Контрольная работа по Математике на тему: "Векторы, аналитическая геометрия"

Задание 1

Дана матрица А и многочлен f(х) = х ^-1 - 4х² + 5х + 3. Вычислите f(А):

5в

A=(1  4)
     (-2  -1)
 

Задание 2

Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех видов. Необходимые  характеристики производства указаны в таблицах (соответственно варианту). Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

Вид сырья               Расход сырья на единицу                     Запас сырья (усл.ед.) по вариантам
                               продукции (усл.ед.) по видам       
                                     1       2     3                                                                                               5в                                                                        
1                                   2       3     4                                                                                            2700
2                                   2      1      1                                                                                            1200
3                                   3      2      2                                                                                            2100

 

Задание 3

Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:

а) уравнение стороны АС;

б)  уравнение высоты, проведенной из вершины В;

в) длину высоты, проведенной из вершины А;

г) величину (в радианах) угла В;

5в  A(10; 1); B(-16;13); C(1;-11)
 

Задание  4     Решить следующие задачи:

5в. Треугольник задан уравнениями: (АВ) х - у + 3 = 0,   (АС) х + 2у - 3 = 0  и (ВС) 2х + у - 9 = 0.  Составить уравнение высоты, опущенной из вершины В. Сделать построение.
 

Задание 5   Дано общее уравнение кривой второго порядка F(x, y) = 0.

1) Преобразовать уравнение к каноническому виду;

2) построить кривую.

5в  
F(x;y)  = 4x²  - y²  - 32x + 48 = 0


Задание 6  Решить систему линейных уравнений AX = B  методом последовательного исключения неизвестных, выяснив предварительно вопрос о  ее совместности с помощью теоремы Кронекера-Каппели. В случае неопределенности системы найти ее общее, базисное и любое частное решение.

{ x₁ + 2x₂  +3x₄ + 2x₅ = -1
{ -3x₁ - x₂  + x₃ + 2x4 + 3x₅  = 2
{ 6x₁ - 2x₂  - 2x₃ - 11x₄  - 4x₅ = -2
{ 5x₁ + x₂  - x₃ - 3x₄  + 3x₅ = -2

Задание 7 Доказать совместность системы линейных уравнений и решить ее  по методу Крамера и матричным способом.

65в
{ x₁ - 4x₂  - 2x₃ = -3
{ 3x₁ - 5x₂  - 6x_{3 = -9}
{ 3x₁ + x₂  + x₃ = 5

Задание 8  Коллинеарны ли векторы c₁c₂,. Перпендикулярны ли векторы c₃,c₄ , если  c₁=  a +2b; c₂ = 3a +3b; c₃ = a-b; c₄  = 2a-b

a = 2j -i -k; b = i + 7j + 2k

 

Задание № 9 (пирамиды) Даны координаты вершин пирамиды АВСD. Требуется:

1. Записать векторы AB; AC;AD в системе орт и найти модули этих векторов.
2. Найти угол между векторами AB и  AC.
3. Найти площадь грани АВС.
4. Найти объем пирамиды.
5. Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости АВС.
6. Найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью АВС и с координатными плоскостями хОу; хОz; уОz.
7. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку D и С и перпендикулярно плоскости АВС.
8. Длину ребра АВ;
9. Длину высоты пирамиды, проведенной из вершины D;
10. Уравнение ребра АС.
    
    A(-1;1;5); B(3;5;-7); C(1;12;-15); D(-1;3;-4)