Теоретико-ймовірнісні моделі розрахунку ринкової вартості основних типів цінних паперів

Міністерство Освіти України

Львівський Національний Університет ім. І. Франка

Кафедра математичного моделювання

Курсова робота

натему:

«Теоретико-ймовірніснімоделірозрахункуринковоївартостіосновнихтипівціннихпаперів (опціонів)»

Виконав студент групи МТм-44

Маркіян Муж

Науковий керівник -

Микола Іванович Бугрій

Львів

2000

1. Поняттяціннихпаперів, їхкласифікація

2. Похідніцінніпапери. Опціони.

Видиопціонів

3. Основніпоняттяпророботуопціонів. Опціонністратегії

4. Методивизначенняціниопціона

5. Розрахуноквартостітахедж-стратегійдляопціонівЕвропейськоготипу

6. Прикладироботизопціонами

7. Використаналітература

1. Поняттяціннихпаперів, їхкласифікація

Цінніпапери - грошовідокументи, щозасвідчуютьправоволодінняабовідносинипозики, визначаютьвзаємовідносиниміжособою, якаїхвипустила, таїхвласникоміпередбачають, якправило, виплатудоходуувиглядідивідендівабопроцентів, атакожможливістьпередачігрошовихтаіншихправ, щовипливаютьзцихдокументів, іншимособам.

Цінніпапериможутьбутиіменнимиабонапред'явника. Іменніцінніпапери, якщоіншенепередбаченоЗакономУкраїни «Процінніпапериіфондовубіржу» абовнихспеціальноневказано, щовонинепідлягаютьпередачі, передаютьсяшляхомповногоіндосаменту (передавальнимзаписом, якийзасвідчуєперехідправзаціннимпаперомдоіншоїособи). Цінніпапериможутьбутивикористанідляздійсненнярозрахунків, атакожякзаставадлязабезпеченняплатежівікредитів.

ВідповіднодоЗаконуУкраїни «Процінніпапериіфондовубіржу» вУкраїніможутьвипускатисятаківидиціннихпаперів:

-акції;

-облігаціївнутрішніхтазовнішніхдержавнихпозик;

-облігаціїмісцевихпозик;

-облігаціїпідприємств;

-казначейськізобов'язанняреспубліки;

-ощаднісертифікати;

-інвестиційнісертифікати;

-векселі;

-приватизаційніпапери.

2. Похідніцінніпапери. Опціони.

Видиопціонів

Крімосновнихціннихпаперів —акційтаоблігацій, наміжнародно­муринкупротягомостанніх 10-20роківвсеширшерозповсюджуютьсятакзваніпохідніцінніпапери, щоїхінколиназиваютьдерівативами. Донихналежитьопціони, варанти, ваучеритаф'ючерсніконтракти.

Варант —цеціннийпапір, щовипускаєтьсякомпанієюабофірмою, інадаєйоговласникуправопридбативказанукількістьакційданоїфірмичикомпаніїпофіксованійціні. Варантможебутивикористанийубудь-якиймоментчасудофіксованоїдати.

Ваучер —цеціннийпапір, щодаєйоговласникуправопридбатибудь-якуакціюпономінальнійвар­тості (позначенійнаакції).

Ф'ючерс, абоф'ючерснийконтракт —цеугодапрокупівлюабопродаждеякоготоварувмайбутнійфіксованиймоментчасуповизначенійціні. Ф'ючерсніконтрактиукладаютьсяякнакупівлю-продажтоварівчисировини —буряків, пшеницііт.д., такінакупівлю-продажвалюти. Особливістютакихконтрактівєте, щовониукладаютьсянабіржііконтрактніціниф'ючерснихопераційви­значаютьсявідкритимиринковимиаукціонами. Ф'ючерсніконтрактивідрізняютьсявідстроковихконтрактівтим, щоклірингова (розрахун­кова) палатаздійснюєреєстрацію, контрольівідповіднийрозрахунокміжпокупцеміпродавцем. Кліринговапалатаепокупцемдляпрода­вцяіпродавцемдляпокупця. Зазначимо, щоф'ючерсніконтрактинапродаж-купівлювалютивбільшостівтрачаютьсилуінереалізуються.

