Умова перпендикулярності прямих

: к^/=.

8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку (х₁,у₁):

у-у₁=к(х-х₁)

9. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (х₁,у₁) і (х₂,у₂):

10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки а і в на осях координат:

11. Загальне рівняння прямої:

Ах+Ву+С=0, (А²+В²¹0).

12. Відстань від точки (х₁,у₁) до прямої Ах+Ву+С=0:

d=

13. Рівняння кола з центром (х₀,у₀) і радіусом R:

(х-х₀)²+(у-у₀)²=R²

14. Канонічне рівняння еліпса з півосями а і в:

(1)

Фокуси еліпса F(c;0) i F^/(-c;0), де с²=а²-в²

15. Фокальні радіуси точки (х,у) еліпса (1):

r=a-Ex; r^/=a+Ex,

де Е= - ексцентриситет еліпса.

16. Канонічне рівняння гіперболи з півосями а і в:

(2)

2

нерівностями a£x£b, y₁(x)£y£y₂(x), z₁(x, y)£z£z₂(x, y)

де y_i(x), z_і(x, y), (і=1, 2) – неперервні функції, то потрійний інтеграл в прямокутних координатах від неперервної функції f(x, y z)можна обчислити за формулою:

.

Для заміток.

І. Аналітична геометрія на площині.

1. Паралельне перенесення системи координат:

х^'=х-а, у^'=у-в,

де О^' (а;в) - новий початок, (х;у) - старі координати точки, [х^';у^'] - її нові координати.

2. Поворот системи координат (при нерухомому початку):

х= х^'cosa- у^'sina; y= x^'sina+ y^'cоsa,

де (х,у) - старі координати точки, [х^',у^'] - її нові координати, a- кут повороту.

3. Відстань між точками (х₁,у₁) і (х₂,у₂):

d=

4. Координати точки, що ділить відрізок з кінцями (х₁,у₁) і (х₂,у₂) в даному відношенні l:

x=y=.

При l=1, маємо координати середини відрізка:

х=у=.

5. Площа трикутника з вершинами (х₁,у₁), (х₂,у₂) і (х₃,у₃):

S=.

6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

у=кх+в,

де к=tgj(кутовий коефіцієнт) - нахил прямої до осі Ох,

в - довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Оу.

7. tgq= - тангенс кута між прямими з кутовими коефіцієнтами к і к^/.

Умова паралельності прямих: к^/=к.

1

24. Параметричні рівняння еліпса з півосями а і в:

x=a cos t, y=b sin t.

25. Параметричні рівняння циклоїди:

x=a(t-sin t), y=a(1-cos t).

II. Диференціальне числення функцій

однієї змінної.

1. Основні теореми про границі:

а)

б)

Зокрема,

в)

2. Чудові границі:

а) б)

3. Зв'язок між десятковими та натуральними логарифмами:

lg x=М ln x, де М=lg e=0,43429…

4. Приріст функції у=f(x),що відповідає приросту аргументу х:

5. Умова неперервності функції у=f(x):

Основна властивість неперервної функції:

6. Похідна

Геометрично y ^/=f ^/(x) - кутовий коефіцієнт дотичної до

4

XI. Подвійні та потрійні інтеграли.

1. Подвійним інтегралом від функції f(x, y), розповсюдженим на область S, називається число:

, (1)

де (х_і, у_і) є DS_i (і=1, 2,…n)і d – найбільший діаметр комірок DS_i.

Якщо f(x, y)³0, то геометрично інтеграл (1) являє собою об’єм прямого циліндроїда, побудованого на основі S і обмеженого зверху поверхнею z=f(x, y).

2. Якщо область інтегрування S стандартна відносно осі Оу і визначається нерівностями a£x£b, y₁(x)£y£y₂(x),

де y₁(x),y₂(x) – неперервні функції, то подвійний інтеграл в прямокутних декартових координатах від неперервної фуункції f(x, y) виражається формулою:

.

