Кореляційний і регресивний методи аналізу зв язку

Реферат з вищої математики

на тему:

Кореляційний і регресивний

методи аналізу зв’язку.

Основне завдання кореляційного і регресійного методів полягає в аналізі статистичних даних для виявлення математичної залежності між досліджуваними ознаками і встановлення за допомогою коефіцієнта кореляції порівняльної оцінки щільності взаємозв’язку.

Після того, як через економічний аналіз встановлено, що зв’язок між явищами є, і визначено загальний характер цього зв’язку, статистика за допомогою кореляційного і регресійного методів надає цим зв’язкам числового виразу.

Кореляційний і регресій ний методи аналізу вирішують два основні завдання :

- визначають за допомогою рівнянь регресії аналітичного форму зв’язку між

варіацією ознак XiY,

- встановлюють ступінь щільності зв’язку між ознаками.

Найчастіше трапляються такі типи кореляційних зв’язків:

- факторна ознака безпосередньо пов’язана з результативною,

- результативна ознака визначається комплексом діючих факторів,

- дві результативні ознаки спричинені дією однієї загальної причини.

У практиці економіко-статистичних досліджень часто доводиться мати справу з прямолінійною формою зв’язку яку описує рівняння регресії ( рис.1 ) .

На цьому графіку середній арифметичній результативної ознаки Y відповідає пряма, паралельна осі абсцис, лінійне кореляційне рівняння Y(X) зображує похила пряма, а кут нахилу між ними характеризує щільність зв’язку.

Рівняння регресії характеризує зміну середнього рівня результативної ознаки Y залежно від зміни факторної ознаки X. Воно визначає математичне сподівання групових середніх результативної ознаки під впливом різних значень факторної ознаки.

У разі лінійної форми зв’яку результативна ознака змінються під впливом факторної ознаки рівномірно:

Ŷ_x = a₀ +a₁ X,

Де, Ŷ_x- згладжене середнє значення результативної ознаки , X - факторна ознака,

a₀і a₁- параметри рівняння , a₀ – значення Y при X= 0,a₁– коефіцієнт регресії.

Коефіцієнт регресіїa_1,вказує на те, наскільки змінюється результативна ознака Y внаслідок зміни факторної ознаки X на одиницю.

Якщо a₁ має позитивний знак,то зв’язок прямий, якщо від’ємний - зв’язок обернений.

Y X

Y(X)

Y

0

X

Рис. 1. Теоретична лінія регресії.

Параметри рівняння зв’язку визначають за способом найменших квадратів складеної і роз’язаної системи двох рівнянь з двома невідомими:

SY= na₀ +a₁ SX ,

SYX= a₀ SX + a₁ SX ²,

деn - число членів у кожному з двох порівнюваних рядів,

SX - сума значень факторної ознаки ,SX² - сума кадратів значень факторної ознаки ,SY - сума значень результативної ознаки, SYX - cума добутків значень факторної та результативної ознак.

Рзв’язавши дану систему рівнянь, дістанемо такі параметри:

SX ² SY - SX SXY n SXY - SXSY

a₀ = , a₁ =

nSX ^{2 -} SXSX ⁿSX ^{2 -} SXSX

Обчисливши за фактичними даними всі записані вище суми й підставивши їх у наведені формули, знайдемо параметри прямої.

Рзозглянемо розрахунок параметрів лінійного рівняння зв’язку між вартістю основних виробничих фондів і випуском продукції за даними десяти однорідних підприємств. (табл.1.)

Табл. 1

Розрахунки для визначення параметрів лінійного рівняння зв’язку факторної та результативної ознак.

За способом найменших квадратів визначемо параметри :

1236 · 47.2 – 108 · 539.1 58339.2 – 58222.8 116.4

a₀ = = = = 0.167

10 · 1236 – 108 · 108 12360 – 11664 696.0

10 · 539.1 – 108 · 47.2 5391.0 – 5097.6 293.4

a₁ = = = = 0.421

696.0 696.0 696.0

Тоді лінійне рівняння регресії зв’язку між вартістю основних виробничих фондів і випуском продукції матиме такий вигляд :

Ŷ_x = 0.167 + 0.421X.

Отже, при збільшенні вартості основних виробничих фондів на 1 млн грн. Випуск продукції зросте на 0,42 млн грн.

Послідовно підставляючи в дане рівняння значення факторної ознаки X , дістанемо згладжені значення результативної ознаки Ŷ_x, які й укажуть на те, яким має бути середній розмір випущеної продукції для даного розміру основних виробничих фондів ( за інших рівних умов ).

Згладжені ( теоретичні ) значення ( із заокругленням до десятих ) наведено в останній графі табл. 1.Якщо параметри рівняння визначено правильно,то

SY= SŶ_х = 47,2.

Побудуємо графік, який покаже згладжування емпіричних даних рівняння прямої ( рис.1.).

