Контрольная работа по Математике на тему: "Математический анализ"

Контрольная работа  1
Задание № 1

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:

1. решить систему по формулам Крамера;
2. записать систему в матричной форме;
3. найти обратную матрицу для матрицы системы, сделать проверку;
4. полученное из системы матричное уравнение решить матричным способом;
5. сделать проверку правильности полученного решения системы.

1.1.19.

 { 7x - 5y + 3z = 3
 { 5x - 2y + 4z =6
 { 4x - 2y + 3z = 3

 

Задание № 2

Задача 1. Разложите вектор x^p по векторам a^r, b^r и c^r.

2.1.19. a^r = (3;-2;-2); b^r=(2;-1;0); c^r= (-1;4;5); x^p =(0;1;2)

 

Задача 2. Найдите косинус угла между векторами AB и AC. Постройте точки и соответствующие векторы.

2.1.19. A(0;1;0), B(0;2;1), C(1;2;0).

Задача 3. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах a^p и b^p, и длину высоты, проведенной к стороне |a^p|.

2.3.19  a^p = 6p^p-q^p; b^p= p^p + q^p; |p^p|= 3; |q^p|= 4; (p^p∧q^p) = П/4
 

Задача 4. Найдите объем пирамиды с вершинами в точках A, B, C и D, а также длину высоты, опущенной из точки D на грань ABC. Сделайте чертеж.

2.4.19. A(4;-1;3), B(-2;1;0), C(0;-5;1), D(3;2;-6).
 

Задание № 3

Задача 1. Дан треугольник с вершинами в точках A(x₁;y₁), B(x₂;y₂), C(x₃;y₃). Требуется найти следующее: 1) длину и уравнение стороны ВС; 2) площадь треугольника АВС; 3) длину и уравнение медианы СМ; 4) длину и уравнение высоты АD; 5) уравнение биссектрисы BN. Сделайте чертеж.

3.1.19. A(14;8), B(-18;-16), C(-4;32).
 

Задание № 4

Задача 1. Найдите расстояние от точки M₀ до плоскости, проходящей через точки M₁, M₂, M₃.

4.1.19. M₁(-3;-5;6), M₂(2;1;-4), M₃(0; -3;3), M₀(3;6;8).
 

Задача 2. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно вектору BC.

4.2.19. A(-7;1;-4), B(8;11;-3), C(9;9;-1).
 

Задача 3. Найдите угол между плоскостями.

4.3.19. x+y + 3z -7 = 0, y+z-1= 0.
 

Задача 4. Напишите канонические уравнения прямой, получающейся при пересечении данных плоскостей.

4.4.19. 4x+y+z+2 =0, 2x-y-3z -8 =0.

 

Контрольная работа  2

Задача 1. Докажите по определению, что lim n→ ∞ x_n= a.

1.1.19. x_n = 5n/ n+1; a =5

1.1.20. x_n = 3n+1/ 2n-5; a = 3/2

Задача 2. Вычислите пределы числовых поселдовательностей.

1.2.19.

a)  lim n→ ∞ (3n+2)³ + (2n +1)³/ (2n+3)³ - (n-3)³
b)  lim n→ ∞ √n(n³+3) - √n⁴ +2n/ 2√n
c)  lim n→ ∞ (n+5/ n-3)²ⁿ⁺¹

Задача 3. Найдите пределы функций:

1.3.19.

a)  lim x→ 2 (1/x-2 - 3/ x²-x -2)
b)  lim x→ 0  1- √1 -x²/ arcsin3x²
c)  lim x→ 0  (1-2x) ^1/sin3x
d) lim x→ ∞ cos7x  - cos3x / e ^-2x2 -1

 

Задача 4. Исследуйте функцию на непрерывность в точке x = x₀.

1.4.19. f(x) = 3x² -2; x₀ = 5
 

Задание № 2

Расчетно-графические задания

Задача 1. Найдите производные функций первого порядка.

2.1.19.

a) y =(1-x²)⁵√x³+ 1/x
b) y= (lncosx - tgx)⁴
c) y= xarcsin(lnx)
d) y= (xsinx) ^{sin (xsinx)}
d) y= x+ y+e ^xy=0
e) x = t⁶+2; y =8 - lnt

 

Задача 2. Составьте уравнения касательной и нормали, проведенных к графику функции в заданной точке x₀.

2.2.19. y = 3³√x - 6√x; x₀ =1

 

Задача 3. Найдите дифференциал функции.

2.3.19.  y = √3+x² - ln+ √3+x²|

 

Задача 4. Вычислите приближенно значение функции в данной точке с помощью дифференциала.

2.4.19. y= ³√x; x = 8,36

 

Задача 5. Надите производную функции второго порядка.

2.5.19. y = sin⁵x

 

Задача 6. Надите производную функции n-го порядка.

2. 6. 19. y = lg(1+3x)
 

Задание № 3

Задача 1. Определите вид неопределенности и вычислите предел с помощью правил Лопиталя.

3. 1. 19. 

a)  lim x→ 0 e^x - cosx/ e^2x - cos2x
b)  lim x→ 1 (2-x) ^tgПx/2

 

Задача 2. Вычислите с точностью E = 0,001 значение функции f(x) =e^x в точке x= x₀ с помощью формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

3. 2. 19. x₀ = 0,35

 

Задача 3. Исследуйте функцию с помощью производной первого порядка и постройте ее график.

3. 3. 19.  y = 2x³ + 3x²  -5

 

Задача 4. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке.

3. 4. 19.  y = 2sinx - sin2x; [0;3П/2 ]

 

Задача 5. Найдите асимптоты графика функции.

3. 5. 19. y= x³ - 5x/ 5-3x²

 

Задача 6. Исследуйте с помощью производных высших порядков функцию в окрестности заданной точки.

3. 6. 19. y = 2x + x² - (x+1)ln(2+x); x₀= -1