3. Подвійний інтеграл в полярних координатах j і r,

де x=r cosj, y=rsinj має вигляд:

Якщо область інтегрування Sвизначається нерівностями:a£j£b, r₁(j)£r£r₂(j), то

4. Якщо r=r(х, у) – поверхнева густина пластини S, то її

маса є (2)

25

(фізичний зміст подвійного інтегралу). Зокрема, при r=1 отримуємо формулу площі пластинки

5. Статистичні моменти пластинки S відносно координатних осей Ох,Оу виражаються інтегралами:

,

де r=r(х, у) – поверхнева густина пластинки S.

6. Координати центра мас пластинки S визначаються за

формулами: , , (3)

де m – маса пластинки.

Для однорідної пластинки в формулах (2), (3) приймаємо r=1.

7. Моменти інерції пластинки S відносно координатних осей Ох і Оу виражається інтегралами:

, ,

де r=r(х, у) – поверхнева густина пластинки.

8. Потрійним інтегралом від функції f(x, y z), розповсюдженим на область V, називається число:

, (4)

де (x_i, y_i, z_i) є DV_i(i=1, 2, 3,…n), d – найбільший діаметр комірок DV_i .

Якщо f(x, y z) є густиною в точці (x, y z), то потрійний інтеграл (4) являє собою масу, що заповнює об¢єм V.

9. Об¢єм тіла Vдорівнює: .

10. Якщо область інтегрування V визначається

26

Фокуси гіперболи F(c;0)і F^/(-c;0), де с²=а²+в²

17. Фокальні радіуси точки (х,у) гіперболи (2):

r=±(Ex-a), r^/=±(Ex+a),

де Е= - ексцентриситет гіперболи.

18. Асимптоти гіперболи (2):

у=.

19. Графік оберненої пропорційності

ху=с (с¹0)

- рівностороння гіпербола з асимптотами х=0, у=0.

20. Канонічне рівняння параболи з параметром р:

у²=2рх

Фокус параболи: F(p/2, 0):рівняння директриси: х=-(р/2); фокальний радіус точки (х,у) параболи: r=x+(p/2).

21. Графік квадратного тричлена

у=Ах²+Вх+С

- вертикальна парабола з вершиною

22. Полярні координати точки з прямокутними координатами х і у:

rtgj=

Прямокутні координати точки з полярними координатами

r і j.

x=r cosj, y=r sinj.

23. Параметричні рівняння кола радіуса Rз центром в початку координат:

x=R cos t, y=R sin t. (t - параметр)

3

f¢^/(x₀)=0або f¢^/(x₀)не існує.

б) Достатні умови екструмуму функції f(x) в точці x₀:

1) f¢^/(x₀)=0, f¢^/(x₀-h₁)f¢^/(x₀+h₂)<0при довільних досить малихh₁>0і h₂>0, або

2) f¢^/(x₀)=0, f¢¢^/(x₀)¹0

12. - Графік функції y=f(x)вгнутий (або випуклий вниз) якщо f¢¢^/(x)>0 i випуклий (випуклий вверх), якщо f¢¢^/(x)<0.

- Необхідна умова точки перегинy графіка функції

y=f(x) при x=x₀: f¢¢^/(x₀)=0 або f¢¢^/(x₀)не існує.

- Достатня умова точки перегину при х=х₀:

f ¢¢(x₀)=0, f¢¢^/(x₀-h₁)f''(x₀+h₂)<0 при будь-яких досить малих h₁>0, h₂>0.

13. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a,b] і f(a)f(b)<0,то корінь x рівняння f(x)=0наближено можна обчислити за формулами:

а) (метод хорд)

б) , де f ¢(a)¹0; f(a)-f¢(a)>0 (метод дотичних).

14. Диференціал незалежної змінної х: dx=∆x. Диференціал функції у=f(x):dy=y¢dx. Зв’язок приросту ∆y функції з диференціалом dy функції:

∆y=dy+a∆x, де a→0 при ∆х→0.

Таблиця диференціалів функцій.

1) duⁿ=nu^n-1du; 7) d(ctg u)=-

2) da^u=a^uln a du (a>0); de^u=e^udu; 8) d(arcsin u)=

3)d(log_au)=; 9) d(arccos u)=-

6

9. Таблиця 2.

