Моделирование в прикладном пакете программ Mathlab

Оглавление

Введение 3
1. Рабочая среда MATLAB 5
2. Основы работы с MATLAB 6
3. Вещественные числа и типы данных Double 8
4. Комплексные числа, комплексные функции и числовые массивы 10
5. Построение графиков функции и решение задач в MATLAB 15
Заключение 24
Список использованных источников 25

Введение

MATLAB — это высокоуровневый язык и интерактивная среда для программирования, численных расчетов и визуализации результатов. С помощью MATLAB можно анализировать данные, разрабатывать алгоритмы, создавать модели и приложения. 
Систему MATLAB разработал Молер (С.В. Moler) в 70-х г. г. ХХ века, которая использовалась на больших ЭВМ. В начале 80-х г. г. Джон Литл (John Little) из фирмы Math Works, Inс. Модернизировал эту систему для персональных компьютеров типа IBM PC, VAX и Macintosh. Далее к расширению системы были привлечены крупнейшие ученые и научные школы в математике, программировании и естествознании. Это позволило MATLAB стать признанным лидером в решении различных проблем науки и техники среди других подобных систем.
Язык, инструментарий и встроенные математические функции позволяют вам исследовать различные подходы и получать решение быстрее, чем с использованием электронных таблиц или традиционных языков программирования, таких как C/C++ или Java. MATLAB широко используется в таких областях, как: 
обработка сигналов и связь,
обработка изображений и видео,
системы управления,
автоматизация тестирования и измерений,
финансовый инжиниринг,
вычислительная биология и т.п.
Более миллиона инженеров и ученых по всем миру используют MATLAB в качестве языка технических вычислений. 
MATLAB по сравнению с традиционными языками программирования (C/C++, Java, Pascal, FORTRAN) позволяет на порядок сократить время решения типовых задач и значительно упрощает разработку новых алгоритмов. 
MATLAB представляет собой основу всего семейства продуктов MathWorks и является главным инструментом для решения широкого спектра научных и прикладных задач, в таких областях как: моделирование объектов и разработка систем управления, проектирование коммуникационных систем, обработка сигналов и изображений, измерение сигналов и тестирование, финансовое моделирование, вычислительная биология и др. 
Ядро MATLAB позволяет максимально просто работать с матрицами реальных, комплексных и аналитических типов данных и со структурами данных и таблицами поиска. 
MATLAB содержит встроенные функции линейной алгебры (LAPACK, BLAS), быстрого преобразования Фурье (FFTW), функции для работы с полиномами, функции базовой статистики и численного решения дифференциальных уравнений; расширенные математические библиотеки для Intel MKL. 
Все встроенные функции ядра MATLAB разработаны и оптимизированы специалистами и работают быстрее или так же, как их эквивалент на C/C++.  
Рабочая среда MATLABНа рисунке 1 отображена рабочая среда системы MATLAB.