Y

Рис. 2. Емпіричний і згладжені рівні ряду : 1 - Y, 2 - Ŷ_x =0.167+ 0.421 X, 3- Y = 4.72

Для економічної інтерпретації лінійних і нелінійних зв’язків між двома досліджуваними явищами часто використовують розраховані за рівняннями регресії коефіцієнти еластичності.

Коефіцієнт еластичності показує,на скільки процентів зміниться в середньому результативна ознака Y при зміненні факторної ознаки X на 1 %.

Відповідно до лінійної залежності коефіцієнт еластичності визначається за формулою

XX

e = a₁ або e = a₁ ,

Ŷ_xY

де e, коефіцієнт еластичності.

Підставивши в формулу різні значення X, дістанемо різні e.

У наведеному прикладі коефіцієнт еластичності на першому підприємстві при X= 12:

X 12

e₁ = a₁ = 0.421· = 0.97. Отже, 1% приросту вартості основних виробничих

Ŷ_X5.2

9

фондів випуск продукції зростає на 0,97%.На п’ятому підприємстві при X=9: e₅ =0.421· = 0.95,

4

На десятому при X = 10: e₁₀ =0.96%.

Для всіх підприємств разом коефіцієнт еластичності

X 10.8

e= a₁ = 0.421 · = 0.963 % .

Y 4.72

Це означає, що при збільшенні середньої вартості основних виробничих фондів на 1 % випуск продукції зростає в середньому на 0,963 %.

Якщо залежність між ознаками представити за даними,згладженими параболою другого порядку, то коефіцієнт еластичності має такий вигляд:

X

e= (a₁ + a₂ X ) .

Y

Визначення щільності зв’язку в кореляційно-регресійному аналізі ґрунтується на правилі додавання дисперсій,як і в методі аналітичного групування. Але на відміну від нього, де для оцінки лінії регресії застосовують групові середні результативної ознаки, в кореляційно-регресійному аналізі для цієї мети використовують теоретичні значення результативної ознаки.

Зобразити і обґрунтувати кореляційно-регресійний аналіз можна на прикладі графіка на рис.1. На ньому є три лінії Y – ламана лінія фактичних даних(1),Ŷ_X - пряма похила лінія 2 теоретичних значень Y при абстрагуванні від впливу всіх факторів, крім фактора X(змінна середня) ,Y – пряма горизонтальна лінія 3, із середнього значення якої виключено вплив на Y всіх без винятку факторів ( стала середня ).

Розбіг лінії змінної середньої Ŷ_х з лінією сталої середньої Y пояснюється впливом факторної ознаки Х, що,в свою чергу , свідчить про існування між ознаками Y і X наповного не функціонального зв’язку.Для визначення щільності цього зв’язку потрібно обчислити дисперсію відхилень Y і Ŷ_х , тобто залишкову дисперсію,яка зумовлена впливом усіх факторів, крім Х. Різниця між загальною і залишковою дисперсіями дає теоретичну

( факторну ) дисперсію, яка вимірює варіацію,зумовлену фактором Х . На зіставленні цієї різниці із загальною дисперсією побудовано індекс кореляції, або теоретичне кореляційне відношення:

s² _заг - s² _е s² _еs² _у

R = Ö = Ö1 - , або R = Ö

s² _заг s_загs² _заг

де s² _заг - загальна дисперсія,s² _е - залишкова дисперсія,s² _у - факторна ( теоретична ) дисперсія.

Факторну дисперсію обчислюють з теоретичних значень за формулою :

S ( Ŷ_x-Y) ²

s²_Ŷ =

n

або за формулою без теоретичних значень:

( a ₀ S Y + a ₁ SXY ) – (Y) ²

s²_Ŷ =.

n

S( Y – Ŷ_x )

Залишку дисперсію визначають або за формулою s² _е =

n

або за правилом додавання дисперсій s² _е =s² _заг - s² _Ŷ .

У наведеному прикладі ( за даними розрахунків у табл..1 ) факторна дисперсія

( 0.167 · 47.2 + 0.421 · 539.1 ) - 4.72 ²

s² _Ŷ = = 1.206.

10

Загальну дисперсію обчислимо за формулою

s² _{заг =} Y² - ( Y )² = 23.974 – 22.278 = 1.696.

Залишкову дисперсію визначаємо як різницю між загальною і факторною дисперсіями :

s² _е = s² _{заг -} s²_Ŷ= 1.696 –1.206 = 0.409

Отже, знаходимо індекс кореляції за наведеними вище формулами :

s² _заг - s² _е 1.696 - 0.490

R = Ö = Ö= 0.843.

s² _заг 1.696

або s² _е0.490

R = Ö 1- = Ö1 - = 0.843

s² _заг 1.696

s² _Ŷ 1.206

або R= Ö = Ö=Ö0.711= 0.843

s² _заг 1.696

Індекс кореляції вказує на щільну залежність випуску продукції від вартості основних виробничих фондів.