Характер частинного розв¢язку z-неоднорідного рівняння у¢¢+ру¢+qy=f(x) (p i q - сталі) в залежності від правої частини f(x).

A, B, C – сталі невизначенні коефіцієнти.

Х.Криволінійні інтеграли.

1. Криволінійний інтеграл першого роду від неперервної функції f(x, y), взятий по кусково гладкій кривій К:x=x(t), y=y(t) (t є [a, b]), дорівнює

(1)

Якщо крива К задана рівнянням у=у(х) (a£x£b), то

23

Аналогічно визначається криволінійний інтеграл першого роду для випадку просторової кривої К.

Якщо f(x, y) є лінійна густина лінії К, то інтеграл (1) являє собою масу лінії К.

2.Криволінійний інтеграл другого роду від пари неперервних функцій Х(х, у), У(х, у), взятий по кусково гладкому шляху К:x=x(t), y=y(t) (t є [a, b]), визначається за формулою:

(2)

Якщо шлях К задано рівнянням у=у(х) (х є [a, b]), то

.

Фналогічно визначається криволінійний інтеграл другого роду для просторової кривої К.

Фізично інтеграл (2) являє собою роботу змінної сили

F={X(x, y), Y(x, y)} вздовж шляху К.

3. Якщо виконується умова Х(х, у)dx+Y(x, y)dy=dU(x, y), то інтеграл (2) незалежить від шляху інтегрування К і

, (3)

де (х₁,у₁) – початкова точка шляху і (х₂,у₂) – кінцева точка шляху.

Фізично інтеграл (3) являє собою роботу сили, що має потенціал U(x, y).

24

графіка функції у=f(x)в точці з абсцисою х.

Правила і формули диференціювання:

а) C¢=0; б) (U+V-W)¢=U¢+V¢-W¢;

в) (CU)¢=CU¢; г) (UV)¢=U¢V+V¢U;

д) е)

є) ; и) (хⁿ)¢=n x^n-1, x¢=1;

і) (sin x)¢=cos x; ї) (cos x)¢=-sin x;

й) (tg x)¢=sec²x; к) (сtg х)¢=-cosec²x;

л)м) (а^x)¢=a^x ln a, (e^x)¢=e^x.

н) (аrcsin x)¢= o) (arccos x)¢=;

п) (arctg x)¢= р) (arcctg x)¢=

7. Теорема Лагранжа про кінцеві прирости диференційовної функції:

f(x₂)-f(x₁)=(x₂-x₁)f¢^/(x),де x є (х₁,х₂).

8. Функія у=f(x) зростає, якщо f¢^/(x)>0,і спадає, якщо f¢(x)<0.

9. Правило Лопіталя для невизначеностей виду або :

якщо границя з права існує.

10. Локальна формула Тейлора:

f(x)=f(x₀)+f¢^/(x₀)(x-x₀)+…+

де f⁽ⁿ⁾(x) існує в деякому повному околі точки х₀.

11.а) Необхідна умова екстремуму функції f(x) в точці x₀:

5

6) .

7)

8)

9) .

10) .

11) .

12) де a¹0.

13)

14)

3. Основні методи інтегрування.

а) метод розкладу:

, де f(x)=f₁(x)+f₂(x)

б) метод підстановки: якщо x=j(t), то

в) метод інтегрування частинами:

4. Формула Ньютона-Лейбніца: якщо f(x) - неперервна і F¢(x)=f(x), то

.

5. Визначений інтеграл, як границя інтегральної суми:

8

де , (n=1, 2,…).

IX.Диференціальні рівняння.

1. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.

X(x)Y(y)dx+X₁(x)Y₁(y)dy=0

має загальний інтеграл: (1)

Особливі розв¢язки, що не входять в інтеграл (1), визначаються з рівнянь: Х₁(х)=0 і У₁(у)=0.

2. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку:

P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0,

де P(x, y) і Q(x, y) – щднорідні неперервні функції одинакового степеня, розв¢язуються за допомогою підстановки y=u*x (u – нова функція).

