Модальні групи

Реферат на тему:

Модальні групи

(структурні властивості)

Різноманітні дослідження багатьох математиків [3-4] присвячені вивченню зв’язків між будовою групи G і будовою решітки її підгруп LG. Встановлено, що будова цієї решітки суттєво впливає на будову самої групи G. Привертають особливу увагу групи G для яких решітка підгруп LG належить фіксованому многовиду решіток a. Клас всіх таких груп позначимо t(a). Зрозуміло, що клас t(a) замкнений відносно підгруп і гомоморфних образів. В подальшому клас груп t(a) називається групоїдом. Так як перетин довільного сімейства групоїдів є групоїдом, то сукупність Г всіх групоїдів відносно включення утворює повну решітку.

Відображення y: a ® t(a) є гомоморфізмом решітки всіх многовидів решіток L на решітку групоїдів Г. Як доведено в [1], гомоморфізм y не є ізоморфізмом.

Фундаментальні результати для класа модулярних груп t(М), класа дистрибутивних груп t(D) та ін. викладено в монографії [5].

Многовид модальних решіток U_n введений Йонсоном [6]. Згідно з означенням, група G Î t(U_n) тоді і тільки тоді, коли решітка її підгруп задовольняє включення:

T(A_i + A_j) Ì ,

де і, j = 1,…, n; причому і ¹ j. Якщо l < m, то очевидно t(U_l) Ì t(U_m). Зрозуміло також, що t(U₂) = t(D).

Опис класів t(U₃) і t(U₄) дано в роботах [1–2]. В даній роботі дається характеристика абелевих груп і неабелевих спеціальних груп групоїда t(U₅).

1. Опис групоїда t(U₃).

Група G є модальною тоді і тільки тоді, коли вона має таку будову:

G – локально циклічна група;

G Î {Q, B}, де Q – група кватерніонів, а В – нециклічна група 4-ого порядку;

G = A ´ B*, де А Î {Q, B} і В* – локально циклічна група, кожний елемент якої має непарний порядок.

Із цього результату, зокрема, випливає включення t(U₃) Ì t(M), тоді як многовиди решіток U₃ і М неможливо порівняти. Кожна 3-модальна група задовольняє тотожність [x, y²] = 1.

2. Опис групоїда t(U₄).

Істотним в описі 4-модальних груп є наступний крітерій, який має місце для довільного параметра n.

Група G – модальна тоді і тільки тоді, коли для довільного елемента t Î і t Ï , порядки k₁,…, k_n елемента t, відносно підгруп А_і,…, A_n, взаємно прості в сукупності, причому хоча б два з них відмінні від нуля.

Абелева група G є модальною (4-модальною) тоді і тільки тоді, коли вона належить до одного з наступних типів:

G – локально циклічна група;

G Î {В, С}, де В – нециклічна група 4-ого порядку або прямий добуток циклічної групи 4-го порядку на групу 2-го порядку, а С – нециклічна група 9-го порядку;

G = В ´ С ´ K, де K – локально циклічна періодична група, причому (B, K) = (C, K) = 1.

Всяка 4-модальна група G задовольняє тотожність [x², y²] = 1.

Опис 4-модальних неабелевих груп, які задовольняють тотожність [x, y²] = 1, дається наступним твердженням.

Для неабелевої періодичної групи G наступні умови рівносильні:

G – модальна і задовольняє тотожність [x, y²] = 1;

G = Q ´ C ´ K, де K – локально циклічнагрупа, (Q, K) = (C, K) = 1 і C або K можуть бути і одиничними групами.

Групу S₃(m) виду:

<k, b | k³ = 1, kb = bk ^–1, >,

будемо називати узагальненою симетричною групою. Маємо наступний опис неабелевих модальних груп, параметру n = 4. Групи із класу t(U₄) мають наступну будову:

G = Q ´ C ´ B, де B – локально циклічна періодична група, (C, B) = (Q, B) = 1 і C або B можуть бути і одиничними групами;

G = A ´ S, де А – абелева періодична модальна група, а S – узагальнена симетрична група, причому (A, S) = 1.

3. Будова деяких груп із класу t(U₅).

Довільна група G, із вказаного класу, задовольняє тотожність [x⁶, y⁶] = 1. Крім того, для довільних елементів x, y Î G Î t(U₅) має місце рівність х×у⁶×х ^–1 = у^6l, де число l залежить від елементів х і у. Для абелевих модальних груп справедлива наступна теорема.

Теорема 1. Абелева група G є модальною тоді і тільки тоді, коли

G – локально циклічна група;

G Î {C, D}, де С – нециклічна група 9-го порядку, D Î {B₂ ´ B₂, B₄ ´ B₂, B₈ ´ B₂, B₄ ´ B₄, E(2, 8)} і B_l – циклічна група l-го порядку;

G = C ´ D ´ T, де Т – локально циклічна періодична група, причому (С, Т) = (D, T) = 1.

Якщо в періодичній модальній групі G = <a, b> елемент c = [a, b] ¹ 1 міститься в центрі групи G, то G містить: або групу кватерніонів Q, або групу діедра D₈, або групу Т₃, де Т₃ має вигляд:

<u, v | u⁸ = 1, v² = 1, uv = vu⁵>.

Опис спеціальних модальних груп дається наступною теоремою.

Теорема 2. Для неабелевої періодичної групи G наступні умови рівносильні:

G – модальна і задовольняє тотожність [x, y²] = 1;

G = A ´ B, де А – абелева, модальна і періодична, а В Î {Q, Q*, D₈, T₃}, причому (А, В) = 1.

Тут Q* = Q ´ {1, u}, де u² = 1; Е(2, 8) – елементарна абелева група 8-го порядку.

Література

1. Мельник И.И. Строение модальных групп. // Деп. ВИНИТИ.–1981.–№ 3270–С.1–17.

2. Мельник И.И. Некомутативные модальные групы. // Деп. УкрНИИНТИ.–1983.–№ 9679 К–С.1–17.

3. Черников С.Н. Групы с заданными свойствами системы подгруп. М:Наука.–1980.–384с.

4. Аршинов М.Н., Садовский Л.Е. Некоторые теоретико-структурные свойства групп и полугрупп. // УМН.–1972.–Вып.6, 168, ХХІІ.–С.134–180.

5. Судзуки М. Строение группы и строение структуры ее подгрупп. М:Изд.ин.лит.–1960.–158с.

6. Jonsson B. Equational classes of lattices. Math. Scand.–1968.–22.–P.187–196.

7. Ore O. Structures and group theory.1. Duke Math. J.–1937.–3.–P.149–173.

8. Jwasawa K. Uber die end lichen Gruppen und die Verbande ihrer Untergruppen. J. Univ. Tokyo.–1941.–P.141–199.