Побудова на основі натурних спостережень емпіричних формул лінійних залежностей методом найменши

Реферат

з курсу

“Математичне моделювання комплексних процесів природоохоронних заходів (Екометрика-2)”

на тему:

“Побудова на основі натурних спостережень емпіричних формул лінійних залежностей методом найменших квадратів”

Сучасна наука характеризується глибоким проникненням математичних методів в різні галузі природознавства. Істотно зростає роль математики в розвитку сучасної біології та екології. Сьогодні біологи, а особливо екологи, потребують серйозної математичної підготовки, яка б давала можливість математичними методами досліджувати широке коло нових проблем, застосовувати обчислювальну техніку, використовувати теоретичні досягнення в практиці.

Обробка експериментальних даних з використанням математичної статистики – це лише найбільш розповсюджене, але не єдине і не найважливіше застосування математики в біології. Справа в тому, що результати навіть досить тонких експериментів далеко не завжди дозволяють відповісти на питання, які основні рушійні сили і механізми впливають на стан та розвиток тієї чи іншої біологічної системи. Такі механізми можуть бути визначені про розгляді функціонування біологічної чи екологічної системи, як результату взаємодії її складових елементів та різноманітних факторів, які впливають на стан середовища, в якому розглядаються ці системи.

Врахувати взаємодію різноманітних факторів, що визначають структуру та особливості функціонування природних (екологічних) систем, можна лише за допомогою математичних методів та методів імітаційного та математичного моделювання.

При вивченні закономірностей, що спостерігаються в різноманітних явищах природи, виникає необхідність за даними натурних спостережень побудувати математичну формулу, тобто представити результати натурного спостереження у вигляді функціональної залежності, наприклад, у вигляді якоїсь елементарної функції.

З подібною проблемою я зіткнувся 2 роки тому, коли влітку зі своїми товаришами проходив польову екологічну практику в містечку під назвою Конча Заспа, що під Києвом. Під час одного натурного експерименту ми отримали завдання підрахувати кількість (чисельність) популяції коників на певній галявині. Так як порахувати усіх коників на галявині – зайняття безглузде і майже нереальне, то нам запропонували знайти загальну чисельність популяції коників, використовуючи метод квадратів з вилученням. Як відомо, цей метод полягає у тому, що на тій території, де ми визначаємо чисельність популяції, ми виокремлюємо певне місце, наприклад, квадрат площею 1м², і через певні проміжки часу відловлюємо і рахуємо кількість особин потрібного нам виду. Підрахованих особин вилучаємо з цієї ділянки і через певний проміжок часу повторюємо операцію. Отримані значення записуються і потім за допомогою відповідних формул приблизно визначають чисельність популяції на всій території. Така приблизність пояснюється тим, що система, в якій ми проводимо дослідження, є нестабільною і відкритою (міграції тощо).

Отож, після проведення цього експерименту і занесення результатів до журналів практики (ці дані, до речі, в мене збереглися), нас попросили вивести емпіричну формулу, яка б приблизно описувала динаміку зміни популяції коників протягом певного часу. Зважаючи на те, що ніхто не знав, як це робити, викладач був змушений це пояснити. Виявилося, що побудову таких емпіричних формул починають з того, що дані натурних спостережень або результати лабораторних експериментів вміщують в таблицю, а потім значення аргументу і функції заносять на “міліметрівку” або на інший аркуш паперу. Після цього, виходячи з форми розташування точок на папері, підбирають вид функції (формули), яка б наближено описала закономірність розташування точок на папері за даними натурного експерименту. Як було зазначено, інколи на вдається підібрати одну формулу для всього інтервалу зміни аргументу (інтервалу визначення функції), а тому доводиться розбивати цей інтервал на окремі частини і для кожної з них підбирати свою формулу.

Нещодавно я дізнався, що можна побудувати емпіричну формулу за відомими експериментальними даними більш точним методом, який називається способом або методом найменших квадратів.

Наприклад, розглянемо загальний випадок методу найменших квадратів, коли емпірична формула представляється у вигляді многочлена m-того ступеня:

Якщо маємо n (n>m) точок з координатами (x_1, y₁), (x_2, y₂), (x_3, y₃),..., (x_n, y_n), де значення ординат y_1, y_2, y_2, ...y_n одержані на основі натурного чи лабораторного експерименту, необхідно невідомі коефіцієнти А₀, А₁, А₂, А₃, ... А_m таким чином, щоб відхилення графіка функції (1.1) від експериментальних точок були найменшими. Для цього знайдемо відхилення d₁, d₂, d₃,...d_m від кожної точки, які визначаються такими величинами, що називаються нев‘язками або похибками:

d₁= А₀+ А₁х₁+ А₂х₁²+ ... + А_mх₁^m – y₁ ,

d₂= А₀+ А₁х₂+ А₂х₂²+ ... + А_mх₂^m – y₂ ,

d₁= А₀+ А₁х₃+ А₂х₃²+ ... + А_mх₃^m – y₃ , (1.2)

