Элементы биомеханики

Элементы биомеханики

План

1. Деформация и её виды

2. Основные характеристики деформации. Закон Гука для упругой деформации

3. Реологическое моделирование биотканей

4. Механические свойства биотканей

4.1Механические свойства костной ткани

4.2 Механические свойства ткани кровеносных сосудов

1. Деформация и её виды

деформация биоткань механический костный сосуд

Деформацией называется изменение взаимного расположения точек тела, которое сопровождается изменением его форм и размеров, обусловленное действием внешних сил на тело.

Виды деформации:

1. Упругая – полностью исчезает после прекращения действия внешних сил.

2. Пластическая (остаточная) – остается после прекращения действия внешних сил.

3. Упруго-пластическая – неполное исчезновение деформации.

4. Вязко-упругая – сочетание вязкого течения и эластичности.

В свою очередь упругие деформации бывают следующих видов:

а) деформация растяжения или сжатия происходит под действием сил, действующих в направлении оси тела:

2. Основные характеристики деформации

Деформация растяжения (сжатия) возникает в теле при действии силы, направленной вдоль его оси.

где l₀ – исходный линейный размер тела.

Δl – удлинение тела

[l] - м

Деформация ε (относительное удлинение) определяется по формуле

ε – безразмерная величина.

Мерой сил, стремящихся вернуть атомы или ионы в первоначальное положение является механическое напряжение σ. При деформации растяжения напряжение σ можно определить отношением внешней силы к площади поперечного сечения тела:

Упругая деформация подчиняется закону Гука:

где Е – модуль нормальной упругости (модуль Юнга – это механическое

напряжение, которое возникает в материале при увеличении

первоначальной длины тела в два раза).

Если живые ткани мало деформируется, то в них целесообразно определять не модуль Юнга, а коэффициент жесткости. Жесткость характеризует способность физической среды сопротивляться образованию деформаций.

Представим экспериментальную кривую растяжения:

ОА – упругая деформация, подчиняющася закону Гука. Точка В – это предел упругости т.е. максимальное напряжение при котором ещё не имеет место деформация, остающаяся в теле после снятия напряжения. ВД – текучесть (напряжение, начиная с которого деформация возрастает без увеличения напряжения).

Упругость, свойственную полимерам называют эластичностью.

Всякий обрзец, подвергнутый сжатию или растяжению вдоль его оси, деформируется так же и в перпендикулярном направлении.

Абсолютное значение отношения поперечной деформации к продольной деформации образца называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона и обозначается:

(безразмерная величина)

Для несжимаемых материалов (вязкотекучие пасты; резины) μ=0,5; для большинства металлов μ≈0,3.

Величина коэффициента Пуассона при растяжении и сжатии одна и та же. Таким образом, определяя коэффициент Пуассона можно судить о сжимаемости материала.

3. Реологическое моделирование биотканей

Реология – это наука о деформациях и текучести вещества.

Упругие и вязкие свойства тел легко моделируются.

Представим некоторые реологические модели.

а) Модель упругого тела – это упругая пружина.

Напряжение, возникающее в пружине, определяется законом Гука:

Если упругие свойства материала одинаковы во всех направлениях, то он называется изотропным, если эти свойства неодинаковы – анизотропным.

б) Модель вязкой жидкости - это жидкость, находящаяся в цилиндре с поршнем, неплотно прилегающим к его стенкам или: - это поршень с отверстиями, который движется в цилиндре с жидкостью.

Для этой модели характерна прямо пропорциональная зависимость между возникающим напряжением σ и скоростью деформации

где η – коэффициент динамической вязкости.

в) Реологическая модель Максвелла представляет собой последовательно соединенные упругий и вязкий элементы.

Работа отдельных элементов зависит от скорости нагрузки общего элемента.

Для упругой деформации выполняется закон Гука:

Откуда

Скорость упругой деформации будет:

(1)

Для вязкой деформации:

тогда скорость вязкой деформации будет:

(2)

Общая скорость вязко-упругой деформации равна сумме скоростей упругой и вязкой деформаций.