Коефіцієнт детермінації ( R² ) характеризує ту частину варіації результативної ознаки Y, яка відповідає лінійному рівнянню регресії :

s²_Ŷ 1.206

R² = = = 0.711

s² _заг 1.696

Отже, в обстеженій сукупності заводів 71.1% варіації випуску продукції пояснюється різними рівнями оснащеності заводів основними виробничими фондами.

Індекс кореляції набирає значень від 0 до 1. Коли R=0, то зв’язку між варіацією ознак YiX немає.Залишкова дисперсія дорівнює загальній, s² _е = s² _заг , а теоретична дисперсія дорівнює нулю, s² _заг= 0, Всі теоретичні значення Y_Xзбігаються із середніми значеннями Y, лінія Ŷ_Xна графіку збігається з лінією Y, тобто набуває горизонтального положення .

При R=1 теоретична дисперсія дорівнює загальний,s² _Ŷ= s² _заг , а залишкова s² _е = 0.

Фактичні значення Y збігаеться з теоретичними Ŷ_{X ,} зв’язок між досліджуваними ознаками лінійно-функціональний.

Індекс кореляції оцінює щільність зв’язку.Він, як і емпіричне кореляційне відношення,вимірує лише щільність зв’язку і не вказує на її напрямок.

Аби доповнити дослідження визначенням напрямку зв’язку в разі лінійної залежності використовують лінійний коефіцієнт кореляції.

XY – X Y

r = .

s_x s_у

_{Значення rколивається в межах від – 1 до +1. Додатне значення відповідає прямову зв’язку між ознаками, а від’ємне – зворотному. Оцінюють щільність зв’язку за схемою ( табл. 1 )}

_{Таблиця 2}

Всі дані для обчислення лінійного коефіцієнта кореляції в наведеному прикладі є в табл.1.

s_{x= Ö}Х² - (Х)² = Ö123.6 – 10.8² = Ö6.96 = 2.638

s_{y= Ö}Y² - (Y)² = Ö23.974 – 4.72² = 1.302

XY – XY 53.91 – 10.8 · 4.72 2.9340

r = = = = 0.854

s_xs_{у 2.638} · _{1.302 3.4349}

Скористкємося для знаходження лінійного коефіцієнта кореляції іншою формулою:

s_x2.638

r = а₁= 0.421 · = 0.853,

s_у 1.302

тобто відповідь вийшла ідентичною.Це означає,що зв’язок між вартістю основних виробничих фондів і випуском продукції сильний ( щільний ) і прямий.

Абсолютне значення лінійного коефіцієнта кореляції збугається з індексом кореляції ( відхилення становить 0.01 ).

Знаведених формул коефіцієнта кореляції можна визначити коефіцієнт регресії, не розраховуючи рівняння зв’язку:

XY – X Y 2.934

a₁ = = = 0.421

s²_x 6.960

або s_y1.302

а₁ = r= 0.853 · = 0.421.

s_x2.638

Перевірку сили зв’язку в кореляційно-регресійному аналізі здійснюють за допомогою тих самих критеріїв і процедур,що й у аналітичному групуванні.Ступені вільності залежать від числа параметрів рівняння регресії k₁ = m –1 і кількості одиниць дослуджіваної сукупності

k₂ = n – m.

Істотність зв’язку коефіцієнта детермінації R² перевіряють за допомогою таблиці критерію Fдля 5 % - го рівня значущості. Так, при k₁ = m –1= 2 – 1 = 1 ( для лінійної моделі) і k₂ = n – m = 10 – 2 = 8.

Фактичне значення F-критерію у наведеному вище прикладі визначають за формулою

R² k₂ 0.711 8

F _ф = = · = 19.68.

1 - R² k₁1 – 0.711 1

Критичне значення F_т ( 0.95 ) = 5.32 набагато менше від фактичного F_т ( 0.95 ) ÐF_ф ( 5.32 Ð19.68) , що підтверджує істотність кореляційного зв’язку між досліджуваними ознаками.

Для встановлення достовірності обчисленого нами лінійного коефіцієнта кореляції використовують критерій Стьюдента ( t– критерій ):

r

t_r = ,

m_r

де m_r- середня похибка коефіцієнта кореляції,яку визначають за формулою :

1 – r²

m_r=

Ö n – 1

При достатньо великому числі спостережень ( n > 50) коефіцієнт кореляції можна вважати достовірним, якщо він перевищує свою похибку в три і більше разів, а якщо він менший ніж три, то зв’язок між досліджуваними ознаками XiY не доведено.

У наведеному прикладі середня похибка коефіцієнта кореляції

1 – r²1 – 0.853 ² 1 – 0.723 0.277

m_r = = = = = 0.092

Ö n – 1Ö 9 3 3

Відношення коефіцієнта кореляції до його середньої похибки

0.853

t_r = = 9.27

0.092

Це дає підставу вважати, що обчислений лінійний коефіцієнт кореляції достатньо точно характеризує щільність зв’язку між досліджуваними ознаками.