Рисунок 1. – рабочая среда системы MATLAB
Как видно из рисунка рабочая среда состоит из набора окон, каждое из которых имеет своё функциональное назначение [1]:
Окно команд (Command window) – предназначено для ввода команд на языке Matlab и отображения результатов их выполнения.
Окно рабочего пространства (Workspace) – отображает список переменных, используемых в ходе работы алгоритма, а также некоторую дополнительную информацию по ним (тип, значение и т.д.).
Окно совершенных команд (Command History) – отображает список вводимых ранее команд. Используя данное окно, можно осуществлять их вызов путем нажатия левой кнопкой мыши по строке с соответствующей командой.
Окно текущей папки (Current Folder) – отображает текущую рабочую папку пользователя. В случае нахождения необходимого файла, например изображения, в текущей рабочей папке пользователь может обращаться к нему из командной строки без указания полного местоположения.
Основы работы с MATLABСреда MATLAB включает интерпретатор команд на языке высокого уровня, графическую систему, пакеты расширений и реализована на языке C. Вся работа организуется через командное окно (Command Window), которое появляется при запуске программы matlab.exe. В процессе работы данные располагаются в памяти (Workspace), для изображения кривых, поверхностей и других графиков создаются графические окна.[11]
В командном окне в режиме диалога проводятся вычисления. Пользователь вводит команды или запускает на выполнение файлы с текстами на языке MATLAB. Интерпретатор обрабатывает введенное и выдает результаты: числовые и строковые данные, предупреждения и сообщения об ошибках. Строка ввода помечена знаком >>. В командном окне показываются вводимые с клавиатуры числа, переменные, а также результаты вычислений. Имена переменных должны начинаться с буквы. Знак = соответствует операции присваивания. Нажатие клавиши Enter заставляет систему вычислить выражение и показать результат. Наберите с клавиатуры в строке ввода: » a=2+51-37
Нажмите клавишу Enter, на экране в зоне просмотра появится результат вычисления: a = 16
Все значения переменных, вычисленные в течение текущего сеанса работы, сохраняются в специально зарезервированной области памяти компьютера, называемой рабочим пространством системы MATLAB (Workspace). Командой clc можно стереть содержимое командного окна, однако это не затронет содержимого рабочего пространства. Когда исчезает необходимость в хранении ряда переменных в текущем сеансе работы, их можно стереть из памяти компьютера командой clear или clear(имя1, имя2, ). Первая команда удаляет из памяти все переменные, а вторая – переменные с именами имя1 и имя2. Командой who можно вывести список всех переменных, входящих в данный момент в рабочее пространство системы. Для просмотра значения любой переменной из текущего рабочего пространства системы достаточно набрать ее имя и нажать клавишу Enter. [11]
После окончания сеанса работы с системой MATLAB все ранее вычисленные переменные теряются. Чтобы сохранить в файле на диске компьютера содержимое рабочего пространства системы MATLAB, нужно выполнить команду меню File / Save Workspace As По умолчанию расширение имени файла mat, поэтому такие файлы принято называть МАТ-файлами. Для загрузки в память компьютера ранее сохраненного на диске рабочего пространства нужно выполнить команду меню:
File / Load Workspace.
Основные типы данных
Система MatLAB работает со следующими базовыми типами данных. Число – вещественное числовое значение.
Массив – это данные (объекты) одной природы сгруппированные по одному и тому же характерному признаку. [3]
Матрица – массив представленный в виде прямоугольной таблицы, каждый элемент имеет номер (индекс), определяющий однозначно его положение в матрице, в индексировании идет сначала номер строки, а потом номер столбца, где расположен элемент. [3]
Многомерный массив – пространственная матрица имеющая три и более размерностей, каждый элемент также имеет индекс, однозначно определяющий его положение.
Вектор – одномерная матрицы. Без особых указаний со стороны пользователя это матрица-столбец. [4]
Структура – это набор разнотипных полей. Поле может содержать как массив так и число так и строку. Одно поле содержит данные только одного типа.
Строка – набор (массив) символов символьных таблиц компьютера.
Вещественные числа и типы данных DoubleСистема MATLAB представляет на машинном уровне все действительные числа заданные мантиссой и показателем степени, например, 2.85093Е+11, где буквой Е обозначается основание степени равное 10. Этот основной тип данных носит название double. MATLAB по умолчанию использует формат short для вывода вещественных чисел, при котором показываются только четыре десятичных цифры после запятой.
Введите с клавиатуры пример: » res=5.345*2.868/3.14-99.455+1.274
Получите результат вычисления: res = -93.2990
Если требуется полное представление вещественного числа res, введите с клавиатуры команду: » format long
