Властивості степеневих рядів Неперервність суми Інтегрування і диференціювання степеневих ряді

Пошукова робота на тему:

Властивості степеневих рядів. Неперервність суми. Інтегрування і диференціювання степеневих рядів.

План

• Властивості степеневих рядів
• Неперервність суми
• Інтегрування степеневих рядів
• Диференціювання степеневих рядів

1. Властивості степеневих рядів

Теорема 1 (неперервність суми степеневого ряду). Сума степеневого ряду (13.39) є неперервною всередині проміжку збіжності.

Д о в е д е н н я. Візьмемо деяке додатне Тоді числовий ряд з додатними членами

(13.49)

збігається. Але при члени ряду (13.39) за абсолютною величиною не більші відповідних членів ряду (13.49). Тому, за ознакою Вейєрштрасса, ряд (13.39) рівномірно збігається на відрізку і його сума буде неперервною на цьому відрізку.

Наслідок. Якщо границі інтегрування , лежать всередині інтервалу збіжності степеневого ряду , то за теоремою 3 (п.13.9.3) його можна почленно інтегрувати на проміжку , оскільки він буде рівномірно збігатися на , що містить проміжок ().

Теорема 2 (диференціювання степеневих рядів). Якщо степеневий ряд (13.39)

має інтервал збіжності , то ряд

(13.50)

одержаний почленним диференціюванням ряду (13.39), має той же інтервал збіжності ; при цьому сума ряду (13.50) де сума ряду (13.39).

Д о в е д е н н я. Доведемо, що ряд (13.50) рівномірно збігається на відрізку який повністю лежить всередині інтервалу збіжності.

Для цього візьмемо деяку точку таку, що В цій точці ряд (13.39) збігається, значить а тому можна вказати таке постійне число що . Якщо то

де

Таким чином, члени ряду (13.50) при за абсолютною величиною менші за члени числового ряду з додатними членами:

За ознакою Даламбера цей ряд збігається:

Отже, ряд (13.50) рівномірно збігається на відрізку і за теоремою 4 (п.13.9.3) його сума є похідна від суми даного ряду на відрізку , тобто

Оскільки довільну внутрішню точку інтервалу можна помістити в деякий відрізок то звідси випливає, що ряд (13.50) збігається в довільній внутрішній точці інтервалу

Доведемо тепер, що ряд (13.50) розбігається поза інтервалом Припустимо, що ряд (13.50) збігається при деякому Інтегруючи його почленно в інтервалі де ми одержали б, що ряд (13.39) збігається в точці а це протирічить умовам теореми. Таким чином, інтервал є інтервал збіжності ряду (13.50). Теорема повністю доведена.

Ряд (13.50) знову можна почленно диференціювати і продовжити так як завгодно багато разів. Отже, одержимо висновок:

Наслідок. Якщо степеневий ряд збігається в інтервалі то його сума представляє собою функцію, що має всередині інтервалу збіжності похідні довільного порядку, кожна з яких є сумою ряду, одержаного в результаті почленного диференціювання даного ряду відповідне число разів; при цьому інтервал збіжності кожного ряду, одержаного в результаті диференціювання, є той же інтервал

Приклад 1. Знайти інтервали збіжності степеневих рядів.

а) ; б) .

Р о з в ‘ я з о к. а) Знайдемо радіус збіжності степеневого ряду за формулою (13.44)

.

Дослідимо збіжність ряду на кінцях інтервалу, тобто при

При : розбігається, тому що

При : розбігається (не виконується

необхідна умова збіжності). Отже, ряд збігається при

б) За формулою (13.45) знаходимо радіус збіжності

При : .

Оскільки

, то

знакочергуючий ряд розбігається.

При : розбігається (не виконується

необхідна ознака збіжності. Інтервал збіжності даного ряду

Приклад 2. Знайти суму ряду

Р о з в ‘ я з о к. Позначимо суму цього степеневого ряду через Радіус збіжності даного ряду а інтервал збіжності Продиференціюємо почленно його два рази (наслідок теореми 2) :

Останній ряд рівномірно збігається всередині проміжку і представляє собою суму нескінченно спадної геометричної прогресії із знаменником а тому сума

Зауважимо, що

Розв’язуючи дане диференціальне рівняння із заданими початковими умовами, одержимо:

Оскільки то і сума заданого ряду