Опціон — контракт, якийдаєправовласникові (аленезобов'язуєйого) купитиабопродатипевнийактивподоговір­нійціні (цінівиконання) увизначенийтермін.

Слідзауважити, щоінодівиникаютьпитанняпроте, доякогови­ду —основнихчипохідних —віднеститічиіншіцінніпапери.

Доречі, навеликихбіржахопціонівторгуютьдвомаосновнимиви­дамиопціонів: опціономнакупівлюіопціономнапродаж.Оп­ціонпакупівлю(calloption) забезпечуєвласниковіконтрактуправопротягомпевногоперіодукупуватинапередвизначенукількістьакцій (чиіншихціннихпаперів) пофіксованійцілі. Та­куфіксовануцінуназиваютьціноювиконання (exerciseprice)опціона. Опціоннапродаж (putoption) даєвласни­ковіконтрактуправопродажупротягомпевногоперіодунапе­редвизначеноїкількостіакцій (чиіншихціннихпаперів) пофік­сованійціні.

Якщоцінаопціонунакупівлюпозакінченнітермінудорів­нюєнулеві, тойогоназиваютьопціономіззбитком. Якщодомоментузакінченнятермінуцінаопціонунакупівлювиявитьсядодатноювеличиною, тотакийопціонбудевиконаний, ійогоназиваютьопціономздоходом. Терміни, якіхарактеризуютьспіввідношенняміжціноювико­нанняопціонаіціноюпобазовихакціяхдомоментузакінченнятерміну, частовживаютьсяпротягомтермінудіїопціону. Отже, говорятьпроопціонинакупівлюіззбитком, знульовимдоходоміздоходомзалежновідтого, чибудецінавико­наннявідповідновищою, ближчедокурсубазовихціннихпа­перів, чинижчоюзанього. Вартістьопціонунакупівлюдомо­ментузакінченнятерміну, якправило, називаютьйоговнутріш­ньоювартістю.

Отже, якявищезазначав, опціондаєправойоговласникукупитиабопро­дативизначенукількістьпевноготоварунадеякихвказанихумовах: завизначенуцінуабодопевногостроку. Останняумоваеознакою, заякоюопціониподіляютьсянадваосновнихтипи: опціониЄвропей­ськогоіАмериканськоготипів. ОпціонЄвропейськоготипумаєфіксо­ванудатувиконання. НавідмінувідньогоопціонАмериканськоготипуможебутивикористанийвбудь-якиймоментчасудодеякоїфіксованоїдати.

3. Основніпоняттяпророботуопціонів. Опціонністратегії

Приймаючирішенняпроуправлінняпортфелемфінансовихак­тивів, інвесториможутьвикористатимножинурізнихогщіоннихстратегій.

Опціонинакупівлю

Опціоннакупівлюнадаєправокупитиакціїпоцінівиконанняопціону. Ціна, якуінвесторсплачуєзате, щобпридбатиправовмайбутньомукупитиціакції, називаєтьсяпремієюопціонунаку­півлю (callpremium), чиціноюопціонунакупівлю (callprice). Як­щоінвесторзаплативпреміюрозміром W_kу.о., придбавшиопціоннакупівлю, тоневажкообчислитийогодохідчизбитокдомоментузакінченнятерміну. Якшоцінаакційдоцьогомо­ментувиявитьсянижчоюзацінувиконанняопціонуЦ,тоінвеcтopнескористаєтьсяопціономіматимезбиток, якийдорівнюєпреміїрозміромW_kу.о., яківінзаплативприкупівлі. Якщоцінаакційдоцьогомоментувиявитьсявищоюзацінувиконанняопціону, тоінвесторотримаєдохідувиглядірізниціміжринковоюціноюпоякійпродаютьсяакції, івитратаминакупівлюопціону. Доходи (збитки) продавцяіпокупцяопціонуподанонаМал.3.1. Доходи (збитки) продавцяопціонудомоментузакінченнятермінудорівнюютьзбиткам (доходам) покупцяцьогоопціону.