и далее наберите имя переменной » res
нажмите клавишу Enter и получите более подробную информацию: res = -93.29900636942675
Теперь все результаты вычислений будут показываться с такой высокой точностью в течение данного сеанса работы в среде системы MATLAB. Если требуется до прекращения текущего сеанса работы вернуться к старой точности визуального представления вещественных чисел в командном окне, нужно ввести и исполнить (нажав клавишу Enter) команду: » format short
Целые числа показываются системой в командном окне в виде целых чисел Над вещественными числами и переменными типа double производятся арифметические операции: сложения +, вычитания -, умножения *, деления / и возведения в степень ^. Приоритет в выполнении арифметических операций обычный. Операции одинакового приоритета выполняются в порядке слева направо, но круглые скобки могут изменить этот порядок. [7]
Если нет необходимости видеть в командном окне результат вычисления некоторого выражения, то в конце введенного выражения следует поставить точку с запятой и только после этого нажать Enter.
В системе MATLAB присутствуют все основные элементарные функции для вычислений с вещественными числами. Любая функция характеризуется своим именем, списком входных аргументов (перечисляются через запятую и стоят внутри круглых скобок, следующих за именем функции) и вычисляемым (возвращаемым) значением. Список всех имеющихся в системе элементарных математических функций может быть получен по команде help elfun. Вычислите выражение, включающее вычисление функции арксинус: » 2*asin(1)
Убедитесь, что получился следующий результат: ans = 3.1416, соответствующее числу «пи». В системе MATLAB для вычисления числа «пи» есть специальное обозначение: pi.
MATLAB имеет также логические функции, функции, связанные с целочисленной арифметикой (округления до ближайшего целого: round, усечение дробной части числа: fix). Есть еще функция mod – остаток от деления с учетом знака, sign – знак числа, lcm – наименьшее общее кратное, perms – вычисление числа перестановок и nchoosek – числа сочетаний и много других. Многие из функций имеют область определения, отличную от множества всех действительных чисел.
В случае истинности операции отношения ее величина равна 1, а в случае ложности – 0. Операции отношения имеют более низкий приоритет, чем арифметические операции.
Наберите с клавиатуры выражение с операциями отношения и вычислите его: » a=1; b=2; c=3; » res=(a<b)+(c~=b)+(b==a)
Вы получите следующий результат: res = 2
Первые две из этих операций являются бинарными (двухоперандными), а последняя – унарной (однооперандной). Логические операции трактуют свои операнды как «истинные» (не равные нулю) или «ложные» (равные нулю).
Комплексные числа, комплексные функции и числовые массивыКомплексные переменные, как и вещественные автоматически имеют тип double и не требуют никакого предварительного описания. Для записи мнимой единицы зарезервированы буквы i или j. В случае, когда коэффициентом перед мнимой единицей является не число, а переменная, между ними следует обязательно использовать знак умножения. Итак, комплексные числа можно записывать следующим образом: » 2+3i; -6.789+0.834e-2*i; 4-2j; x+y*i;
Почти все элементарные функции допускают вычисления с комплексными аргументами. Вычислите выражение: » res=sin(2+3i)*atan(4i)/(1-6i)
Получится результат: -1.8009 - 1.9190i
Специально для работы с комплексными числами предназначены следующие функции: abs (абсолютное значение комплексного числа), conj (комплексно сопряженное число), imag (мнимая часть комплексного числа), real (действительная часть комплексного числа), angle (аргумент комплексного числа), isreal («истина», если число действительное).
В отношении арифметических операций ничего нового для комплексных чисел (по сравнению с вещественными) сказать невозможно. То же самое относится и к операциям отношения «равно» и «не равно». Остальные операции отношения вырабатывают результат исходя только из действительных частей этих операндов.
Введите выражение, получите результат: » c=2+3i; d=2i; » c>d
Логические операции трактуют операнды как ложные, если они равны нулю. Если же у комплексного операнда не равна нулю хотя бы одна его часть (вещественная или мнимая), то такой операнд трактуется как истинный.
Числовые массивы
Для создания одномерного массива можно использовать операцию конкатенации, которая обозначается с помощью квадратных скобок [ ]. Элементы массива помещаются между скобками и отделяются друг от друга пробелом или запятой: » al=[1 2 3]; d=[1+2i,2+3i,3-7i];
Для доступа к индивидуальному элементу массива нужно применить операцию индексации, для чего после имени элемента указать в круглых скобках индекс элемента.
Можно изменять элементы уже сформированного массива путем применения операций индексации и присваивания. Например, введя: » al(3)=789;
изменим третий элемент массива. Или, после введения: » al(2)=(al(1)+al(3))/2;
