Лінійний векторний простір

РЕФЕРАТ

на тему:

“Лінійний векторний простір”

Векторний простір (лінійний простір) - безліч елементів, які називаються векторами, для яких визначені операції додавання і множення на число. Найпростіший, але важливий приклад - сукупність векторів a, b, c, ... звичайного 3-мірного простору. Кожен такий вектор - спрямований відрізок, що задається трьома числами: ; числа називаються координатами вектора.

При множенні вектора на речове число відповідний відрізок, зберігаючи напрямок, розтягується в раз: . Сума двох векторів знаходиться за правилу параллелограмма; якщо і те .

Парі векторів a і b зіставляють також скалярний добуток (скалярним опосередкованим узагальненням З-мірного простору є n-мірнийевклідовий простір.

Його елементи - упорядковані набори речовинних чисел, Наприклад, , . Додавання і множення векторів на число визначені формулами , , а скалярний добуток - формулою Прикладом комплексного безкінечномірного векторного простору може служити сукупність комплексних функцій f, заданих на всій осі і квадратично сумованих (тобто маючих кінцевий інтеграл ). Багато класів функцій, наприклад, поліноми заданого порядку, функції безупинні, диференційовані, що інтегруються, аналітичні і тому подібні, також утворять безкінечномірні векторні простори.

У кожнім векторному просторі, крім операцій додавання і множення на число, звичайно маються ті чи інші додаткові операції і структури (наприклад, визначений скалярний добуток). Якщо ж не уточнюють природи елементів векторного простору і не припускають у ньому ніяких додаткових властивостей, то векторний простір називають абстрактним. Абстрактний векторний простір L задають за допомогою наступних аксіом:

1. будь-якій парі елементів х и у з L зіставлений єдиний елемент z, називаний їхньою сумою z=x+y і приналежний L;

2. для будь-якого числа і будь-якого елемента x з L визначений елемент z, що називається їхнім добутком і приналежний L;

3. операції додавання і множення на число є асоціативними і дистрибутивними.

Додавання допускає зворотну операцію, тобто для будь-яких х и у з L існує єдиний елемент w з L такий, що x+w=y. Крім того, мають місце формули .

Якщо всі числа речовинні (комплексні), говорять про речовинний (комплексному) векторна просторі; безліч чисел називають полем скалярів L. Поняття векторного простору можна ввести і для довільного полючи, наприклад, полючи кватерніонів.

Якщо - елементи векторного простору L, то вираження виду називається їхньою лінійною комбінацією; сукупність усіх лінійних комбінацій елементів підмножини S з L називають лінійною оболонкою S. Вектори з L називають лінійно незалежними, якщо умова ( - будь-які елементи полючи скалярів) може виконуватися тільки при . Нескінченна система векторів називається лінійно незалежної, якщо будь-яка її кінцева частина є лінійно незалежної. Безліч елементів підмножини S з L називається системою утворюючих S, якщо будь-який вектор х з S можна представити у виді лінійної комбінації цих елементів. Лінійно незалежна система утворюючих S називається базисом S, якщо розкладання будь-якого елемента S по цій системі єдино.

Базис, елементи якого яким-небудь образом параметризовані, називається системою координат у S. Базис векторного простору завжди існує, хоча і не визначається однозначно. Якщо базис складається з кінцевого числа n елементів, то векторний простір називається n-мірним (конечномірні); якщо базис - нескінченна безліч, той векторний простір називається безкінечномірні. Виділяють також лічильномірні векторні простори, у яких мається рахунковий базис.

Підмножини векторного простору L, замкнуті щодо його операцій, називаються підпросторами L. По будь-якому підпросторі S можна побудувати новий векторний простір L/S, називане фактором-простором L по S: кожен його елемент є безліч векторів з L, що розрізняються між собою на елемент із S. Розмірність L/S називається коразмірністю підпростору S у L; якщо розмірності L і S рівні відповідно n і k, те коразмірність S у L дорівнює n-k. Якщо J - довільна безліч індексів i і S_i – сімейство підпросторів L, те сукупність усіх векторів, що належать кожному з S_i, є підпростір, називається перетинанням зазначених підпросторів і що позначається . Для кінцевого сімейства підпросторів S₁, ..., S_s сукупність усіх векторів, які представлені у виді

є підпростір, називаний сумою S₁, ..., S_s і що позначається S₁+ ... +S_s. Якщо для будь-якого елемента суми S₁+ ... +S_s представлення у виді (*) єдино, ця сума називається прямої і позначається . Сума підпросторів є прямої тоді і тільки тоді, коли перетинання цих підпросторів складається тільки з нульового вектора. Розмірність суми підпросторів дорівнює сумі розмірностей цих підпросторів мінус розмірність їхнього перетинання. Векторний простір L₁ і L₂ називають ізоморфним і, якщо існує взаємно однозначна відповідність між їх елементами, погоджена з операціями в них; L₁ і L₂ ізоморфні тоді і тільки тоді, коли вони мають однакову розмірність.

Конкретні приклади векторного простору можна знайти в математичному апараті практично будь-якого розділу фізики. Кінцевомірними речовинними векторними просторами є, наприклад, трехмерное физическое пространство(без обліку кривизни), конфигурационное пространствоі фазовое пространствосистеми n класичних крапкових часток. До числа безкінечномірних комплексних векторних просторів належать гильбертовы пространства, конкретну й абстрактну, складову основу математичного апарата квантової фізики. Найпростіший приклад гільбертова просторів уже згадуваний простір .

Основні фізичні приклади - простору векторів станів різних систем мікрочастинок, досліджуваних у квантовій механіці, квантовій статистичній фізиці і квантовій теорії поля. Знаходять застосування і такі векторні полючи, у яких поле скалярів не збігається з безліччю речовинних чи комплексних чисел: так, гільбертово простір над полем кватерніонів використовується й однієї з формулювань квантовой механики, а гільбертовий простір над полем октоніонов - в одній з формулювань квантової хромодинаміки. У сучасних теориях суперсимметрии інтенсивно застосовуються так називані градуйовані векторні полючи, тобто лінійні простори разом з їхнім фіксованим розкладанням у пряму нескінченну суму підпросторів.

Використана література:

1. Векторний простір. – М., 1992.

2. Вища математика в прикладах. – К., 1998.

3. Математична енциклопедія. – М., 1983.