RSA алгоритмів кодування з відкритим ключем

Реферат на тему:

RSA – алгоритмів кодування з відкритим ключем

Перший алгоритм кодування з відкритим ключем (Public Key Encryption, далі PKE) було запропоновано Вітфілдом Діффі та Мартіном Хелманом у Стендфордському університеті. Вони, а також незалежно від них Ральф Меркл, розробили основні його поняття у 1976 році. Перевага PKE полягає у відсутності потреби секретної передачи ключа.

PKE базується на нерозв’язності проблеми розкладу натурального числа на прості множники.

RSA схему шифрування було запропоновано у 1978 році та названо іменами трьох його винахідників: Роном Рівестом (Ron Rivest), Аді Шаміром (Adi Shamir) та Леонардом Адлеманом (Leonard Adleman). RSAналежить до класу алгоритмів кодування з відкритим ключем.

У 80-х роках криптосистема переважно використовувалася для забезпечення секретності та достовірності цифрових даних. Усучасному світі RSAвикористовується в web – серверах та браузерах для зберігання таємності даних що передаються по мережі, .

Схема RSA базується на обчисленні виразів зі степенями. Відкритий текст шифрується блоками, довжина кожного із яких менша за деяке число n.

Алгоритм генерації ключа

A повинен згенерувати відкритий та секретний ключі:

1. Згенерувати два великих простих числа pта q приблизно однакової довжини;

2. Обчислити n = p * q, fi = (p – 1) * (q – 1);

3. Вибрати натуральнеe, 1 < e < fi, взаємно просте з fi;

4. Використовуючи розширений алгоритм Евкліда, розв’язати рівняння

d * eº 1 (mod fi).

Відкритий ключ: (n, e). Секретний ключ: d.

Схема шифрування RSA

B шифрує повідомлення m та надсилає A.

1. Шифрування. В робить наступні дії:

а) отримати відкритий ключ (n, e)від А;

б) представити повідомлення у вигляді натурального числа m з проміжку [1..n];

в) обчислити c = m^emodn;

г) надіслати шифротекст cдо А.

2. Дешифрування. Для отримання повідомлення m із шифротксту cА робить наступні дії:

а) використовуючи секретний ключ d, обчислити m = c^dmodn.

Теорема. Шифр c декодується правильно.

Оскільки pта q – прості числа, то j (p * q) = j (n) = (p-1) * (q-1), де j – функція Ейлера. З умови вибору ключа dмаємо: d * emodj(n) = 1, або d * e = j (n) * k + 1 для деякого натурального k.

c^dmodn = (m^e)^dmodn = m^(e*d)modn = m ^ ^{(j (n) * k + 1)}modn = (m^{j (n)} modn) ^{k * m}= 1 ^{k * m} = m, оскільки за теоремою Ейлера m^{j (n)} mod n = 1.

Означення.RSAсистемою називають функцію RSA_n,e(x) = x^emodnта обернену їй RSA^-1_n,e(y) = y^dmodn, де e– кодуюча, а d– декодуюча експонента, x, yÎ Z_n^*.

Приклад

1. Оберемо два простих числа: p = 17, q = 19;

2. Обчислимо n = 17 * 19 = 323, fi = (p - 1) * (q - 1) = 16 * 18 = 288;

3. Оберемоe = 7 (НСД(e, fi) = 1) та розв’яжемо рівняння 7 * dº1 (mod 288), звідки d = 247.

Побудовано RSAсистему: p = 17, q = 19, n = 323, e = 7, d = 247.

Відкритий ключ: n = 323, e = 7, секретний ключ: d = 247.

1. m = 4. Кодування: 4⁷mod 323 = 234.Декодування: 234²⁴⁷mod 323 = 4.

2. m = 123. Кодування: 123⁷mod 323 = 251.Декодування: 251²⁴⁷mod 323 = 123.

Циклічна атака

За відомим шифром c (c = m^emodn) злодій, маючи відкритий ключ eта n, бажає знайти повідомлення m.Він починає будувати послідовність чисел

c, c^e, , , …

Оскільки обчислення відбуваються в групі Z_n*, то елемпнти послідовності знаходяться в межах від 0 до n - 1. Отже існує таке натуральне k, що с = . Враховуючи що c = m^emodn, маємо: m^e = або m = .

