Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. Барометрическая формула. Распределение Больцмана

Содержание

Введение…………………………………………………………………………..…...3
1. Статистическая модель идеального газа. Закон Максвелла…………….……….5
2. Барометрическая формула. Распределение Больцмана …………………..……..8
3. Заключение……………………………………………………….………………..12
Список использованной литературы…………………………………………….....13

Введение

При выводе закона распределения молекул по скоростям Максвелл
предполагал, что газ состоит из очень большого числа N тождественных
молекул, находящие» в состоянии беспорядочного теплового движения при
одинаковой температуре. Предполагалось также, что силовые поля на газ не
действуют [1].
Системы, состоящие из большого количества тождественных частиц,
являются предметом изучения статистической физики. Основной особенностью
статистических закономерностей является их вероятностный характер. Хорошо
известен метод статистического описания коллектива молекул идеального газа.
Несмотря на то, что скорость отдельной молекулы газа является величиной
случайной в газе, состоящем из большого числа одинаковых молекул,
наблюдается определенная закономерность в распределении их по скоростям.
Используя методы статистической физики, всегда можно указать, какая доля
молекул имеет скорость, заключенную в данном интервале значений.
    Основная задача статистики состоит в определении числа частиц,
энергия которых лежит в заданном интервале. Результатом решения этой
статистической задачи является нахождение функции распределения частиц по
энергиям, которую обозначают обычно f(E). Если dZ - число возможных
состояний ансамбля частиц с энергией, заключенной в интервале от E до E+dE, а
dN - число частиц, находящихся в этих состояниях, то по определению
  Таким образом, функция распределения частиц по энергиям есть
плотность заполнения данных состояний частицами. Статистика молекул
идеального газа исходит из следующих основных положений:

  1. Молекулы газа подчиняются законам классической механики.
  2. Молекулы газа обладают индивидуальностью, позволяющей отличать
их друг от друга. Поэтому, когда две молекулы, находящиеся в разных
состояниях меняют местами, это приводит к новому распределению их по
состояниям (новому микросостоянию).
  3. Предполагается, что все способы распределения равновероятны.
1. Статистическая модель идеального газа. Закон

Максвелла

Изложим качественно некоторые представления статистической физики на
примере идеального газа. Хотя большинство предположений могут и не
использоваться при анализе термодинамики идеального газа, но во-первых, эти
предположения актуальны при рассмотрении более сложных случаев, а во-
вторых, использовав общего статистического описания позволяет всецело
определить идеальный газ, включая его энтропию, и все необходимые
распределения (по скоростям или флюктуации средних величин).
Существуют два основных метода для описания распределений в
статистической физике. Одно, это распределение Гиббса (или большое
каноническое распределение) и второе, это распределение Максвелла-Больцмана
(или микроканоническое распределение). Несмотря на то, что распределение
Гиббса в некотором смысле более общее, наглядно представлять легче второй
тип, то есть микроканоническое распределение. Поэтому начнем со второго.
Прежде чем перейти к описанию распределений, отметим общую черту
(точнее, основной принцип) для обоих типов. Этот принцип состоит в том, что
вероятность системы (или объекта) находиться в состоянии i (что это за объекты
и состояния - зависит от типа распределения) пропорциональна E i - энергии
этого состояния газа [3].
Можно сказать, что ситуация подобна случайному размещению книг на
стеллажах сложной формы. Каждое место, куда книга может быть поставлена,
это состояние i, а высота полки, на которой мы ищем книгу - это ее энергия.
Тогда для каждой книги можно сопоставить "температуру", характеризующую
то, как часто эту книгу брали и ставили на место. А вероятность найти книгу на
высоких полках (при умеренных "температурах") существенно меньше, чем на
самых высоких. При этом форма стелажа и количество мест на каждой полке
может быть очень разным - именно это характеризует конкретную систему.
Вернемся к микроканоническому распределению и опишем "стелажи". В
начале, не будем вспоминать о квантовых эффектах, так сказать, чисто
классическое описание. В основе лежит представление о фазовом пространстве
или его еще называют m- пространством для одной частицы. Если рассматривать
частицу из идеального газа, ее фазовое пространство 6-мерное, и состоит из 3-х
координатных и 3-х импульсных осей. Частица, в общем случае, может занимать
любое положение в этом пространстве, ограниченное по координатным осям
размерами системы. Поскольку мы не предполагаем никаких внешних сил (сил
тяжести, магнитных полей и т.п.), то энергия частицы не зависит от положения в
пространстве, и вероятности всех доступных положений в пространственных
координатах одинаковы. Тем самым мы способны нарисовать оси импульсов из
фазового пространства, и оперировать с ними в дальнейшем. Энергия частицы
определяется квадратом импульса и массой, то есть в пространстве импульсов
все сферические "стеллажи" имеют одинаковые энергии (находятся на
одинаковой "высоте"). Однако объемы этих стеллажей не одинаковы - они
пропорциональны объемам шаровых слоев со средним радиусом p. Все
положения внутри этого слоя равновероятны, так что если мы интересуемся
распределение по импульсам (тоже, что по энергиям), то получим, что
вероятность w(p) равна [2]

