Статистические оценки критериев надежности РЭСИ

Министерство образования Республики Беларусь

Белорусский государственный университет информатики и

радиоэлектроники

кафедра РЭС

РЕФЕРАТ

на тему:

«СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ КРИТЕРИЕВ НАДЕЖНОСТИ РЭСИ»

МИНСК, 2008

Результаты эксплуатации РЭСИ и ее элементов могут быть использованы для получения экспериментальных значений их критериев надежности.

Такие критерии всегда являются приближенными, так как получены по ограниченному объему экспериментальных данных и, следовательно, всегда содержат элемент случайности. Ошибку критерия надежности, полученного экспериментальным путем, можно оценить с помощью доверительного интервала (при заданной доверительной вероятности). Доверительным интервалом называют область всех возможных значений критерия надежности, которые могут быть получены в результате данного эксперимента. Доверительная вероятность указывает, насколько вероятно нахождение экспериментального значения критерия надежности внутри границ доверительного интервала.

Любое приближенное значение Х* критерия Х надежности, вычисленное на основе ограниченного числа реализаций, называется оценкой критерия. Естественно, чтобы при увеличении n она приближалась (сходилась по вертикали) к искомому параметру распределения Х. Оценка, обладающая таким свойством, называется состоятельной. Желательно также, чтобы при использовании оценки Х* вместо действительного значения Х критерия надежности не было математической ошибки в расчетах, т.е. чтобы выполнялось условие т(х*)=х. Оценка, удовлетворяющая такому условию, называется несмещенной. Особенно это важно при малом объеме экспериментальных данных. И, в третьих, желательно, чтобы выбранная оценка имела по сравнению с другими наименьшую дисперсию. Такая оценка называется эффективной.

Практически не всегда удается найти оценку критерия, которая бы удовлетворяла всем перечисленным требованиям.

Вид формулы оценки критерия надежности зависит от его закона распределения, и от типа выборочного плана испытаний (или эксплуатации).

Рассмотрим правила определения оценок и доверительных границ для параметров экспоненциального распределения и распределения Пуассона.

Определение данных параметров проводится для расчета характеристик надежности по результатам специально организованных испытаний. В нижеследующей таблице приведем характеристики 12 наиболее часто встречающихся планов испытаний на надежность:

Таблица 1 - Характеристики планов испытаний на надежность

Все планы можно разделить на три группы:

планы с индексом R, т.е. планы испытаний не восстанавливаемых изделий, согласно которым отказавшие во время испытаний изделия заменяются новыми;

планы с индексом U, т.е. планы испытаний невосстанавливаемых объектов, согласно которым отказавшие изделия не заменяются новыми;

планы с индексом М, т. е. планы испытаний восстанавливаемых объектов, согласно которым после отказа работоспособность объекта восстанавливается.

Таким образом при обозначении плана испытаний:

первая буква обозначения плана означает, что на испытание было поставлено N изделий;

вторая буква - характеризует выборку (возвратная или безвозвратная);

третья буква r,T- обозначает ограничение испытаний, т.е.:

r- испытания ведутся до получения ожидаемого числа отказов r;

Т - испытания прекращаются по истечении заданного времени Т;

При испытании невосстанавливаемых объектов по плану NUr при r=Nполучаем полностью определенную выборку, т.е. такую выборку, в которой все значения X₁,X₂,..,X_n случайной величины Х определены. При остальных планах испытаний получают не полностью определенные выборки, т.е. такие в которых известны m значений случайной величины Х (m<n)/

При испытании восстанавливаемых объектов по плану NMr при любом r получают полностью определенную выборку, при прочих - не полностью определенные выборки.

Планы испытаний [N,U,(r,T)],[N,M,(r,T)],[N,R,(r,T)],[N,M,(r_Σ,T_Σ)] называют

двойственными, в отличие от остальных простых планов.

При испытании по двойственным планам получают обычно результат, соответствующий одному из двух простых планов, кроме плана [N,M,(r,T)].

Дадим графическую интерпретацию отдельных планов:

NRT

NUT

Определение оценок параметров экспоненциального распределения

Экспоненциальное распределение имеет один параметр λ, который связан со средним значением α случайной величины Х соотношением: λ=1/α; Таким образом в дальнейшем, оценку среднего значения α случайной величины Х будем обозначать через Х, оценка параметра λбудет обозначаться через λ.

Выражения для оценки параметров Х и λприведены в таблицах 2, 3

Таблица 2 - Выражение для оценки Х

S - суммарная наработка объекта во время испытаний;

m - суммарное число отказов (m>0).

Данной таблицей можно пользоваться и для двойственных планов, входя в данную таблицу с тем простым планом, к которому привели результаты испытаний по двойственному плану.

Рассмотрим выражения для оценки λдля различных планов:

Таблица 3 - Выражения для оценок λ

Определение доверительных границ для параметров экспоненциального распределения

Выражения для λ_H и λ_B, α_H и α_B при односторонней доверительной вероятности представлены в таблице 4.

Таблица 4 - Значения параметров α_H, α_B, λ_H, λ_B

Значения оценки λ определяется по соответствующей строке таблицы 4, коэффициенты r₁, r₂, r₃, r₄, r₅, r₀ определяются по соответствующим графам таблиц по доверительной вероятности γ, значениям m и n.

Доверительные границы для α плана [NUT] находят из п.3 таблицы 4, при этом:

(1)

, (2)

где

; (3)

. (4)

; (5)

; (6)

. (7)

; (8)

Коэффициенты r₁ и r₂ находят по таблице в зависимости от значения j и m.

Коэффициенты r₁' и r₂' находят по этим же таблицам, в которые входят по значениям j и m'=N-m.

Доверительные границы для λ_Hи λ_B в случае плана [N,U,T] находят с помощью уравнений предыдущего пункта при:

(9)

Распределение Пуассона

Распределение Пуассона имеет один параметр а, который равен математическому ожиданию случайной величины. Оценка данного параметра дается формулой:

α=К, (10)

где К - наблюдаемое значение случайной величины. Соответственно:

α_H=К/r₁ и α_в=К/г₃, если К≠0. (11)

Если К=0, α_H=0, α_B=r₀, то соответственно r₀, r₁ ,r₂ находят по соответствующим таблицам по значению j и m=К.

Если из партии изделий объема N берется выборка объема n, то случайное число К дефектных изделий в выборке имеет Пуассоновское распределение при выполнении 2-х условий:

n<0,1N,

доля q дефектных изделий в партии не превосходит 0,1.

При выполнении этих условий а = n∙q

Оценка доли дефектных изделий q в партии находят по формуле:

q=K/n

и доверительные границы:

при К≠0 имеем q_н= q/r1 и q_в=q/r₂,при К=0 имеем q_в=r0/n и q_н=0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Глудкин О.П. Методы и устройства испытания РЭС и ЭВС. – М.: Высш. школа., 2001 – 335 с

2. Испытания радиоэлектронной, электронно-вычислительной аппаратуры и испытательное оборудование/ под ред. А.И.Коробова М.: Радио и связь, 2002 – 272 с.

3. Млицкий В.Д., Беглария В.Х., Дубицкий Л.Г. Испытание аппаратуры и средства измерений на воздействие внешних факторов. М.: Машиностроение, 2003 – 567 с

4. Национальная система сертификации Республики Беларусь. Мн.: Госстандарт, 2007

5. Федоров В., Сергеев Н., Кондрашин А. Контроль и испытания в проектировании и производстве радиоэлектронных средств – Техносфера, 2005. – 504с.