второй элемент массива станет равным среднему арифметическому первого и третьего элементов. Запись несуществующего элемента вполне допустима – она означает добавление нового элемента к уже существующему массиву: » al(4)=7;
Применяя после выполнения этой операции к массиву а1 функцию length, находим, что количество элементов в массиве возросло до четырех: » length(al)
ans = 4
Тоже самое действие – «удлинение массива а1» - можно выполнить и с помощью операции конкатенации: » al=[al 7];
Еще один способ создания одномерного массива основан на применении специальной функции, обозначаемой двоеточием (операция формирования диапазона числовых значений). Через двоеточие следует набрать первое число диапазона, шаг (приращение) и конечное число диапазона. Например: » diap=3.7:0.3:8.974;
Если не нужно выводить на экран весь получившийся массив, то в конце набора (после конечного числа диапазона) следует набрать точку с запятой. Чтобы узнать, сколько элементов в массиве, следует вызвать функцию length (имя массива).
Для создания двумерного массива (матрицы) также можно использовать операцию конкатенацию. Элементы массива набираются один за другим согласно их расположению в строках, в качестве разделителя строк используется точка с запятой.
Введите с клавиатуры:
» a=[1 2; 3 4; 5 6]
Нажмите ENTER, получим:
a =
1 2
3 4
5 6
Полученную матрицу а размером 3x2 (первым указывается число строк, вторым – число столбцов) можно сформировать также вертикальной конкатенацией вектор-строк: » a=[[1 2];[3 4];[5 6]];
или горизонтальной конкатенацией вектор-столбцов: » a=[[1;3;5],[2;4;6]];
Структуру созданных массивов можно узнать с помощью команды whos(имя массива), размерность массива – функцией ndims, а размер массива – size.
Двумерные массивы можно задать также с помощью операции индексации, прописывая по отдельности его элементы. Номер строки и столбца, на пересечении которых находится задаваемый элемент массива, указываются через запятую в круглых скобках. Например:
» a(1,1)=1; a(1,2)=2; a(2,1)=3;
» a(2,2)=4; a(3,1)=5; a(3,2)=6;
Однако будет намного эффективнее, если до начала прописывания элементов массива, создать массив нужного размера функциями ones (m,n) или zeros(m,n), заполненный единицами или нулями (m – число строк, n – число столбцов).
При вызове этих функций предварительно выделяется память под заданный размер массива, после этого постепенное прописывание элементов нужными значениями не требует перестройки структуры памяти, отведенной под массив.
Использование этих функций возможно и при задании массивов других размерностей.
Если после формирования массива Х потребуется, не изменяя элементов массива, изменить его размеры, можно воспользоваться функцией reshape (Х, М, N), где M и N – новые размеры массива Х. [7]
Объяснить работу этой функции можно, только исходя из способа, каким система MATLAB хранит элементы массивов в памяти компьютера. Она хранит их в непрерывной области памяти упорядоченно по столбцам: сначала располагаются элементы первого столбца, вслед за ними расположены элементы второго столбца и т.д. Помимо собственно данных (элементов массива) в памяти компьютера хранится также управляющая информация: тип массива (например, double), размерность и размер массива, другая служебная информация. [6]
Этой информации достаточно для определения границ столбцов. Отсюда следует, что для переформирования матрицы функцией reshape достаточно изменить только служебную информацию и не трогать собственные данные.
Поменять местами строки матрицы с ее столбцам можно операцией транспортирования, которая обозначается знаком .' (точка и апостроф). Например:
» A=[1 1 1; 2 2 2; 3 3 3];
» B=A.'
B =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
Операция ' (апостроф) выполняет транспонирование для вещественных матриц и транспонирование с одновременным комплексным сопряжением для комплексных матриц.
Объекты, с которыми работает MATLAB, являются массивами. Даже одно заданное число во внутреннем представлении MATLAB является массивом, состоящим из одного элемента. MATLAB позволяет делать вычисления с огромными массивами чисел также легко как и с одиночными числами, и это является одним из самых заметных и важных преимуществ системы MATLAB над другими программными пакетами, ориентированными на вычисления и программирование. Помимо памяти, необходимой для хранения числовых элементов (по 8 байт на каждый в случае вещественных чисел и по 16 байт в случае комплексных чисел), MATLAB автоматически при создании массивов выделяет еще и память для управляющей информации. [9]
Построение графиков функции и решение задач в MATLABГрафические возможности системы MATLAB являются мощными и разнообразными. Изучим наиболее простые в использовании возможности (высокоуровневую графику).
Сформируйте два вектора х и y:
» x=0:0.01:2; y=sin(x);
Вызовите функцию:
» plot(x,y)
и вы получите на экране график функции рисунок 2.

