Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л.А. - 2. Дифференцирование. Зад.18

Задача 18. Найти производную указанного порядка.

18.1.

y'= 4xln(x-1)+(2x²-7)/(x-1)

y''= 4ln(x-1)+ 4x/(x-1) + 4x(x-1)-2x²+7 = 4ln(x-1) + 6x²-8x+7

(x-1)² (x-1)²

y'''= 4/(x-1) + (12x-8)(x-1)²-2(x-1)( 6x²-8x+7) = 4x²-12x-2

(x-1)⁴ (x-1)³

y''''= (8x-12)(x-1)³-3(x-1)²(4x²-12x-2) = -4x²+16x+18

(x-1)⁶ (x-1)⁴

y'''''= (-8x+16)(x-1)⁴-4(x-1)³(-4x²+16x+18) = 8x²-40x-88

(x-1)⁸ (x-1)⁵

18.2.

y'= -2xln²x + 2lnx(3-x²)

x

y''= -2ln²x-4xlnx+-4x²lnx+2(3-x²)-2(3-x²)lnx =

x x²

= -2ln²x–4lnx - 2x²lnx+6lnx+2x²-6

x²

y'''= -4lnx – 4/x – (4xlnx+2x+6/x+4x)x²-2x(2x²lnx+6lnx+2x²-6) =

x x⁴

= 12lnx-4x²lnx-6x²-18

x³

18.3.

y'= cosx²-2x²sinx²

y''= -2xsinx²-4xsinx²-4x³cosx² = -6xsinx² – 4x³cosx²

y'''= -6sinx²-12x²cosx²-12x²cosx²+8x⁴sinx² = 8x⁴sinx²-6sinx²-24x²cosx²

18.4.

y'= √(x-1)/(x-1) – ln(x-1)/2√(x-1) = 2-ln(x-1)

x-1 2(x-1)^3/2

y''= -2√(x-1)-3√(x-1)(2-ln(x-1)) = 3√(x-1)ln(x-1)-8√(x-1)

4(x-1)³ 4(x-1)³

y'''=((3ln(x-1))/(2√(x-1))+3√(x-1)/(x-1)-8/2√(x-1))(x-1)³-3(x-1)²(3√(x-1)ln(x-1)-8√(x-1)) =

4(x-1)⁶

= 46√(x-1)-15√(x-1)ln(x-1)

8(x-1)⁴

18.5.

y'= x²/lnx-3x²log₂x = 1-3ln2log₂x

x⁶ ln2 x⁴ ln2

y''= -3x³-4x³(1-3ln2log₂x) = 12ln2log₂x-7

x⁸ ln2 x⁵ ln2

y'''= 12x⁴+5x⁴(12ln2log₂x-7) = 60ln2log₂x-23

x¹⁰ ln2 x⁶ ln2

18.6.

y'= 12x²e^2x+1+2(4x³+5)e^2x+1= (8x³+12x²+10)e^2x+1

y''= (24x²+24x) e^2x+1+2(8x³+12x²+10)e^2x+1=(16x³+48x²+24x+20) e^2x+1

y'''= (48x²+96x+24)e^2x+1+2(16x³+48x²+24x+20)e^2x+1= 16(2x³+9x²+9x+4)e^2x+1

y''''= 16((6x²+18x+9)e^2x+1+2(2x³+9x²+9x+4)e^2x+1)= 16(6x³+24x²+36x+17)e^2x+1

y'''''= 16((18x²+48x+36)e^2x+1+2(6x³+24x²+36x+17)e^2x+1)= 16(12x³+72x²+120x+70)e^2x+1

18.7.

y'= 2xsin(5x-3)+5x²cos(5x-3)

y''= 2sin(5x-3)+10xcos(5x-3)+10xcos(5x-3)-25x²sin(5x-3) = 2sin(5x-3)+20xcos(5x-3)-

-25x²sin(5x-3)

y'''= 10cos(5x-3)+20cos(5x-3)-100xsin(5x-3)-50xsin(5x-3)-125x²sin(5x-3)= 30cos(5x-3)-

-150xsin(5x-3)-125x²sin(5x-3)

18.8.

