижняя и верхняя границы объема дополнительных ресурсов i-го вида; wjmin, wjmax – нижняя и верхняя границы реализации излишка ресурсов i-го вида. Неизвестные величины (управляемые переменные): xj – объем производства и реализации j-ой продукции; yi – объем производственного потребления і-го ресурса; vi – объем закупки дополнительных ресурсов i-го вида; wi – объем реализации излишка ресурсов i-го вида; z – общая прибыль.  Неуправляемые параметры: рj – рыночная цена j-ой продукции; qi – рыночная цена i-го ресурса. Значения неуправляемых параметров известны в детерминированных условиях. В случае риска они рассматриваются как случайные величины с известными статистическими характеристиками. В случае неопределенности они определены в границах заданных интервалов:  , j=1,...,n, , , , i=1,...,m, Производственное потребление определяет технологический процесс (нормы удельных затрат и объемы производства продукции):, i=1,...,m, должен выполняться баланс поступления и оттока ресурсов:, i=1,...,m, Прибыль предприятия определяет разность дохода (от реализации продукции и излишка ресурсов) и стоимости ресурсов:. Задача определения производственной программы:, , i=1,...,m, , i=1,...,m, , j=1,...,n, , , , i=1,...,m. Будем считать неуправляемые параметры случайными величинами со средними рj, j=1,...,п, и qi, i=1,...,т и стандартными отклонениями j, j=1,...,п, и и, и=1,...,т. Прибыль – случайная величина с характеристиками:,  Если предприниматель нейтрален к риску, оптимальная программа определяется критерием максимизации ожидаемой прибыли:, , i=1,...,m, , i=1,...,m, , j=1,...,n, , , , i=1,...,m. Если отношение к риску не нейтральное, наилучшую программу следует искать среди эффективных планов двухкритериальной задачи:, , , i=1,...,m, , i=1,...,m, , j=1,...,n, , , , i=1,...,m. Эта задача отличается дополнительной целевой функции. Дисперсии прибыли z2 зависит от отношения предпринимателя к риску: к минимуму – при несклонности, к максимуму – при склонности. Будущие цены на продукцию и ресурсы можно определить с точностью до диапазонов:, j=1,...,n, , i=1,...,m. Если использовать критерий Вальда, что обеспечивает наилучший результат при наиболее плохой ситуации с неуправляемыми параметрами, то, где x=(x1,...,xn), y=(y1,...,ym), v=(v1,...,vm) и w=(w1,...,wm), X – множество планов, множество P отвечает диапазонам вариации неуправляемых параметров p=(p1,...,pn) и q=(q1,...,qm). Решение этой задачи целесообразно осуществлять по теории седловой точки, переходя от максиминной к минимаксной задаче. Такой подход полезен, если нужно дополнительно ввести соотношения для будущих значений неуправляемых параметров. Неуправляемые параметры: Т – длительность проекта (жизненный цикл), t – номер промежутка жизненного цикла (t=1,...,Т), Іt – ресурсы для выполнения проекта в t-ом временном промежутке, Vt – стоимость текущих (неинвестиционных) затрат по реализации проекта в t-ом промежутке, Rt – стоимостная оценка текущих результатов проекта в t-ом промежутке, N – чистый доход от проекта, приведенный к началу жизненного цикла:, где d – ставка. Управляемые переменные: xt=1, если проект начат в t-ом промежутке, 0 в противоположном случае; N0 – чистый доход от проекта:, где Т0 – длительность горизонта планирование (Т0>Т). Пусть проект имеет жизненный цикл 5 лет и показатели таблицы 1. Таблица 1. Показатели инвестиционного проекта, млн. грн. Если ставка дисконта d=0,2, то приведенный к началу жизненного цикла чистый доход от проекта составит (млн. грн.):. Если проект будет начат сразу же (х1=1), то:. Если проект будет начат в третьем году планового периода (х1=0, x2=0, x3=1):. Инвестиционный j-проект характеризуют показатели: Тj –жизненный цикл, Ijt – инвестиционные затраты в t-ом временном промежутке, Vjt и Rjt –затраты и результаты в t-ом промежутке, Nj – чистый доход:. Неизвестными являются переменные xjt=1, если j-ый проект будет начат в t-ом промежутке, xjt=0 в противоположном случае. Значение