(3)

Это есть дифференциальное уравнение модели Максвелла.

Вывод уравнения ползучести биоткани. Если к модели приложить силу, то пружина мгновенно удлиняется, а поршень движется с постоянной скоростью. Таким образом, на данный модели реализуется явление ползучести. Если F=const, то возникающее напряжение σ=const, т.е. тогда из уравнения (3) получим:

, отсюда

- уравнение ползучести биоткани.

Представим график ползучести:

Вывод уравнения релаксации напряжения в биотканях.

Если модель Максвелла растянуть и закрепить, то пружина начнет сокращаться. Со временем будет происходить релаксация, т.е. уменьшение напряжения. Если ε=const, то тогда уравнение (3) примет вид:

Решаем дифференциальное уравнение:

где σ₀– начальное напряжение.

Потенцируем:

Откуда

- уравнение релаксации напряжения

Представим график релаксации напряжения.

г) Модель Фойгта представляет собой параллельно соединенные упругий и вязкий элементы. Эта модель характерна для полимеров.

4. Механические свойства биотканей

Под механическими свойствами биотканей понимают две разновидности:

Первая (активная) связана с процессами биологической подвижности: сокращение мышц, рост клеток, движение хромосом в клетках, их деления и т.д. Эти процессы обусловлены химическими процессами и энергетически обеспечиваются АТФ. Другая разновидность - пассивные механические свойства биосистем обусловленные внешними воздействиями.

Биологическая ткань – композиционный материал, образованный объемным сочетанием химически разнородных элементов и обладающий реологическими свойствами, отличающимися от свойств отдельных компонентов биоткани. Основу биотканей составляют коллаген, эластин и связующее вещество.

Механические воздействие на биоткани вызывают в них деформации и напряжения, появляется механическое движение, распространяются волны. Физиологическая реакция на эти факторы зависит от механических свойств биотканей. Знать, как меняются эти реакции и свойства тканей очень важно для профилактики, защиты организма, для применения искусственных тканей и органов, а также для понимания их физиологии и патологии.

В биомеханике все ткани человека подразделяются по плотности и типу пространственной структуры на твердые (кость, эмаль и дентин зубов), мягкие (мышцы, эпителий, эндотелий, соединительная ткань, паренхима), жидкие (кровь, лимфа, ликвор, слюна, сперма).

4.1 Механические свойства костной ткани

Костная ткань – основной материал опорно-двигательной системы. Прочность костной ткани зависит от химического состава, общей структуры, системы внутреннего армирования, количества и прочности компонентов, ориентации основных компонентов по отношению к продольной оси кости, возраста, плотности, индивидуальных условий роста и.т.д.

Компактная костная ткань представляет собой среду с пятью структурными уровнями.

Строение компактной костной ткани по Кнетсу.

Плотность костной ткани »2,4 г/см³. Минеральные компоненты кости составляют »70 % массы кости, а белковые »20 %.

С увеличением возраста в костной ткани протекает ряд изменений. Изменяется химический состав и внутренняя структура, возникает множество вторичных остеонов, образующих новую внутреннюю конструктивную систему. При старении биологическая активность уменьшается, меняется степень минерализации, а также порядок расположения минеральных кристаллов и остенов, уменьшается количество связующего вещества, некоторая чать ткани исчезает и появляются поры.

Обновление костной ткани происходит дискретно – в определенных местах, на ограниченных участках. В течение жизни человека один и тот же участок кости обновляется неоднократно. К 35 годам процесс костеобразования замедляется. Костная масса у вегетарианцев больше, т.к. в растительной пище много солей. Курение и алкоголь уменьшают костную массу. Недостаточное содержание кальция уменьшает прочность костной ткани, что приводит к остеопорозу.

Волокна костной ткани деформируются преимущественно упругим образом, а матрица (остальная часть) – пластически и разрушаются хрупким образом.

Зависимость напряжения от деформации: s=f(e) компактной костной ткани имеет следующий вид (эта зависимость аналогична для твердого тела):

Напряжение σ_мах при котором материал разрывается, называется пределом прочности.