3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку:

a(x)y¢+b(x)y+c(x)=0

можна розв¢язати за допомогою підстановки y=u*v,

де u – не нульовий розв¢язок однорідного рівняння

a(x)y¢+b(x)y=0, а v – нова функція.

4. Інтегровані випадки диференціального рівняння другого порядку:

а) якщо y¢¢=f(x), то загальний розв¢язок:

;

б) якщо y¢¢=f(у), то загальний інтеграл:

;

в) якщо y¢¢=f(у¢), то загальний інтеграл рівняння можна

21

знайти з співвідношення: , де у¢=р.

5. Випадки пониження порядку для диференціального рівняння другого порядку:

а) якщо у¢¢=f(x, y¢), то приймаючи у¢=р(х), отримуємо:

;

б) якщо у¢¢=f(у, y¢), то приймаючи у¢=р(у), отримуємо:

.

6. Загальний розв¢язок лінійного однорідного диференці-ального рівняння другого порядку:

у¢¢+р(х)у¢+q(x)y=0має вигляд

у=С₁у₁+С₂у₂,

де у₁і у₂ – лінійно незалежні частинні розв¢язки.

7. Загальний розв¢язок лінійного неоднорідного диференці-ального рівняння другого порядку:

у¢¢+р(х)у¢+q(x)y=f(x)має вигляд ,

де - загальний розв¢язок відповідного неоднорідного рівняння; z – частинний розв¢язок даного неоднорідного рівняння.

8. Таблиця 1.

Загальний вигляд розв¢язків однорідного рівняння у¢¢+ру¢+qy=0 (p i q - сталі) в залежності від коренів характеристичного рівняння k²+pk+q=0.

22

(a>0,a¹1); d(ln u)=

4) d(sin u)=cos u du; 10) d(arctg u)=;

5) d(cos u)= -sin u du; 11) d(arcctg u)=

6) d(tg u)= 12) df(u)=f¢(u)du.

15.Малий приріст диференційованої функції:

f(x+∆x)-f(x)»f¢(x)∆x

16. Диференціал другого порядку функції у=f(x), де х - незалежна змінна (d²x)=0:

d²y=у''dx².

III. Інтегральне числення.

1. Якщо dy=f(x)dx, то y= (незвичайний інтеграл).

2. Основні властивості незвичайного інтеграла:

а)

б) в) (А¹0)

г)

Таблиця найпростіших невизначених інтегралів.

1) (m¹-1).

2) , (при х<0 i при x>0).

3) ;

4) (a>0, a¹1).

5) .

7

де h=(b-a)/n, x₀=a, x_n=b, y=f(x), y_i=f(x₀+ih), (i=0,1,2,…,n).

11. Формула Сімпсона:

де h=(b-a)/2.

12. Невласний інтеграл:

13.Площа криволінійної трапеції обмеженої неперервною лінією у=f(x) (f(x)³0), віссю Ох і двома вертикалями х=а, х=b (a<b): .

14. Площа сектора обмеженого неперервною лінією r=f(j) (r i j - полярні координати) і двома промінями j=a, j=b(a<b): .

15. Довжина дуги гладкої кривої y=f(x) в прямокутних координатах х і у від точки х=а до точки х=b (a<b):

.

16. Довжина дуги гладкої кривої r=f(j) в полярних координатах j і r від точки j=a до точки j=b (a<b):

,

17. Довжина дуги гладкої кривої х=j(t)y=y(t), задано параметрично(t₀<T):

18.Об’єм тіла з відомим поперечним перерізом S(x):

10

9. Ряд Маклорена.

10. Розклад в степеневі ряди функцій:

а) , при êxú < 1;

б) ln(1+x) = , при –1<x£1;

в) , при êxú£ 1;

г) , при êxú< +¥;

д) ,

при êxú< +¥;

е) , при êxú< +¥;

ж) ,

при êxú < 1.

11. Ряд Тейлора.

12. Ряди в комплексній області: .

13. Абсолютна збіжність рядів з коиплексними членами. Якщо ряд збігається, то ряд

19

також збігається (абсолютно).

14. Формули Ейлера:, .