Дохід

W_kПродавецьопціону

0

-W_kПокупецьопціону

W` ЦЦінаакції

Мал.3.1. Динамікадоходів (збитків) покупцяіпродавцяопціонунакупівлю

Опціоннапродаж

Опціонпапродажнадаєправопродажуакціїпоцінівиконанняопціону. Якщозапридбанняопціонунапродажінвесторпла­титьпремію W_k, тоневажковизначитидоходичизбиткидомоментузакінченнятермінуопціону. Якщоцінаакційнаденьза­кінченнятермінуєменшоюзацінувиконанняопціону, інвес­торможеотриматидохід, щодорівнюєрізниціміжціноювико­нанняопціонуіакції. Якщожцінаакціїєвищоюзацінувико­нанняопціону, тоінвесторнебудевиконуватиопціоніматимезбиток, якийдорівнюєпремії, сплаченійзапридбанняданогоопціону.

ДинамікуодержаннядоходівізбитківнамоментзакінченнятермінудляпокупцяіпродавцяподанонаМал.3.2.Утихви­падках, колицінаакційперевищуєцінувиконанняопціону, продавецьопціонунамоментзакінченнятермінуматимедохід, щодорівнюєотриманійнимпремії, аопціоннебудевиконано. Однакякщоцінаакційнадатузакінченнятермінуєнижчою, ніжцінавиконанняопціону, точистийдохідпродавцядорівнюватимеД_п=W_р- (Ц - W_k).

Дохід

W_kПродавецьопціону

0

-W_kПокупецьопціону

ЦЦінаакції

Мал.3.2.Динамікадоходів (збитків) покупцяіпродавцяопціонунапродаж

Купівлязахисногоопціонунапродаж

Стратегіяхеджування, якапередбачаєкупівлюакційі, одночасно, опціонунапродажциxакцій, єаналогічноюпридбаннюстраховогополісавіднебажаноїзміниціннаакції. Захиснийопціоннапродаж (protectiveput) даєзмогууникнутиризикупадіннякурсуакцій. Такастратегіяназиваєтьсякупівлеюзахисногоопціонунапродаж. НаМал.3.3показанодинамікуодсржаннядоходів (збитків) привикористанністратегіїкупівліза­хисногоопціонунапродаж. Дляспрощенняприпускається, щозмоментупродажуопціонбувзнульовимдоходом, апреміядорівнювалаW_p.Припустимо, шоцінаакційнаденьзакінченнятермінуперевищуєцінувиконанняопціону. Тодівартістьопціонудорівнюєнулевіівартістьпортфеля —цініакціймінуспрсмія, сплаченаприкупівліопціону. Зіншогобоку, якщоцінаакційдомоментузакінченнятермінуєнижчою, ніжцінавиконанняопціону, інвесторможевикопатиопціонізбутиакціїпродавцевіопціону, отримавшисумуЦ (цінакупівліакції, передбаченаопціоном); зрештоювінзазнаєзбитку, щодорівнюєW_р. Отже, прикупівлізахисногоопціонунапродажмаксимальноможливийзбитокінвестораєобмеженим.

Купівляактиву

Дохід

W_pДохідхеджування

0

-W_p

Купівляопціонунапродаж

-Ц

ЦЦінаакції

Мал.3.3.Динамікадоходів (збиткі) привикористанністратегіїзахисногоопціонунапродаж

Продажпокритогоопціонунакупівлю

Данастратегіяприпускаєпридбанняакційіодночаснийпродажопціонунакупівлюакцій. Якщоцінаопціонунамоментзакінченнятермінуопціонуєменшою, абодорівнюєцінівиконанняпціону, йоговласникнескористаєтьсясвоїмправом, іінвесторотримаєпреміюопціонунакупівлюакцій (щозбільшитьвартістьйогопортфеля). Зіншогобоку, якщоцінаакційдомоментузакінченнятермінуопціонуєвищою, ніжцінайоговиконання, тоінвесторможенаденьзакінченнятермінупродатиакціїпокупцевіопціонуіотриматисумуЦ.Динамікуодержаннядоходів (збитків) відпродажупокритогоопціонунакупівлюакційпоказанонаМал.3.4.