В этой формуле начальная константа имеет смысл нормировки плотности
вероятности. Эту формулу легко переписать в виде распределения скоростей
частиц, то есть хорошо известное распределение Максвелла для скоростей частиц в идеальном
газе. Легко понять, что можно использовать это полученное распределение для
вывода макроскопического давления, в механическом смысле. Единственное,
что для этого нужно, это убедиться, что средняя энергия частиц остается равной
3kT/2.            

2. Барометрическая формула. Распределение Больцмана
Под идеальным газом будем понимать газ, между частицами которого
взаимодействие настолько мало, что им можно пренебречь. Это предположение
может быть обеспечено малостью взаимодействия частиц при любых
расстояниях между ними, либо при достаточной разрежённости газа. Отсутствие
взаимодействия между молекулами позволяет свести задачу об определении
уровней энергии всего газа в целом к определению уровней энергии отдельной
молекулы [4].
Рассмотрим систему, состоящую из одинаковых частиц и находящуюся в
термодинамическом равновесии. Вследствие теплового движения и
межмолекулярных взаимодействий энергия каждой из частиц (при неизменной
общей энергии системы) с течением времени меняется, отдельные же акты
изменения энергии молекул — случайные события . Для описания свойств
системы предполагается, что энергия каждой из частиц через случайные
взаимодействия может изменяться. Для описания распределения частиц по
энергиям рассмотрим ось координат, на которой будем откладывать значения
энергии частиц, и разобьем ее на интервалы (рис. 1). Точки этой оси
соответствуют различным возможным значениям энергии молекул . В пределах
каждого интервала энергия меняется. Мысленно зафиксируем для данного
момента времени распределение всех частиц по энергиям. Фиксированное
состояние системы будет характеризоваться определенным расположением
точек на оси энергий. Пусть эти точки чем-либо выделяются, например
свечением. Тогда совокупностью темных точек, а их будет большинство, на оси
энергии определятся только возможные, но не реализовавшиеся энергетические
состояния молекул. Вслед за фиксированным моментом времени энергия
молекул из-за случайных взаимодействий будет меняться: число изображающих
точек останется то же, но их положения на оси изменятся.