Рисунок 2 – График функции y=sin(x)
MATLAB показывает графические объекты в специальных графических окнах, имеющих в заголовке слово Figure. Не убирая с экрана дисплея первое графическое окно, введите с клавиатуры выражения
» z=cos(x);
» plot(x,z)
и получите новый график функции в том же самом графическом окне (при этом старые оси координат и график пропадают – этого также можно добиться командой clf, командой cla удаляют только график с приведением осей координат к их стандартным диапазонам от 0 до 1).
Если нужно второй график провести «поверх первого графика», то перед вторичным вызовом графической функции plot нужно выполнить команду hold on, которая предназначена для удержания текущего графического окна:
» x=0:0.01:2; y=sin(x);
» plot(x,y)
» z=cos(x);
» hold on
» plot(x,z)
Практически тоже самое получится рисунок 3, если набрать:
» x=0:0.01:2; y=sin(x); z=cos(x);
» plot(x,y,x,z)

Рисунок 3 – Графики функций y=sin(x), z=cos(x), построенные в одном графическом окне
Если нужно одновременно визуализировать несколько графиков так, чтобы они не мешали друг другу, то это можно сделать двумя способами. Первым решением является построение их в разных графических окнах. Для этого перед вторичным вызовом функции plot следует набрать команду figure, которая создает новое графическое окно и заставляет все последующие за ней функции построения графиков выводить их туда.
Вторым решением показа нескольких графиков без конфликта диапазоновосей координат является использование функции subplot. Эта функция позволяет разбить область вывода графической информации на несколько подобластей, в каждую из которых можно вывести графики различных функций. [10]
Каждая точка в пространстве характеризуется тремя координатами. Набор точек, принадлежащих некоторой линии в пространстве, нужно задать в виде трех векторов, первый из которых содержит первые координаты этих точек, второй вектор – вторые их координаты, ну а третий вектор - третьи координаты. После чего эти три вектора можно подать на вход функции plot3, которая и осуществит проектирование соответствующей трехмерной линии на плоскость и построит результирующее изображение рисунок 4.
Введите с клавиатуры:
» t=0:pi/50:10*pi;
» x=sin(t);
» y=cos(t); plot3(x,y,t); grid on
Убедитесь, что получилась винтовая линия.