y'= x-2xlnx = 1-2lnx

x⁴ x³

y''= -2x²-3x²(1-2lnx) = -5+6lnx

x⁶ x⁴

y'''= 6x³-4x³(6lnx-5) = 26-24lnx

x⁸ x⁵

y''''= -24x⁴-5x⁴(26-24lnx) = 120lnx-154

x¹⁰ x⁶

18.9.

y'= 2ln²x+2lnx(2x+3)

x

y''= 4lnx/x+ 2(2x+3)+4xlnx-4xlnx-6lnx = 4xlnx+4x+6-6lnx

x² x²

y'''= (4lnx+8-6/x)x²-2x(4xlnx+4x+6-6lnx) = 12lnx-4xlnx-18

x⁴ x³

18.10.

y'= 2xarctgx+1

y''= 2arctgx+2x/(1+x²)

y'''= 2/(1+x²)+ 2(1+x²)-4x² = 4/(1+x²)²

(1+x²)²

18.11.

y'= x²-3x²lnx = 1-3lnx

x⁶ x⁴

y''= -3x³-4x³(1-3lnx) = -7+12lnx

x⁸ x⁵

y'''= 12x⁴-5x⁴(12lnx-7) = -23-60lnx

x¹⁰ x⁶

y''''= -60x⁵+6x⁵(60lnx+23) = 360lnx+78

x¹² x⁷

18.12.

y'= 4*2^-x-(4x+3)2^-xlnx

y''= -4ln2*2^-x-4ln2*2^-x+(4x+1)ln²2*2^-x= 2^-xln2(4xln2+ln2-8)

y'''= -2^-xln²2(4xln2+ln2-8)+4*2^-xln²2= 2^-xln²2(12-4xln2-ln2)

y''''= -2^-xln³2(12-4xln2-ln2)-4*2^-xln³2= 2^-xln³2(4xln2+ln2-16)

y'''= -2^-xln⁴2(4xln2+ln2-16)+4*2^-xln⁴2= 2^-xln⁴2(ln2-4xln2-12)

18.13.

y'= -2e^1-2xsin(2+3x)+3e^1-2xcos(2+3x)= e^1-2x(3cos(2+3x)-2sin(2+3x))

y''= -2e^1-2x(3cos(2+3x)-2sin(2+3x))+e^1-2x(-9sin(2+3x)-6cos(2+3x))= e^1-2x(-12cos(2+3x)-5sin(2+3x))

y'''= -2e^1-2x(-12cos(2+3x)-5sin(2+3x))-e^1-2x(-36sin(2+3x)+15cos(2+3x))= e^1-2x(46cos(2+3x)+9sin(2+3x))

y''''= -2e^1-2x(46cos(2+3x)+9sin(2+3x))+e^1-2x(-27sin(2+3x)+138cos(2+3x))= e^1-2x(120cos(2+3x)-119sin(2+3x))

18.14.

y'= 1-ln(3+x)

(3+x)²

y''= -(3+x)-2(3+x)(1-ln(3+x)) = -3+2ln(3+x)

(3+x)⁴ (3+x)³

y'''= 2(3+x)²-3(3+x)²(2ln(3+x)-3) = 11-6ln(3+x)

(3+x)⁶ (3+x)⁴

18.15.

y'= 6x2cosx-2x³sinx-sinx

y''= 12xcosx-12x²sinx-2x³cosx-cosx

y'''= 12cosx-36xsinx-18x²cosx+2x³sinx+sinx

y''''= 2x³cosx+18x²sinx+6xsinx+cosx-48sinx-72xcosx

y'''''= 24x²cosx-2x³sinx+108xsinx+6xcosx+5sinx-120cosx

18.16.

y'= 2xln(x-3)+x²+3

x-3

y''= 2ln(x-3) + 2x/(x-3) + 2x²-6x-x²-3 = 2ln(x-3) + 3x²-12x-3

(x-3)² (x-3)²

y'''= 2/(x-3) + (6x-12)(x-3)-2(x-3)( 3x²-12x-3) = -4x²+18x+12

(x-3)⁴ (x-3)³

y''''= (-8x+18)(x-3)³-2(x-3)²(-4x²+18x+12) = 6x-78

(x-3)⁶ (x-3)⁴

18.17.