Купівляактиву

ДохідДохідхеджування

W_p

0

Купівляопціону

-W_pнапродаж

-Ц

ЦЦінаакції

Мал.3.4.Динамікадоходіо (збиткіо) привикористанністратегіїпокритогоопціонунакупівлю

Визначенняопціонноїмаржі

ідоходіввідзберігання

Колиопціоникупуються, продаютьсяабовикористовуютьсядляформування-портфеля, можутьвиникнутиускладненняпривнзначеннідоходузаперіодзберіганняопціону. Якщо, наприклад, стратсгіязводитьсядопродажунепокритогоопціону (nakedoption) накупівлюакцій, топродавецьотримуєгрошовізасоби, скажімо, W_ру.о. закоженпроданийопціон. Оскількипродажопціонупороджуєризик, пов'язанийзнеобхідністюреальногопродажуакцій, виникаєпотребавнестивизначенучасткувартостіцихціннихпаперів —маржунаспеціальнийрахунок.

Зіншогобоку, колимирозглядаємопозиціїпопокритихопціонахнакупівлю, можутьвиникнутискладнішівимогивід­носномаржі. Якщоопціоннакупівлюакційвиявитьсяіззбит­ком, тодімаржаєнеобхідноютількипоакціях, аленевимагає­тьсядодатковоїмаржіпоопціону. Якщожопціонвиявитьсяздоходом, товимагаєтьсяідодатковамаржапоопціону; алема­ржа, обчисленадляпозиціївцілому, зменшуєтьсянадоходивідпродажуопціону.

Отже, ізщойносказаноговипливає, шоопціониускладню­ютьзадачі, пов'язаніізвизначеннямдоходузаперіодволодінняпортфелем. Існуючіправилавнесеннямаржідаютьзмогуінвес­торупідібратитакікомбінаціїфінансовихінструментів, якімі­німізуютьпотрібнусукупнумаржу.

Оцінкавартостіопціона

Цінаопціонузавждиповиннабутибільшоюабодорівнюватицінійоговиконання, тобтосумідоходу, якийможнаотримати, використовуючивиконанняопціону. Увипадках, колицінавиконанняопціонудорівнюєЦіцінаакції — Ц_а , вартістьопціонунапродажіопціонунакупівлюповиннавизначатися, відповідно, такиминерівностями: W_kmax[0,Ц_а-Ц] і W_pmax[0,Ц-Ц_а], де W_k і W_р— відповідноціниопціонунакупівлюіопціонунапродаж.

4. Методивизначенняціниопціона

Оцінканамоментзакінченнятермінудіїопціону

Припустимо, щонасцікавитьвартістьопціону «код» (даліпросто «опціон») намоментзакінченняйогодії. Вартістьопціонубуде:

V₀ = max (V_s - E, О)

деV₀ - ринковацінаодноїакції;

Е - цінавикористанняопціону;

max - вибірнайбільшоїздвохальтернативV_s- Eабо 0

Щобпроілюструватицюформулу, припустимо, щоопціоннаакціюMicrosoftCorporationкоштує 25 дол. намоментзакінченнятермінудіїопціонуіцінакористувачаопціонускладає 15 дол. Вартістьопціонубудестановити 25 дол. - 15 дол. = 10 дол. Зауважимо, щовартістьопціонувизначаєтьсявиключновартістюакціїмінусцінавикористання; алеопціоннеможемативід’ємнувартість. Колицінавикористанняперевищитьвартістьакції, вартістьопціонустаєрівноюнулю.

Цезауваженняпроілюстрованографічнонамал. 4.1., депоказанатеоретичнавартістьварранту. Цінавикористанняопціонурозташованавздовжлініїтеоретичноївартості; горизогнтальнавісьявляєсобоюцінуакціїнамоментзакінченнятермінудіїопціону.

Ціна

опціону

Ринкова

вартість

Теоретична

вартість

Цінавиконанняопціону

Мал. 4.1.Взаємозв’язокціниакціїтаціниопціона

Оцінкадозакінченнятермінудіїопціону.