-------------------------------------------------

d₁= А₀+ А₁х_n+ А₂х_n²+ ... + А_mх_n^m – y_n ,

Похибки d₁, d₂, d₃, .....d_n будуть найменшими тоді, коли сумі їх квадратів буде найменшою, тобто функція:

S(А₀, А₁,А₂, А₃... А_m) = (1.3)

матиме мінімум.

Необхідною умовою мінімуму функції кількох змінних є рівність нулю всіх її часткових похідних, а саме:

Якщо ввести позначення Гауса, то нормальна система рівнянь (1.4) запишеться у такому вигляді:

(1.5)

де:

(1.6)

Для побудови емпіричних формул найчастіше застосовується многочлен другого степеню, тобто квадратичний тричлен :

. (1.7)

Для визначення коефіцієнтів а, b і с згідно з рівностями (1.5) маємо таку нормальну систему (А₀=с, А₁=b, A₃₌ a) :

Приклад.

А тепер спробуємо вивести емпіричні формули залежності зміни популяції коників з часом.

Спочатку зробимо це першим з вищезгаданих методів - так званим “графічно-аналоговим” методом.

Якщо залежність чисельності популяції коників N від часу t виразити лінійною функцією:

N= at + b (1.8)

і провести пряму таким чином, щоб зображені на малюнку 1 (додаток 1) точки (з таблиці 1, додаток 1), починаючи з другої години вимірів, були розташовані найближче до цієї прямої, то знайдемо:

(1.9)

(1.10)

Отже, шукана лінійна залежність має такий вигляд:

N(t)=6,25 t + 32,25 (2.1)

Визначимо кількість коників у 2,3,4,5,6 та 7 години вимірів:

N₁= N (2) = 6,25х2 + 31,25 = 43,75

N₂= N (3) = 6,25х3 + 31,25 = 50

N₃= N (4) = 6,25х4 + 31,25 = 56,25

N₄= N (5) = 6,25х5 + 31,25 = 62,5

N₅= N (6) = 6,25х6 + 31,25 = 68,75

N₆= N (7) = 6,25х7 + 31,25 = 75

Легко обчислити відхилення одержаних результатів від даних спостережень. Вони відповідно дорівнюють:

(2.2)

Отже, загальна похибка, яку доцільно визначити як суму квадратів усіх похибок, дорівнюватиме:

(2.3)

А тепер знайдемо параметри а, b і с, що входять в рівність (1.7) методом найменших квадратів.

Після підстановки відповідних числових значень нормальна система рівнянь () матиме такий вид:

(2.3)

Розв‘язавши систему лінійних рівнянь (2.3) знайдемо шукані параметри:

а = -0,7 b = 0,5 c = 32,7.

Отже, шукана лінійна залежність має такий вигляд:

N^*(t)= -0,7 t² + 0,5t + 32,7 (2.4)

Як і раніше, визначимо за формулою () значення чисельності коників у 2,3,4,5,6 та 7 години вимірів:

N ^*₁= N (2) = - 0,7х4 + 0,5х2 +32,7= 30,9

N ^*₂= N (3) = - 0,7х9 + 0,5х3 +32,7= 27,9

N ^*₃= N (4) = - 0,7х16 + 0,5х4 +32,7= 23,5

N ^*₄= N (5) = - 0,7х25 + 0,5х5 +32,7= 17,7

N ^*₅= N (6) = - 0,7х36 + 0,5х6 +32,7= 10,5

N ^*₆= N (7) = - 0,7х49 + 0,5х7 +32,7= 1,9

Похибки у цьому випадку відповідно дорівнюють:

(2.5)

Загальна оцінка похибки в цьому випадку дорівнює:

(2.6)

Як бачимо, , тобто похибка при користуванні формулою (2.4) менша, ніж похибка при обчисленні за формулою (2.1) (приблизно в 63 рази)

Список використаної літератури:

1. Андерсон Дж.М. Экология и наука об окружающей среде: биосфера, экосистема, человек.- Л.: Гидрометеоиздат, 1985.- 165с.

2. Лаврик В.І Методи математичного моделювання в екології. – Київ.: Фітоцентр, 1998, -132с.

3. Miller, G.Tyler (George Tyler), 1988 by Wadsworth Publishing Company, Inc., Belmont, California, a division of Wadsworth Inc. 5-th edition, 603 pg.