Рисунок 4 – График винтовой линии, построенный с помощью функции plot3
Эту же функцию plot3 можно применить и для изображения поверхностей в пространстве, если, конечно, провести не одну линию, а много. Наберите с клавиатуры:
» u=-2:0.1:2; v=-1:0.1:1;
» [X,Y]=meshgrid(u,v);
» z=exp(-X.^2-Y.^2);
» plot3(X,Y,z)
Получите трехмерное изображение графика функции рисунок 5.
Функция plot3 строит график в виде набора линий в пространстве, каждая из которых является сечением трехмерной поверхности плоскостями, параллельными плоскости yOz. Помимо этой простейшей функции система MATLAB располагает еще рядом функций, позволяющих добиваться большей реалистичности в изображении трехмерных графиков.

Рисунок 5 – График поверхности в пространстве, построенный с помощью функции plot3
Решение задач в MATLAB
Пример для диодной структуры
Рассмотрим кратко основные этапы решения задачи в PDE Toolbox на примере расчета распределения электрического потенциала в автоэмиссионной диодной ячейке (Рис. 6).

Рисунок 6 – Диодная структура
Ячейка представляет собой двухэлектродную структуру, содержащую катод со скругленным на конце выступом и расположенный над ним анод. Будем полагать, что объемный заряд в межэлектродном пространстве отсутствует и распределение потенциала φ(x,y) подчиняется уравнению Лапласа
∂² φ(x,y) / ∂x² + ∂² φ(x,y) / ∂y² = 0
На первом этапе необходимо сформировать исходную геометрию задачи в графическом окне интерфейса PDETool (Рис.7).

Рисунок 7 – Подготовка изображения двухэлектродной структуры в окне PDETool
Изображения электродов формируются с помощью команд пункта Draw (Рисовать) главного меню: Draw Mode - переключение в режим ввода (прорисовки) геометрии; Rectangle/square - ввод прямоугольника или квадрата с помощью мыши начиная от его верхней левой вершины; Rectangle/square (centered) - ввод прямоугольника или квадрата с помощью мыши начиная от его центра; Ellipse/circle - ввод эллипса или круга с помощью мыши начиная от верхней левой точки; Ellipse/circle (centered) - ввод эллипса или круга с помощью мыши начиная от центра; Polygon - прорисовка многоугольника отрезками ломаной линии, пока она не станет замкнутой; Rotate - поворот выделенных объектов вокруг некоторой точки; Export Geometry Description, Set Formula, Labels - экспорт в базовую рабочую область MATLAB переменных описания геометрии. Быстрый вызов некоторых из этих команд обеспечивают элементы инструментальной панели и - прямоугольник (квадрат), и - эллипс (круг), - многоугольник. [11]
Для получения изображений произвольной формы служит строка "Set formula", располагающаяся под инструментальной панелью. В ней можно задать слияние нескольких фигур или "вычесть" их друг из друга используя. В данном случае используется формула R1-P1-E1, где R1 - прямоугольник (квадрат), P1 - многоугольник, E1 - эллипс (круг).
Команды для редактирования изображения и настройки графического окна содержатся в следующих пунктах главного меню. Edit (Правка) содержит команды: Undo - отмена последнего действия; Cut - вырезать выделенный геометрический объект и поместить его в буфер; Copy - копировать выделенный объект в буфер; Paste - вставить геометрический объект из буфера; Clear - удалить выделенный объект; Select All - выделить все геометрические объекты. [11]
Options (Опции) содержит команды: Grid - показать / скрыть координатную сетку; Grid Spacing - установить пределы и шаг сетки; Snap - округлять координаты указателя мыши; Axes Limits - установить пределы координатных осей; Axes Equal - установить одинаковый масштаб по осям x и y; Turn Off Toolbar Help - выключить подсказки по инструментальной панели; Zoom - показать с увеличением выделенную часть модели; Application - переключение вида задачи; Refresh - обновить изображение модели.
Второй этап включает ввод граничных условий на граничных сегментах (Рис.8) и параметров уравнения. Определить условие на любом из сегментов можно, выделив его двойным щелчком левой кнопки мыши. Соответствующие команды располагаются в разделах Boundary и PDE главного меню.