Розглянемотепервартістьопціонузаодинперіоддозакінченнятермінуйогодії. Дляспрощенняприпустимо, щодіяопціонуможезакінчитисьлишевденьзакінченнядії. Вартістьакціїнамоментзакінченнядіїневідома, ашвидшеєоб’єктомймовірногоаналізу. Доти, покиєхочабякийсьчасдозакінченнятермінуопціону, йогоринковавартістьможебутибільштеоретичною. Причинавтому, щоопціонможемативартістьівмайбутньому. Цепитанняобмірковувалосьповідношеннюдоварранту, томувподальшійдискусіїнемаєнеобхідності. Реальнувартістьопціонуможнавідобразитиперерваноюлінієюнамал. 4.1.

Ціна

опціону

Лініятеоретичної

вартості

3

2

1

Цінавиконанняопціону

Мал. 4.2.Взаємозв’язокціниакціїтаціниопціонаприрізнихтермінахдії

Впливтермінудіїдозакінченнядіїопціону.Звичайно, чимбільшийтерміндомоментузакінченнядіїопціону, тимвищайоговартістьпорівнянозтеоретичною. Цеочевидно, томущоопціондовшебудевартісним. Більшетого, чимпізнішехтосьплатитьцінувикористання, тимнижчапоточнавартістьопціону, іце, яснаріч, збільшуєвартістьопціону.

Вмірунаближеннязакінченнятермінуопціонулінія, якапоказуєвзаємнузалежністьвартостіопціонутаакції, стаєбільш «випуклою». Цевідлображенонамал. 4.2. Лінія 1 являєсобоюопціонзкоротшимтерміномдозакінченняйогодії, порівнянозлінією 2, лінія 2 - опціонзменшимтерміномдозакінченнядіїопціонупорівнянозлінією 3.

Впливзмінності. Звичайно, найбільшважливийфактор, щовпливаєнаоцінкуопціону, - цезмінаціниакцій, звязанихзним. Конкретніше, чимбільшаймовірністькрайніхнаслідків, тимбільшавартістьопціонудляйоговласника (приіншихрівнихумовах). Мипередбачаємонаявністьнапочаткуперіодудіїопціонудвохвидівакцій, якімаютьнаступніймовірнірозподілиможливоївартостінамоментзакінченнятермінудіїопціону:

Очікуванацінаакціївкінціперіодуоднаковадляобидвохвидів - 40 дол. Але, дляакціїВрозбіжністьможливоївартостізначновища. Припустимо, щоцінавикористанняопціонівнакупівлюакційАіВвкінціперіодутакожоднакова, скажімо 38 дол. Такимчином, акціїдвохвидівмаютьоднаковуочікуванувартістьвкінціперіоду, іопціонимаютьоднаковуцінувикористання. ОчікуванавартістьопціонудляакційАвкінціперіоду:

опціонА= 0(0,10) + 0(0,25) + (40 дол. - 38 дол.)(0,30) + (44 дол. - 38 дол.)(0,25) + (50 дол. - 38 дол.)(0,10) = 3,30 дол., тодіякакціїВ:

опціонВ = 0(0,10) + 0(0,25) + (40 дол. - 38 дол.)(0,30) + (50 дол. - 38 дол.)(0,25) + (60 дол. - 38 дол.)(0,10) = 5,80 дол.

Такимчином, більшарозбіжністьможливоївартостіакційВведедобільшоїочікуваноївартостіопціонунамоментзакінченнятермінуйогодії. Причинакриєтьсявтому, щовартістьопціонівнеможебутивід’ємною. Врезультаті, чимбільшарозбіжність, тимбільшечислопозитивнихнаслідків, вимірянихзаформулоюринковацінамінусцінавикористання. Збільшенняколиваньвартостіакційцимсамимзбільшуютьчислопозитивнихвартостейдляпокупцяопціонуі, значить, збільшеннявартостіопціону.

5. Розрахуноквартостітахедж-стратегійдляопціонівЕвропейськоготипу.