15. Тригонометричний ряд Фур¢є кусково-гладкої функції f(x)періоду 2lмає вигляд:

, (1)

де , (n=0, 1, 2,…);

, (n=1, 2,…).

(коефіцієнти Фур¢є функції f(x)). Для функції f(x) періоду 2p маємо ,

де , (n=0, 1, 2,…).

В точках розриву функцій f(x)сума ряду (1) дорівнює

16. Якщо 2l – періодична функція f(x) парна, то

,

де , (n=0,1, 2,…).

Якщо 2l – періодична функція f(x) непарна, то

,

20

де і

6. Основні властивості визначеного інтегралу (розглядувані функції неперервні):

а) ; б)

в) г)

д)

е)

ж)

7. Теорема про середнє: якщо f(x) - неперервна на [a,b], то

, де а<c<b.

8. Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі:

9. Формула заміни змінної у визначеному інтегралі:

де а=j(a), b=j(b).

10. Формула трапецій: ,

9

z=r(cosj+isinj), де r=êzú; j=Arg z

5. Теореми про модуль та аргумент:

а) êz₁+z₂÷£êz₁ú + êz₂ú; б) êz₁z₂÷£êz₁úêz₂ú,

Arg z₁z₂=Arg z₁+Arg z₂;

в) Arg =Arg z₁-Arg z₂; (z₂¹0);

г) êzⁿ÷ = êzúⁿ; Arg zⁿ=n Arg z (n - ціле).

6. Корінь з комплексного числа:

, (k=0,1,2,…,n-1)

7. Показникова формула комплексного числа:

z = r e^ij, деz = êzú, j = Arg z.

8. Визначник другого порядку:

.

9. Розв’язок системи знаходяться за формулами: х=Dх/D; у=Dу/D (правило Крамера), де

.

10. Розв’язок однорідної системи: визначається за формулами: х=D₁t, y=-D₂t, z=D₃t; (-¥<t<¥),

де -

мінори матриці .

12

3. Повний диференціал функції z = f(x, y) від незалежних змінних х, у:

де dx=Dx, dy=Dy.

Якщо U = f(x, y, z), то .

4. Малий приріст диференційованої функції:

5. Похідна функції U = f(x, y) по напряму l, заданому одиничним вектором {cos a, cos b}дорівнює:

.

Аналогічно, якщо U = f(x, y, z)і{cos a, cos b, cos g} – одиничний вектор напряму l, то

6. Точки можливого екстремуму диференціальної функції U = f(x, y, z) визначаються з рівнянь:

f¢_х(x, y, z)=0; f¢_y(x, y, z)=0; f¢_z(x, y, z)=0

7. Градієнтом скалярного поля U = f(x, y, z) є вектор

Звідси .

8. Якщо P(x, y)dx + Q(x, y)dyє повним диференціалом в області G, то

17

((x, y) є G).

(ознака повного диференціалу.).

VIII. Ряди.

1.Основне означення: .

2. Необхідна ознака збіжності ряду:

якщо ряд збігається, то .

3. Геометрична прогресія: , якщо êqú < 1.

4. Гармонічний ряд 1 + 1/2 + 1/3 + … (розбігається).

5. Ознака Даламбера. Нехай для ряду (U_n>0) існує

Тоді: а) Якщо l < 1, то ряд збігається;

б) Якщо l > 1, то ряд розбігається, U_nнепрямує до 0.

6. Абсолютна збіжність. Якщо ряд збігається, то ряд також збігається (абсолютно).

7. Ознака Лейбніца. Якщо і при , то знакозмінний ряд V₁-V₂+V₃-V₄+… - збігається.

8. Радіус збіжності степеневого ряду а₀+а₁х+а₂х²+… визначається за формулою:, якщо остання має зміст.

18

.

19. Об’єм тіла обертання:

а) навколо осі Ох: (a<b)

б) навколо осі Оу: (c<d)

20. Робота змінної сили F=F(x) на ділянці [a,b]:

ІV. Комплексні числа, визначники та системи рівнянь.

1. Комплексне число z=x+iy, де х=Re z, y=Im z - дійсні числа, і²=-1.