Таким чином для знаходження повідомлення m за його шифром c необхідно побудувати послідовність c, c^e, , , …, , = c, і взяти її передостаннє число.

Приклад

Розв’язати рівняння: m⁷mod 323 = 251.

e = 7, n = 323, c = 251.

З таблиці маємо:c = = 251. Оскількиm^e = , то m = = 123.

Атака методом осліплення

Припустимо, А має секретний ключ RSA системи, а Z – злодій, який перехопив шифр c і хоче декодувати його. При цьому А відмовляє видати Z вихідний текст m. Тоді Z обирає деяке значення bÎZ_n^*, обчислює c’ = b^e * c і просить А дешифрувати його. А погоджується дешифрувати c’ своїм секретним ключем d, оскільки зміст повідомлення c’ йому ні про що не говорить і виглядає невинним. Отримавши m’ = c’^dmodn, злодій Zобчислює m = m’ / b і отримує шукане m. Шифром m дійсно є c, оскільки m^e = m’^e/ b^e = c’^de / b^e = c’ / b^e = c.

Така атака можлива, оскільки А не знає повної інформації про шифр c’, який дає йому злодій Z.

Приклад. Нехай А має RSAсистему: p =17, q = 19, n = 323, e = 7, d = 247.

Злодій Z перехопив шифр c = 234 і хоче знайти таке m, що m⁷ = 234 mod 323.

1. Z обирає b = 10 ÎZ₃₂₃^*,обчислює c’ = 10⁷ * 234 mod 323 = 14 і просить А дешифрувати його.

2. A обчислює m’ = 14²⁴⁷mod 323 = 40 і передає його Z.

3. Z знаходить шукане повідомлення обчислюючи

m = 40 / 10 = 40 * 10^-1 = 40 * 97 = 4 mod 323.

Таким чином 4⁷ = 234 mod 323.

Прискорення дешифрування

За допомогою китайської теореми про лишки можна прискорити процес дешифрування, знаючи секретні прості числа pта q.

Алгоритм

Дешифрування. А має декодуючу експоненту d, а також pта q (n = p * q).А отримує від В шифр с та повинен виконати операцію c^d (modn).

1. Обчислити d_p = dmod (p - 1), d_q = dmod (q - 1)

2. Обчислити m_p = modp, m_q = modq.

3. Розв’язати систему лінійних порівнянь

Розв’язком системи буде декодоване повідомлення: m = c^d (modn).

Приклад

Нехай RSA система має вигляд:p = 17, q = 19, n = 323, e = 7, d = 247.

Для розв’язку рівняння m⁷mod 323 = 251(c = 251) обчислимо 251²⁴⁷mod 323:

1. d_p = 247mod 16 = 7, d_q = 247mod 18 = 13;

2., m_p = 251⁷ mod 17 = 4, m_q = 251¹³ mod 19 = 9;

3. Розв’яжемо систему лінійних порівнянь

Розв’язуючи її методом Гауса, отримаємо m = 123.

Отже 123⁷mod 323 = 251.

Мала декодуюча експонента

Приклад. Виберемо аовідомлення m = 13 та зашифруємо його трьома різними RSAсистемами.

1. p = 5, q = 17, n = 85, e = 3, d = 57,

m³ mod 85 = 72;

2. p = 11, q = 23, n = 253, e = 3, d = 169,

m³ mod 253 = 173;

3. p = 17, q = 23, n = 391, e = 3, d = 261,

m³mod 391 = 242;

Для знаходження повідомлення m за відкритими ключами (n_i, e_i ) та перехопленими шифрамиc_i складемо систему порівнянь

Одним із її розв’язків буде x = 2197 = 13³. Тобто шуканим повідомленням буде m = 13.

Неприховані повідомлення

Означення. Повідомлення m називається неприхованим, якщо його шифр дорівнює самому повідомленню, тобто m^e = m (modn).

Наприклад, повідомлення m = 0 та m = 1 завжди є неприхованимидля довільних значень eта m.

Твердження. Кількість неприхованих повідомлень в RSAсистемі дорівнює

(1 + НСД(e - 1, p - 1)) * (1 + НСД(e - 1,q - 1))

Оскільки значення e- 1, p- 1 та q- 1 – парні, то НСД(e- 1, p- 1) ³2, НСД(e- 1,q- 1)³2, а отже кількість неприхованих повідомлень завжди не менша за 9.