t для переменной xjt изменяется от 1 до T0–Tj+1, где Т0 – длительность планового горизонта. План нужно сформировать с учетом лимитов Kt в t-промежутке (t=1,...,T0, Т0>maxTj). Задачи в детерминированном случае принимает вид: , , =1,...,T0, , , t=1,...,T0–Tj+1, j=1,...,n. Это целочисленная задача ЛП с логическими переменными. Пример. Имеется 5 инвестиционных проектов таблицы 2. Таблица 2. Показатели инвестиционных проектов, млн. грн. Горизонт планирования 10 лет. Лимит инвестиций 150 млн. грн. первые два года и 180 млн. грн. в следующие годы. Ставка дисконта 0,2. Используем программу «Поиск решения» из Ехсеl. Таблица 3. Показатели оптимального портфеля, млн. грн. Отношение предшествования и фиктивные работы при сетевом планировании. Карамушка М.В. Работы связаны условиями предшествования: одна работа не может начаться, пока не закончены другие работы. Представим работы вершинами графа, а их логические связи опишем дугами (рис.1 слева). На множестве работ построим бинарное отношение смежности B=DCT. Оно транзистивно замыкается P=BBB после очистки от циклов. Таблица 1. Отношение предшествования. У работ первого ранга нет предшественников p0={a,b,c}, работы второго ранга p2={d,e} опираются на работы первого ранга, работа третьего ранга p5={f} опирается на работы второго ранга. Работа q3={b} имеет трех последователей, работы q2={a,c} – два последователя, у работ q1={d,e} один последователь, а работа q0={f} не имеет последователей. На рис.2 дан граф отношения предшествования из таблицы 1. Рис.1. Графы «работы-вершины» и «события-вершины». Дуги работ направлены из вершин pj (j=0,21,22,5) в вершины qi (j=0,1,21,22,3), а дуги связей – из вершин qi в вершины pi. Вершины графа – события, а дуги связей (пунктирные линии) – фиктивные работы. Рис.2. Граф отношения предшествования. Граф можно упростить. Во-первых, если начало и конец фиктивной дуги соединены «обходным» путем, то дугу можно удалить из графа. Во-вторых, если фиктивная дуга – единственная, которая выходит из вершины или входит в вершину, то ее можно удалить, склеивая начало и конец. Дугу q21|p5 удаляем, так как есть обходной путь q21|p21|q1|p5. Аналогично удаляем дуги q3|p5 и q22|p5. Склеим вершины q21 и p21, q3 и p5, q22 и p22. Окончательно получаем граф рис.1b, где введены новые обозначения вершин-событий. Работе k|l соответствует время выполнения tkl>0, а фиктивной работе – нулевое время. Работу нельзя начать, если не закончены предшествующие работы, а поэтому длительность выполнения всех работ не меньше чем сумма длительностей работ, входящих в любой путь от начального 1 до конечного события n. Ранние и поздние сроки наступления событий: и, где t1p=0 и tnq=tnp. Они представлены в таблице 2. Таблица 2. Матрица длительностей работ. Если tkp=tkq, то событие k называется критическим (k=1,4,5 и 6). Если же tkq>tkp, то событие k некритическое (k=2 и 3). Длительность критического пути tmax=52, кратчайшего пути tmin=41, коэффициент K=tmin/tmax=41/52=0,79. Полный и свободный резерв времени работ и. Независимый и гарантированный резерв времени работ и. Резервы времени работ представлены в таблице 3. Критический путь 1|4|5|6, кратчайший путь 1|2|3|5|6. Таблица 3. Резервы времени выполнения работ. 3. Отношения и графы. Модели бинарных отношений множеств YXX основаны на теории графов. Граф – это набор точек, пары которых соединены линиями. Первое исследование графов выполнил Л.