Рис. 1. Разбиение энергии частиц на интервалы

В таком мысленном эксперименте изображающие точки скачками и очень
часто будут менять свое место на оси энергии. Фиксируя их через определенные
промежутки времени, наблюдатель пришел бы к следующему заключению: при
термодинамическом равновесии число изображающих точек на каждом из
выделенных участков энергии остается с достаточной точностью одинаковым.
Числа же заполнений энергетических интервалов зависят от их положения на
выбранной оси. Пусть все выделенные энергетические интервалы
пронумерованы. Тогда на интервал с энергией придется среднее число частиц.
Число частиц системы и их общая (внутренняя) энергия определяются
суммированием по всем энергетическим интервалам.
Естественно предположить, что при данной температуре вероятность есть
функция энергии молекул (зависит от положения интервала на оси энергии). В
общем случае указанная вероятность зависит также от температуры. Отыскание
зависимости является одной из основных задач статистической физики .
Функция называется функцией распределения частиц по энергиям.
Согласно распределению Больцмана среднее число частиц с полной энергией
равно [2]

где — кратность состояния частицы с энергией — число возможных
состояний частицы с энергией . Постоянная находится из условия, что сумма
по всем возможным значениям равна заданному полному числу частиц в
системе (условие нормировки).
Для любой системы, находящейся в равновесии и подчиняющейся законам
классической статистики, число молекул, обладающих энергией
пропорционально экспоненциальному множителю
Величина называется статистической суммой. Таким образом, вероятность
распределения частиц по их полной энергии определяется произведением
величин каждое из которых согласно закону умножения вероятностей следует
трактовать как вероятность распределения по одной из слагаемых энергии
Вывод можно сформулировать так: при термодинамическом равновесии
распределения частиц по слагаемым энергии являются статистически
независимыми и выражаются формулами Больцмана.
На основе сделанного вывода можно расчленить сложную картину
движения и взаимодействия молекул и рассматривать ее по частям, выделяя
отдельные составляющие энергии. Так, при наличии гравитационного поля
можно рассматривать распределение частиц в этом поле независимо от их
распределения по кинетической энергии . Точно так же можно независимо
исследовать вращательное движение сложных молекул и колебательное
движение их атомов.
Формула Больцмана является основой так называемой классической
статистической физики , в которой считается, что энергия частиц может
принимать непрерывный ряд значений. Оказывается, что
поступательное движение молекул газов и жидкостей , за исключением молекул
жидкого гелия, достаточно точно описывается классической статистикой вплоть
до температур, близких к 1 К. Некоторые свойства твердых тел при достаточно
высоких температурах также поддаются анализу с помощью формул Больцмана.
Классические распределения являются частными случаями более общих
квантовых статистических закономерностей. Применимость формул Больцмана
в такой же мере ограничена квантовыми явлениями, как и применимость
классической механики к явлениям микромира [1].
В основе больцмановской статистики лежит предположение о том, что
изменение энергии молекулы является случайным событием и что попадание
молекулы в тот или иной энергетический интервал не зависит от заполнения
интервала другими частицами. Соответственно формулы Больцмана можно
применять только к решению таких задач, для которых выполняется указанное
условие.

Заключение

 При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории
молекулам задавали различные скорости. В результате многократных
соударений скорость каждой молекулы изменяется по модулю и направлению.
Однако из-за хаотического движения молекул все направления движения
являются равновероятными, т. е. в любом направлении в среднем движется
одинаковое число молекул.
По молекулярно-кинетической теории, как бы ни изменялись скорости
молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул массой то в
газе, находящемся в состоянии равновесия при Т = const, остается постоянной.
Это объясняется тем, что в газе, находящемся в состоянии равновесия,
устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем
распределение молекул по скоростям, которое подчиняется вполне
определенному статистическому закону. Этот закон теоретически выведен Дж.
Максвеллом.

Список использованной литературы

1. Статистическая физика/ Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Ч. 1. – М. Наука, 1976. –
584 с., с. 420-423.
2. Р. Кубо. Статистическая механика. М.: Мир, 1967. - 452 с., с. 315-318.
3. Исихара А., Статистическая физика, пер. с англ., М., 1973; - 471 с., с. 275-382.
4. Румер Ю. Б., Рывкин М. Ш., Термодинамика. Статистическая физика и
кинетика, 2 изд., М., 1977; - 553 с., с. 155-165.