Модуль комплексного числа:

Рівність комплексних чисел:

z₁=z₂ÛRe z₁=Re z₂, Im z₁=Im z₂

2. Спряжене число для комплексного числа z=x+iy:

3. Арифметичні дії над комплексними числами z₁=x₁+iy₁, z₂=x₂+iy₂:

a)

б)

в) (z₂¹0)

Зокрема Re z =1/2 (z+), Im z= (z-)/2і, ú z ê²=z.

4. Тригонометрична форма комплексного числа:

11

V. Елементи векторної алгебри.

1. Сумою векторів , , є вектор .

2. Різницею векторів і є вектор , де

- - вектор, протилежний вектору .

3. Добутком вектора на скаляр є вектор такий що , де і , причому напрям вектора співпадає з напрямком вектора , якщо k > 0, і протилежний до нього, якщо k < 0.

4. Вектор і колінеарні, якщо (k - скаляр).

Вектори , , компланарні, якщо ,(k,l-скаляри)

5. Скалярним добутком векторів і є число

, де j=<(, ).

Вектори і ортогональні, якщо * = 0.

Якщо і , то .

6. Векторним добутком векторів і є вектор ,

де , , (j = <(a,b)),

причому а, b, с - права трійк.

Якщо і , то , де

i, j, k - одиничні вектори (орти), напрямлені згідно з відповідними осями координатами.

7. Мішаний добуток являє собою об’єм (зі знаком) паралелепіпеда, побудованого на векторах а, b, с.

Якщо , , , то

14

.

VI. Аналітична геометрія в просторі.

1. Декартові прямокутні координати точки М(х, у, z) простору Охуzє:

x=r_x , y=r_y , z=r_z, деr= - радіус-вектор точки М.

2. Довжина та напрям вектора а={a_x,a_y,a_z}визначаються формулами: ;

cos a=a_x/a; cos b=a_y/a; cos g=a_z/a,

(cos²a+cos²b+cos²g=1),

де cos a, cos b, cos g - напрямні косинуси вектора а.

3. Відстань між двома точками M₁(x₁,y₁,z₁) i M₂(x₂,y₂,z₂):

.

4. Рівняння площини з нормальним вектором N={A,B,C}¹0, що проходить через точку M₀(x₀,y₀,z₀) є N*(r-r₀)=0,…(1)

де r - радіус-вектор текучої точки площини M(x,y,z) і r₀ - радіус-вектор точки М₀.

В координатах рівняння (1) має вид:

А(х-х₀)+В(у-у₀)+С(z-z₀)=0 абоAx+By+Cz+D=0 (2)

де D= -Ax₀-By₀-Cz₀ (згальне рівняння площини).

5. Відстань від точки M₁(x₁,y₁,z₁) до площини (2) дорівнює:

6. Векторне рівняння прямої лінії в просторі:

r=r₀+st (3)

15

де r{x,y,z} - текучий радіус-вектор прямої; r₀{x₀,y₀,z₀} - радіус-вектор фіксованої точки прямої, s{m,n,p}¹0 - напрямний вектор прямої і t - параметр (-¥<t<+¥).

В координатній формі рівняння прямої (3) має вигляд:

.

7. Пряма лінія як перетин площин визначається рівняннями: (4)

Напрямним вектором прямої (4) є S=N*N¢, де N={A,B,C}, N¢={A¢,B¢,C¢}.

8. Рівняння сфери радіуса R з центром (x₀,y₀,z₀):

.

9. Рівняння трьохосьового еліпса з півосями a,b,c:

.

10. Рівняння параболоїда обертання навколо осі Оz:

x²+y²=2pz.

VII. Диференціальне числення функції

декількох змінних.

1. Умова некперервності функції z=f(x,y):

,

або

Аналогічно визначається неперервність функції f(x, y, z).

2. Частинні похідні функції z = f(x, y) по змінних х, у:

16

11. Визначник третього порядку:

де - алгебраїчні

доповнення відповідних елементів визначника.

12. Розв’язок системи визначається за формулою Крамера х=Dх/D; у=Dу/D; z=Dz/D,

де

.

13. Розв’язок однорідної системи , якщо

знаходяться з підсистеми: .

13