Дискретнийчас

Нагадаємо, щорозглядається(В, S)-ринокоблігаційтаакцій, вар­тістьякихзмінюєтьсязаформулами:

B_t=B₀(1+a)^t (5.1)

dS_t=S_t(dt+dW_t) (5.2)

початковізначення—В₀таS₀відповідноіназаданосімействоймовірніснихмірP={P}, причомувідноснокожноїзмірРпослідовність(р₁,р₂, ... ,р_N) — ценезалежніоднаковорозподіленівипадковівеличини

P{p₁=)=p, P(p₁=)=q=1-p,

0<р<1, -1 << a <.

НехайH = (H_п, 0пN) —самофінансованастратегія,

x^H = (, 0пN) —капітал, щовідповідаєційстратегії,

f_N = f_N(S₀ , S₁(), ... ,S_N()) —фіксовананевід'ємнафункція. НехайтакожЕ*позна­чаєматематичнесподівання (середнє) відносноміриР*такої, щор =p*= , P(p₁=)=p*.

Теорема 5.1.Длятого, щобсамофінансованастратегіяHбуламінімальним (х, f_N)-xeджeм,необхідноідостатньо, щобпочатковийкапіталхдорівнював

x = (1+a)^-N E*f_N (S₀, S₁(), ... ,S_N()) (5.3)

Наслідок. Вумовах(В, S)-ринкусправедливацінаопціонуЄвропей­ськоготипудорівнює

C_N=(1+a)^-N E*f_N ,

деN —фіксованиймоментвиконанняопціону,

f_N =f_N(S₀ , S₁ , ... , S_N) —фіксованафункціяплатежів. ТутЕ* —математичнесподіваннявідноснотакоїміриР*,що

P* (p₁ = ) = р* = .

Існуємінімальнийсамофінансований(С_N, f_N)-хеджH* = (, 0пN) = (, , 0пN)такий, що

беретьсязрозкладу:

Y_n = ,

іприцьомузначеннякапіталувмоментчасу t =nдорівнює

= (1 + a)^n-N E*(f_N/F_n) .

Розглянемотеперчастковийібільшпростийвипадок, колифункціяплатежівf_Nзалежитьневідвсієї " траєкторії " S₀ , S₁ , ... , S_N,алишевідвартостіакціїS_Nвмоментвиконанняопціону, тобтоf_N=f(S_N). На­приклад, дляЄвропейськогоопціонукупівлі

f_N=(S_N - k)⁺ = max (S_N - k , 0),

адлявідповідногоопціонупродажу

f_N=(k - S_N)⁺ = max (k - S_N , 0) ,

деК —договірнавартість, щоїїобумовленовмо­ментпридбанняопціону, ізаякоювмоментNбудутькупуватисяабопродаватисяакції. Вцьомувипадкуможна, задопомогоюбіноміаль­ногорозподілу, безпосередньопідрахуватиЕ*f_Nі, такимчином, спро­ститиформулусправедливоїціниопціону:

C_N= (1+a)^-N E*f_N .

Сфор­мулюємовідповіднийрезультатбездоведення. Розглянемофункцію

F_n(x,p) = f( x (1+)^k (1+)^n-k) p^k(1-p)^n-k (5.4)

(—цечислокомбінаційзnпоk, , = 1).

Теорема 5.2.ДляопціонуЄвропейськоготипузфункцієюпла­тежівf_N=f(S_N)маютьмісценаступнітвердження:

1.Справедливацінаопціонудорівнює

C_N=(1+a)^-NF_N(S₀,P*),

дер*= ;

2.Існуєсамофінансованиймінімальнийхедж

=( , )=( , , ) ,

причому

= ;

3.Капітал X^ вмоментп, 0 <, п < Nдлямінімальногохеджудорівнює

=(1+a)^n-N F_N-n(S_n , p*) .

Теорема 5.3. СправедливацінаC_nЄвропейськогоопціонукупівлізфункцієюплатежів f(S_N) = (S_n - К)⁺ дорівнює:

1. C_N=S₀ B(k₀ , N , p) - K(1+a)^-N B(k₀,N,p*) ,

деk₀=1+ , якщо ;

2. C_N= 0 , якщоk₀ > N .

Встановимотеперзв'язокміжсправедливоюціноюC_Nрозгляну­тоговищеопціонукупівлііціноюстандартногоЄвропейськогоопціонупродажузфункцієюплатежівf(S_N) = (K-S_n)⁺ .Дляцьогозапишемотакутотожність:

(-x)⁺ = тах(—x, 0) = max(x, 0) — x=x⁺ —х ,

звідки(К - S_N)⁺=(S_N - K)⁺ — S_N + K. ЯкщoпозначитисправедливуцінуопціонупродажучерезP_N,то

P_N=Е* (К - S_N)⁺ (1 + а)^-N = (1 + а)^-N [E* [ (S_N - K)⁺ -S_N] + К] = = (1+a)^-N K + C_N- (1 +a)^-N E*S_N .