Рисунок 8 – Границы расчетной области
Boundary (Границы) содержит команды: Boundary Mode - ввод граничных условий; Specify Boundary Conditions - ввод параметров граничных условий; Show Edge Labels - показать номера граничных сегментов; Show Subdomain Labels - показать номера зон; Remove Subdomain Border - удалить границу зон; Remove All Subdomain Borders - удаление всех границ зон; Export Decomposed Geometry, Boundary Cond's - экспорт в рабочую область MATLAB переменных описания граничных условий.
PDE (Уравнение) содержит команды: PDE Mode - переключение в режим ввода параметров уравнения; Show Subdomain Labels - показать номера зон; PDE Specification - ввод параметров (коэффициентов) уравнения; Export PDE Coefficients - экспорт в базовую рабочую область переменных, описывающих PDE коэффициенты в расчётной области. Переход к выполнению этих команд также обеспечивается элементами инструментальной панели - граничные условия и - параметры уравнения. [6]
В качестве граничных условий на нижней и верхней границах зададим электрические потенциалы электродов, то есть условие Дирихле: вверху (на аноде) φ = 1000 В и внизу (на катоде) φ = 0 В. На левой и правой границах зададим условие Неймана ∂φ/∂n = 0 (где n - нормаль к границе), учитывая определенную симметрию задачи. Для ввода условия на каком-либо сегменте границы необходимо его выделить и открыть диалоговое окно "Boundary Condition". В окне следует установить переключатель в режим Dirichlet или Neuman и задать числовые параметры. [4]
Зададим параметры уравнения эллиптического типа, вызвав через меню или панель инструментов диалоговое окно "PDE Specification". Выберем тип уравнения - "Elliptic" Если в списке "Application" установлен режим "Electrostatics" (задача электростатическая), то в окне MATLAB уравнение имеет вид "-div(exgrad(φ))=ρ", где e диэлектрическая проницаемость, электрический потенциал, объемный заряд. В том случае, когда установлен режим "Generic Scalar" в списке "Application" (задача в обобщенной скалярной форме), запись уравнения в MATLAB имеет вид "-div(c grad(u))+a u=f". Зададим = 1, = 0 (или c = 1, a = 0, и f = 0).
На следующем этапе формируется сетка конечных элементов (Рис.9) PDE Toolbox поддерживает только симплекс-элементы, для которых характерны линейные функции формы.
Пункт Mesh (Сетка) главного меню включает следующие команды для работы с сеткой: Mesh Mode - переключение в режим построения сетки; Initialize Mesh - генерация сетки; Refine Mesh - сгущение сетки; Jiggle Mesh - регуляризация сетки в пределах установленной величины; Undo Mesh Change - отменить последнее изменение сетки; Display Triangle Quality - отобразить в цвете показатель регулярности конечных элементов; Show Node Labels - показать номера узлов; Show Triangle Labels - показать номера конечных элементов; Parameters - установить параметры генератора сетки; Export Mesh - экспорт сетки в базовую рабочую область. [8]
На рабочей панели этому разделу меню соответствуют элементы - генерация сетки и - сгущение сетки.

Рисунок 9 – Формирование сетки
Следующий этап включает собственно решение задачи и его вывод в графическом виде (Рис.10). Соответствующие команды располагаются в пунктах Solve и Plot главного меню.
Solve (Решение) содержит команды: Solve PDE - решить краевую задачу; Parameters - установить параметры решателя; Export Solution - экспорт решения в базовую рабочую область. На инструментальной панели разделу Solve соответствует элемент .
Plot (График) содержит команды: Plot Solution - отобразить решение; Parameters - установить параметры отображения решения; Export Movie - экспорт в базовую рабочую область информации, необходимой для анимации решения нестационарной задачи. На панели PDETool имеются элементы - настройка графики и - увеличить фрагмент. [8]