Представим предел прочности костной ткани и её компонентов при сжатии и растяжении:

Анализ таблицы: Минеральный и белковый компоненты по отдельности слабые, но в сочетании дают высокую прочность, сравнимую с прочностью металлов. В науке остаётся вопрос: почему имеется различные свойств на растяжение и сжатие.

Реологическая модель Зингера компактной костной ткани и средняя кривая ползучести.

Дифференциальное уравнение, описывающее данную модель имеет вид:

Средняя кривая деформации компактной костной ткани.

Максимальное растяжение, которое может выдержать костной материал составляет »0,01% что соответствует изменению длины кости »1 %.

ОА – мгновенная деформация в продольном направлении (действует постоянная нагрузка мгновенно растягивается пружина 1) АВ – ползучесть (вытягивается поршень). Точка В – прекращение нагрузки. ВС – быстрая деформация (быстрое сжатие пружины 1) СД – обратная ползучесть (пружина 2 втягивает поршень в обратное положение) Точка Д – соответствует остаточной деформации (модель этого не учитывает).

При деформации костной ткани в ней возникает пьезоэлектрический эффект. Если вырезать из кости полоску, закрепить её с одной стороны и подвергнуть деформации изгиба, то на выпуклой стороне появляется "+" заряд, на вогнутой "-" заряд, т.е. появляется разность потенциалов.

Есть основания считать, что генерация пьезоэлектричества имеем место при механических нагрузках костей в организме и возникающие электрические токи могут стимулировать новообразование или рассасывание костной ткани.

4.2 Механические свойства ткани кровеносных сосудов

Прочностные и деформационные свойства стенок кровеносных сосудов и изменение этих свойств (с возрастом) имеет большое значение для медицины.

Кровеносные сосуды состоять из трех концентрических слоёв:

внутренний – интима; средний – средняя сосудистая оболочка; наружный – внешняя сосудистая оболочка.

Механические свойства кровеносных сосудов обуславливаются, главным образом, свойствами средней сосудистой оболочки, состоящий из коллагена, эластина и гладких мышечных волокон. Представим допускаемые деформации этих элементов:

Следует отметить, что гладкие мышечные клетки могут менять свою длину (сокращаться) под действием нервных или химических стимуляторов. Гладкая мышца осуществляет активное поведение кровеносных сосудов, так как в результате её сокращения меняется диаметр кровеносного сосуда и механические свойства сосудистой стенки в целом.

Таким образом, достигается оптимальное распределение и регулирование кровяного потока.

Содержание трёх основных компонентов сосудистой ткани меняется для различных мест стенки. Отношение эластина к коллагену в сосудах ближе к сердцу равно 2:1, но оно убывает с удалением от него и в бедренной артерии оно равно 1:2. С удалением от сердца увеличивается содержание гладких мышечных волокон, и уже в артериоллах они становятся основной составляющей сосудистой ткани.

Установлено, что сосудистая ткань является практически несжимаемой. Кровеносные сосуды обладают криволинейной ортотропией (т.е. их механические свойства в радиальном, осевом и кольцевом направлениях существенно различны).

Механическое поведение сосудов усложняется ещё и тем, что в организме они находятся под влиянием окружающих тканей, растянуты в продольном направлении и их деформации в этом направлении ограничены. В сосудах наблюдаются значительные отклонения механических характеристик для отдельных индивидов от установленных средних значений.

Напряжение, возникающее при деформации в стенке кровеносного сосуда определяется уравнением Ламе.

Вывод уравнения Ламе.

Возьмём часть кровеносного сосуда длиной l и толщиной стенки h.

Представим стенки сосуда вдоль и поперёк:

Две половины цилиндрического сосуда взаимодействуют между собой по сечениям стенок сосуда. Общая площадь сечения взаимодействия будет: 2hl, тогда сила взаимодействия двух половинок:

Эта сила уравновешивается силами давления крови изнутри:

Таким образом, имеем: , откуда

- уравнение Ламе

Таким образом, напряжение, возникающее в стенках кровеносных сосудов зависит от величины давления крови, внутреннего радиуса и от толщины стенок сосуда.