ОскількиS_N= S₀ (1+p₁) (1+p₂) ... (1+p_N), тозважаючинанезалежністьіоднаковурозподіленістьвипадковихвеличинр₁,р₂,...,p_Nмаємо, що

статочно

P_N=(1+a)^-N K + C_n - S₀ .

Цюрівність,щопов'язуєсправедливіціниопціонівкупівлітапро­дажу, називаютьпаритетом "колл-пут" (купівлі-продажу).

6. Прикладироботизопціонами

НехайS_n, 0 n N —цевипадковаеволюціявар­тості1000доларівСША (USD), щовимірюєтьсявукраїнськихгривнях (Грн). НехайS₀=5400гривеньівмоментn = 1цінаможедорівнювати: S₁ =

ТодіS₁ =S₀(1+p₁),звідки1+p₁ =, p₁ = - 1 , тобтовипадковавеличинар₁можематидвазначення:

p₁ =

Нехайбанківськийрахунокнезмінюється: В_п =B₀= 1,а = 0 (зфінан­совоїточкизоруцеозначає, щобанкненараховуєпроцентівнавнесокінеберепроцентівзапозику).

1.Розрахуноксправедливоїціни.НехайN = 1, К = 5400Грн, f(S₁) = (S₁ - K)⁺ = (S₁ - 5400)⁺=max(S₁-K,0).Цеозначає, щоприпідвищеннікурсудоларапокупецьЄвропейськогоопціонукупівліодержить5700 — 5400 = 300Грн, a припадіннікурсу

f(S₁)=max(0,5200-5400)=0, тобто

дохід =

Видно, що , .

Томуймовірністьр* = .

Якщоприпустити, щоP(p₁=3/54)=p*=2/5, P(p₁=-1/27)=3/5,тосправедливацінаопціонудорівнює:

= 120 Грн

2. Розрахунокхедж-стратегіїінвестора.Вданомувипадкуінвес­тор — цепродавецьопціонукупівлі. Якщосправедливуцінурозрахованозаймовірністюр*,товпочатковиймоментчасуінвестородержаввідпо­купцясумув120 Грн, іцейогопочатковийкапіталX₀.

Тобто, X₀ = 120, = 0, В₀ = 1, S₀ = 5400, .Передмоментомчасуn = 1продавецьповиненперетворитисвійпортфель (,) впортфель (,) такимчином, щобпісляоголошеннязначеннябулабможливістьвико­натиумовиконтракту, тобтозаплатитигрошіпокупцюіповернутиборг (боргвідповідаєвід'ємнимзначенням, якщоборгє). Підра­хуємотепер, , щовідповідаютьмінімальномусамофінансованомухеджу, заформуламитеореми 5.2 (п.2). Одержимо: = .

ОскількиX₀ = B₀ + S₀іВ₀ = 1, томожназнайти = X₀ -S₀ = = 120 - 3240 = -3120. Від'ємністьвеличини = -3120означає, щоінвестор (тобтопродавецьопціону) берепозикуврозмірі3120 Грн.Такимчином, вінмаєХ₀ -В₀ = 120 + 3120 = 3240 Грн.