y'= 1/2*e^(x-1)/2(1-x-x²)+ e^(x-1)/2(-1-2x)= 1/2* e^(x-1)/2(-1-5x-x²)

y''= 1/4*e^(x-1)/2(-1-5x-x²)+ 1/2*e^(x-1)/2(-5-2x)= 1/4* e^(x-1)/2(-11-9x-x²)

y'''= 1/8*e^(x-1)/2(-11-9x-x²)+ 1/4*e^(x-1)/2(-9-2x)= 1/8* e^(x-1)/2(-29-13x-x²)

y''''= 1/16*e^(x-1)/2(-29-13x-x²)+ 1/8*e^(x-1)/2(-13-2x)= 1/16* e^(x-1)/2(-55-17x-x²)

18.18.

y'= 2xcos2x+sin2x

x²

y''= (2cos2x-4xsin2x+cos2x)x²-2x(2xcos2x+sin2x) = -xcos2x-4x²sin2x-2sin2x

x⁴ x³

y'''= (-cos2x+2xsin2x-8xsin2x-8x²cos2x-4cos2x)x³-3x²(-xcos2x-4x²sin2x-2sin2x) =

x⁶

= 6x²sin2x-8x²cos2x-2xcos2x+6sin2x

x⁴

18.19.

y'= ln(x+4) +(x+7)/(x+4)

y''= x+4+x+4-x-7 = x+1

(x+4)² (x+4)²

y'''= (x+4)²-2(x+1)(x+4) = 2-x

(x+4)⁴ (x+4)³

y''''= -(x+4)³-3(x+4)²(2-x) = 2x-10

(x+4)⁶ (x+4)⁴

y'''''= 2(x+4)⁴-4(x+4)³(2x-10) = 48-6x

(x+4)⁸ (x+4)⁵

18.20.

y'= 3*3^-x-(3x-7)3^-xln3= 3^-x(3-3xln3+7ln3)

y''= -3^-xln3(3-3xln3+7ln3)+3*3^-xln3= 3^-x ln²3(7-3x)

y'''= -3^-xln³3(7-3x)-3*3^-xln²3= 3^-x ln²3(3xln3-7ln3-3)

y'''= -3^-xln³3(3xln3-7ln3-3)+3*3^-xln³3= 3^-x ln³3(3xln3-7ln3+6)

18.21.

y'= 1-2ln(2x+5)

(2x+5)²

y''= -2(2x+5)-2(2x+5)( 1-2ln(2x+5)) = -4+4ln(2x+5)

(2x+5)⁴ (2x+5)³

y'''= 4(2x+5)²-3(2x+5)²(4ln(2x+5)-4) = -8-12ln(2x+5)

(2x+5)⁶ (2x+5)⁴

18.22.

y'= 1/2*e^x/2sin2x+2e^x/2cos2x= e^x/2/2*(sin2x+4cos2x)

y''= e^x/2/4*(sin2x+4cos2x)+ e^x/2/2(2cos2x-8sin2x)= e^x/2/4*(-15sin2x+8cos2x)

y'''= e^x/2/8*(-15sin2x+8cos2x)+ e^x/2/4(-16cos2x-30sin2x)= e^x/2/8*(-45sin2x-24cos2x)

y''''= e^x/2/16*(-45sin2x-24cos2x)+ e^x/2/8(-90cos2x+48sin2x)= e^x/2/16*(51sin2x-204cos2x)

18.23.

y'= x⁴-5x⁴lnx = 1-5lnx

x⁵ x

y''= -5-1+5lnx = 5lnx-6

x² x²

y'''= 5x-2x(5lnx-6) = 17-10lnx

x⁴ x³

18.24.

y'= ln(1-3x)-3x/(1-3x)

y''= 1/(1-3x) – 3(1-3x)+9x = -3x-2

(1-3x)² (1-3x)²

y'''= -3(1-3x)²+2(1-3x)(3x+2) = 15x+1

(1-3x)⁴ (1-3x)³

y''''= 15(1-3x)³-3(1-3x)²(15x+1) = 12-90x

(1-3x)⁶ (1-3x)⁴

18.25.