Рисунок 10 – Результат решения для двухэлектродной структуры: распределение эквипотенциальных линий φ = const
Результаты расчета можно сохранить, обратившись к пункту File (Файл) меню, включающему команды: New - создать новую модель; Open - открыть ранее сохранённую в m-файле модель; Save - сохранение модели в m-файле с текущим именем; Save As - сохранение модели в m-файле; Print - печать рисунка; Exit - закрытие приложения PDETool.
Заключение

MATLAB – система многоцелевого назначения, которая вышла на рынок программных продуктов почти двадцать лет назад и с тех пор непрерывно совершенствовалась. Но первоначально ее основу составляли алгоритмы решения систем линейных уравнений и задач на собственные значения, откуда и произошло ее название «матричная лаборатория». Теперь она представляется наиболее эффективной при проведении прикидочных расчетов и при разработке новых алгоритмов. Сейчас уже существует несколько десятков специальных приложений к MATLAB, посвященных более узким проблемам. Это обработка сигналов и изображений, инженерное программирование в виде блок-схем, решение экономических задач и многое другое. Но любое из этих приложений можно изучать только после первоначального освоения MATLAB.
Спектр численных методов математического анализа, которые реализованы в пакете MATLAB, весьма широк и охватывает методы численного интегрирования, интерполяции и приближения функций, линейной алгебры, решения систем нелинейных уравнений и обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений математической физики, задач оптимизации, нечеткой логики, искусственных нейронных сетей и др.
Пакет MATLAB обладает хорошо развитыми возможностями интерпретации двумерных и трехмерных массивов данных, снабжен встроенным языком программирования, который вобрал в себя преимущества традиционных языков и позволяющим сравнительно легко создавать собственные программы. Пользователь пакета MATLAB может также в процессе работы совершенствовать свои знания как в области компьютерного моделирования и численных методов, так и программирования и визуализации результатов расчета. Более подробно о преимуществах и возможностях системы MATLAB можно узнать в специализированных изданиях указанных в списке литературы.
Список использованных источников

Глушаков С.В., Жакин И.А., Хачиров Т.С. Математическое моделирование: Mathcad 2000, MATLAB 5. Учебный курс. – Харьков.: Фолио, 2001. –524 с.
Герман-Галкин, С.Г. Компьютерное моделирование полупров. систем в Matlab 6.0: Учебное пособие / С.Г. Герман-Галкин. - СПб.: Корона Принт, 2010. - 320 c.
Гонсалес Р., Р. Вудс, С. Эддинс Цифровая обработка изображений в среде MATLAB. Москва: Техносфера, 2006. - 616 с.
Дьяконов В., И.Абраменкова, В.Круглов. MATLAB с пакетами расширений. Нолидж. 2001.
Дьяконов В. Компьютерная математика. Теория и практика. Нолидж. 2000.
Дьяконов В. MATLAB: Учебный курс. Питер. 2000.
Иглин С.П. Математические расчеты на базе Matlab. Издательство "BHV-Санкт-Петербург" 2005г. 640 стр.
Кондрашов В., С.Королев. Matlab как система программирования научно-технических расчетов. Мир. 2002.
Кривилев А. Основы компьютерной математики с использованием системы MATLAB. Лекс-Книга, 2005
Курбатова Е.А. MATLAB 7. Самоучитель. М.: Вильямс, 2006 – 256 с. ISBN: 5-8459-0904-X
Мартынов Н. Введение в  MatLab 6. М.:Кудиц-образ, 2002.
Поршнев С. Компьютерное моделирование физических процессов в пакете MATLAB. Горячая Линия - Телеком. 2003.
Потемкин В. Инструментальные средства Matlab 5.x. Диалог-МИФИ. 2000.
Потемкин В. Инструментальные средства Matlab 5.x. Диалог-МИФИ. 2000.