Розглянемотепер, щовідбуваєтьсяпіслямоментуN = 1, колибулооголошеноновийкурсдолара. Можливідваваріанти (взв'язкузпопереднімиприпущен­нями):

а) курсдоларапіднявся(p1 = = 1/6), тобтовмоментчасуN = 1 , 1000 USDдорівнюють5700 Грн. Вцьомувипадкуінвесторповиненвиплатитипокупцюсумуврозміріf(S1)= mах(0, 5700-5400) = 300 Грн. I вінсправдіможецезробити, оскількийогокапіталвмоментчасуN = 1дорівнює

Х₁ =B₁ +S₁ = -3120 + (3/5)-5700 = -3120+3420=300 Грн.Тоб­токапіталS₁ =3240 Грнєдостатнімдлясплати300 Грнпокупцюіповерненняборгув3120 Грннабанківськийрахунок;

б) курсдоларазменшився(р₁ = = -1/27),тобтовмоментчасуN = 1 , 1000 USDдорівнюють5200 Грн. Вцьомувипадкуінвесторнічогонесплачуєпокупцю, томущоf(S₁)=mах(0,5200-5400) = 0, алеповиненповернутиборгв3120 Грннабанківськийрахунок. Вінзновужтакиможецезробити, оскількийогокапіталдорівнює

Х₁ =B₁ + S₁ = -3120 + (3/5) - 5200=-3120+3120=0.

Тобтоінвестородержує. S₁ = 3120 Грні, повернувшитакийсамийборг, маєнульовийкапітал.

Підсумки

Маючидвізв’заниходназдругоюстатттіфінансовихактивів - акціїтаопціонинаціакції, миможемовстановитибезрисковухеджуванупозицію. Коливанняціннаодинфінансовийактивбудутькомпенсовуватисьпротилежнимиколиваннямицінинаінший. Хеджуванапозиціяможебутивстановленазадопомогоюкупівліакцій (таїхтривалогозберігання) тапідписанняопціоннихдомовленостей. Якщовартістьакційпіднімається, мивиграємовтакзваній «довгійпозиції», тобтовакціях. Мивтрачаємонаопціонах, якімипідписали, боціна, якумиповиннізаплатитизаакціїдлятого, щобнадатиїхособі, якавикористовуєопціон, вища, ніжцінавмоментпідписанняопціону. Якщоцінаакційпадає, стаєтьсязворотнє. Мивтрачаємовнашій «довгійпозиції», алевиграємонапідписаномунамиопціоні.

Такимчином, якщотриматиіакціїіопціони, коливанняціниакційкомпенсуютьсяколиваннямивартостіопціонів. Якщозробитицеграмотно, тозагальнапозиціяможестатисяпрактичнобезризиковою. Вринковійрівновазікоженочікуєотриманнябезризиковогорівняначіткохеджованупозицію.

Упроцесіаналізупохіднихфінансовихінструментівшироковикористовуютьсярізноманітніобчислю­вальніметоди. Безвідповідногоматематичногоінструментаріюпрактикоюнеможливооцінитивартістьцихактивів; нерозумію­чичіткопринципівфінансовихрозрахунків, неможливоправи­льновизначитивплив, якийздійснюєтьсяопераціямизпохід­нимифінансовимиінструментаминаефективністьуправлінняпортфелемактивів.

7.Використаналітература

-БондаревБ.В., ШуркоИ.Л. Финансоваяматематика. -- Донецк, Кассиопея, 1998. -- 164 с.

-ШиряевА.Н. Онекоторыхпонятияхистохастическихмоделяхфинансовойматематики // Теориявероятностииееприменения. 1994. -- Т. 39, N. 1. -- С.5-22

-ЗаконУкраїнипроцінніпапериіфондовубіржу // СD:«Лігапрактик»

-Дж.К. ВанХорнОсновыуправленияфинансами. -- Москва, Финансыистатистика, 1996. -- 800 с.

-ЛеоненкоМ.М., МішураЮ.С., ПархоменкоВ.М., ЯдренкоМ.Й. Теоретико-ймовірніснітастатистичніметодивеконометрицітафінансовійматематиці. – Київ, Інформтехніка, 1995. -- 380 с.

-КолесникВ.В. Введениеврынокценныхбумаг. -- Киев, А.Л.Д. 1995. -- 176 с.

-ШиряевА.Н., КабановЮ.М., КрамковД.О.,

МельниковА.В. Ктеориирассчетовопционов. I. Дискретноевремя // Теориявероятностииееприменения.

1994. -- Т. 39, N. 1. -- С.23-79