Контрольная работа по Математике на тему: "Теория вероятностей и математическая статистика"

Контрольная работа № 1  вариант 4

Транспортная задача

Имеются 3 пункта поставки однородного груза А₁, А₂, А₃ и пять пунктов его потребления В₁, В₂, В₃, В₄, В₅. Известны вектор запасов отправителей (200; 450; 250) и вектор потребностей получателей (100; 125; 210; 250; 100).

Расстояния между пунктами поставки и пунктами потребления задается матрицей С:

С = ( 5  8  7  10  3)
       (4   2  2  5  6)
       (7  3  5  9   2)

Найти такой план перевозки Х груза, чтобы общие затраты по перевозкам были минимальными. Начальный опорный план найти всеми известными методами и выбрать наилучший план.

 

Контрольная работа № 2

Системы случайных величин

По закону распределения дискретной случайной величины

Найдите законы распределения составляющих, математическое ожидание Мx₁, Мx₂, дисперсии Dx₁, Dx₂, ковариацию cov(x₁, x₂) и коэффициент корреляции r.
 

Контрольная работа № 3

Функция дискретной случайной величины

Случайная величина x имеет закон распределения

Найти ряд распределения величины h=2x² – 1, ее функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.
 

Контрольная работа № 4

Функция непрерывной случайной величины

Случайная величина x распределена в интервале (0; +µ) с плотности вероятности p_x (х) = е^-х . Определить плотность вероятности случайной  величины η, если n = √x.
 

Контрольная работа № 5

Цепи Маркова

Дана матрица

P = (0,3  0,5  0,2)
      (0,4  0,2  0,4)
      (0,5  0,3  0,2)

 вероятностей перехода цепи Маркова. Распределение по состояниям в момент t=0 определяется вектором q^p = (0,5  0,3  0,2). Найти:

1. Распределение по состояниям в момент t=2.

2. Вероятность того, что в моменты t=0, 1, 2 состояниями цепи будут соответственно 2, 1, 3 состояния.

3. Стационарное (предельное) распределение вероятностей.

 

Контрольная работа № 6

Стационарные случайные процессы

На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением 2η'(t) + 3η(t)  = 4x(t) +x(t), подается стационарная случайная функция x(t) с математическим ожиданием Mx= –2 и корреляционной функцией R_x(t)= 2e^–4|t|.

Найти:

1. Математическое ожидание Мη

2. Дисперсию Dη

3. Корреляционную функцию R_η(t) на выходе системы в установившемся режиме.

 

Контрольная работа № 7

Математическая статистика

Задание 1. Первичная обработка выборок

1.1. По выборке А вычислить относительные и накопленные частоты, построить полигон и гистограмму, составить эмпирическую функцию распределения и построить ее график, вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочное среднее, дисперсию, стандартное отклонение. Найти моду и медиану.

Выборка А (n=95)

Задание 2. Точечное оценивание

2.1. Пусть случайная величина имеет распределение Пуассона. Используя метод моментов и метод максимального правдоподобия получения точечных оценок, найти по выборке А значение оценки l неизвестного параметра l.

2.2. Пусть случайная величина имеет нормальное распределение. Используя метод моментов и метод максимального правдоподобия получения точечных оценок, найти по выборке В значения оценок a, s неизвестных параметров a, s.
 

Задание 3. Интервальное оценивание

Пусть генеральная совокупность имеет нормальное распределении. Из генеральной совокупности сделана выборка В. Найти доверительные интервалы для оценок математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения при доверительной вероятности 0,95.
 

Задание 4. Статистическая проверка гипотез

По выборке С случайной величины Y при уровне значимости a=0,01 проверить гипотезу о среднем значении H₀: а =а₀ = 205 при альтернативной гипотезе  Н₁: а > 205.

4.2. По выборке С случайной величины Z при уровне значимости a = 0,2 проверить гипотезу о дисперсии Н₀: s²= s²₀ = 5494 при альтернативной гипотезе  Н₁: s² > 5494

4.3. По выборке А при уровне значимости a = 0,01 проверить гипотезу о распределении Пуассона генеральной совокупности.

4.4. По выборке В при уровне значимости a = 0,2 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

 

Задание 5. Корреляционный анализ

По двум столбцам X, Y и Z выборки С определить матрицу выборочных коэффициентов парной корреляции с учетом их значимости (принять уровень значимости a=0,05). Если коэффициент значим, сделать вывод о направлении и тесноте связи между случайными величинами. Построить корреляционные поля и линии регрессии.

 

Задание 6. Дисперсионный анализ

По выборке D проверить с уровнем значимости a=0,01 гипотезу о равенстве средних значений для всех уровней факторов F (о значимости влияния фактора F).

Выборка D

N  F1  F2  F3  F4  F5
1 20   8    18    26  29
2  28  7    12   23   8
3  4    19   18  16   21
4  11  26   20  13  21
5  20  11  21  22   8
6  26   11  19 28   28
7  24  18   18  18  17
 

Задание 7. Регрессионный анализ

По выборке Е провести регрессионный анализ: определить параметры модели y(x) = b₀ + b₁  * x₁ + b₂x₂ по методу наименьших квадратов, проверить гипотезы об однородности дисперсии, значимости параметров модели, адекватности модели (для всех вариантов принять a=0,05 ).

Выборка E 4

N X1 X2 Y1 Y2 Y3 Y4 
1 -1  1  31  34
2 -1  -1 68  65 65 67
3 1  1  16  15
4  1 - 1 72  72  76  75