Эйлер (1707-1783). Река Прегель разделяла город Кенигсберг на две части 1 и 2, а посередине этой реки были расположены два острова 3 и 4. Семь мостов соединяли острова и берега реки: 1|3, 2|3, 3|4, 1|4, 1||4, 2|4, 2||4. Эйлер искал непрерывный маршрут между берегами и островами, который проходил бы по каждому мосту один раз, и доказал, что такого маршрута нет. Берега и острова Эйлер называл вершинами, а мосты – ребрами. Вершина i представляет элемент xi множества X={x1,x2,…,x|X|}. Пустой граф состоит из вершин (нет ребер). Ребро yij из множества YXX соединяет вершины xi и xj (ребро yij инцидентно вершинам xi и xj). Ребро yii с концевой вершиной xi называется петлей. Концевые вершины ребра называются смежными. Смежные ребра имеют общую концевую вершину. Последовательность смежных ребер называют цепью. Цепь простая, если каждое ребро в ней встречается не больше одного раза. Замкнутая цепь называется циклом. Эйлеров цикл содержит все ребра графа. Гамильтонов цикл проходит через все вершины графа. Степень (xi) вершины xi – это число инцидентных ей ребер. Вершина нечетная, если степень – нечетное числом, и четная, если она – четное число. Вершина изолированная, если степень равна 0, и висячая, если степень равна 1. Граф G(X,Y) состоит из множества вершин X и множества ребер Y, концевые вершины которых являются элементами X. Если X и Y состоят из конечного числа элементов, то граф конечный. Сумма степеней вершин конечного графа G(X,Y) равна 2|Y| (удвоенное число ребер), а число нечетных вершин четно. Граф G(X,Y) связный, если для каждой пары вершин есть соединяющая их цепь. Граф G1(X1,Y1) является частью графа G(X,Y), если X1X и Y1Y. Часть графа, которая вместе с какими-то ребрами содержит инцидентные им вершины, называется подграфом. Компонентами несвязного графа называются его связные подграфы. Подграф, содержащий все вершины графа, называется суграфом (X1=X и Y1Y). Связный суграф называется деревом графа, а ребра дерева называются ветвями. Число ветвей связного графа равно b=|X|–1. Ребра дополнения дерева графа называются хордами. Число хорд связного графа равно с=|Y|–|X|+1. Множество натуральных чисел {1,2,…,n} содержит n! перестановок: для n=3 имеются перестановки {1,2,3}, {1,3,2}, {3,2,1}, {2,1,3}, {2,3,1} и {3,1,2}. Пары перестановок называют подстановками. Множество подстановок n=3 содержит g=6 элементов:, , , , ,. Подстановки представляются направленными графами c дугами (рис.1). Ребро графа – неупорядоченная пара вершин, а дуга – упорядоченная пара вершин. Циклом называется подстановка, которая переводит натуральное число n1 в n2, n2 в n3,…,nk–1 в nk, nk в n1 (число k – длина цикла). В тождественной подстановке y1 три цикла k=1, в подстановках y2, y3, y4 – по два цикла k=1 и k=2 (транспозиция). Рис. 1. Графы элементов y1, y2 и y3 подстановки n=3. Циклические подстановки y5 и y6 содержат по циклу длиной k=3. Четность подстановки определяется декрементом d=n–l (l – число циклов). В подстановке степени n=3 есть три четные и три нечетные: y1 (d=0), y2, y3, y4 (d=1), y5, y6 (d=2). Подстановку можно разложить в произведение циклов с непересекающимися множествами. Для n=3: y1=(1)(2)(3), y2=(1)(2,3), y3=(2)(1,3), y4=(3)(1,2), y5=(1,2,3), y6=(1,2,3). Степень вершины δ+ и δ–  направленного графа – число выходящих и заходящих дуг. Если пару вершин соединяют несколько дуг, то дуги называют параллельными. Две нестрого параллельные дуги заменяет одно ребро. Цепь из одинаково направленных дуг называют маршрутом. Маршрут без повторяющихся дуг называют путем. Прямой путь не содержит повторяющихся вершин. Замкнутый прямой путь называется петлей обратной связи. Простой граф не имеет петель, полным графом называют простой граф, в котором любые вершины соединены ребром. Бинарное отношение YXX представляется направленным графом G(X,Y): его вершины отображают элементы xiX, а дуги при xiYxj выходят из вершины xi и заходят в вершину xj. Бинарное отношение YXX называется рефлексивным при xiYxi, антирефлексивным при xiU\Yxj (U=XX), симметричным xiYxjxjYxi, асимметричным xiYxjxjU\Yxi, антисимметричным xiYxjxjYxixi=xj (xi,xj,xkX) и транзистивным xiYxjxjYxkxiYxk. Граф рефлексивного отношения содержит петли, а нерефлексивного отношения – не имеет петель. Граф транзистивного отношения имеет прямой путь и дуги, соединяющие любую пару вершин прямого пути, но эти дуги часто не изображают (граф редукции). Идеи равенства и подобия выражает отношение эквивалентности, которое рефлексивно (xi~xi), симметрично (xi~xjxj~