y'= 3e^3x+2(x²+3x+1)+e^3x+2(2x+3)= e^3x+2(3x²+11x+6)

y''= 3e^3x+2(3x²+11x+6)+e^3x+2(6x+11)= e^3x+2(9x²+39x+29)

y'''= 3e^3x+2(9x²+39x+29)+e^3x+2(18x+39)= e^3x+2(27x²+135x+126)

y''''= 3e^3x+2(27x²+135x+126)+e^3x+2(54x+135)= e^3x+2(81x²+459x+513)

y'''''= 3e^3x+2(81x²+459x+513)+e^3x+2(162x+459)= e^3x+2(243x²+1539x+1998)

18.26.

y'= -2^-xln2(5x-8)+5*2^-x= 2^-x(5-5xln2+8ln2)

y''= -2^-xln2(5-5xln2+8ln2)-5*2^-xln2= 2^-xln2(8ln2-10-5xln2)

y'''= -2^-xln2(5-5xln2+8ln2)-5*2^-xln²2= 2^-xln2(-13ln2+10+5xln2)

y''''= -2^-xln²2(-13ln2+10+5xln2)+5*2^-x ln²2= 2^-x ln²2(13ln2-5-5xln2)

18.27.

y'= 1-ln(x-2)

(x-2)²

y''= -(x-2)²-2(x-2)(1-ln(x-2)) = -x+2ln(x-2)

(x-2)⁴ (x-2)³

y'''= 2(x-2)²-(x-2)³-3(x-2)²(-x+2ln(x-2)) = 2x+4-6ln(x-2)

(x-2)⁶ (x-2)⁴

y''''= 2(x-2)⁴-6(x-2)³-4(x-2)³(2x+4-6ln(x-2)) = 24ln(x-2)-6x+14

(x-2)⁸ (x-2)⁵

y'''''= 24(x-2)⁴-6(x-2)⁵-5(x-2)⁴(24ln(x-2)-6x+14) = 24x-34-120ln(x-2)

(x-2)¹⁰ (x-2)⁶

18.28.

y'= -e^-x(cos2x-3sin2x)+e^-x(-2sin2x-6cos2x)= e^-x(sin2x-7cos2x)

y''= -e^-x(sin2x-7cos2x)+e^-x(14sin2x+2cos2x)= e^-x(13sin2x+9cos2x)

y'''= -e^-x(13sin2x+9cos2x)+e^-x(-18sin2x+26cos2x)= e^-x(-31sin2x+15cos2x)

y''''= -e^-x(-31sin2x+15cos2x)+e^-x(-30sin2x-62cos2x)= e^-x(sin2x-77cos2x)

18.29.

y'= 5ln²x+2lnx(5x-1)

x

y''= 10lnx/x+2(5x-1)+2xlnx(5x-1) = 10x²lnx+8xlnx+10x-2

x² x²

y'''= 20x³lnx+10x³+8x²lnx+8x²+10x² = 20xlnx+10x+8lnx+18

x⁴ x²

18.30.

y'= 1-2ln3log₃x

x³ln3

y'' = -2x²-3x²(1-2ln3log₃x) = -5-6ln3log₃x

x⁶ln3 x⁴ln3

y''' = -6x³+4x³(5+6ln3log₃x) = 14+24ln3log₃x

x⁸ln3 x⁵ln3

y'''' = 24x⁴-5x⁴(14+24ln3log₃x) = -46-120ln3log₃x

x¹⁰ln3 x⁶ln3

18.31.

y'= 3x²e^4x+3+4e^4x+3(x³+3)= e^4x+3(4x³+3x²+12)

y''= 4e^4x+3(4x³+3x²+12)+e^4x+3(12x²+6x)= e^4x+3(16x³+24x²+6x+12)

y'''= 4e^4x+3(16x³+24x²+6x+12)+e^4x+3(48x²+48x+6)= e^4x+3(64x³+144x²+72x+54)

y''''= 4e^4x+3(64x³+144x²+72x+54)+e^4x+3(192x²+288x+72)= e^4x+3(256x³+768x²+576x+288)