Расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Министерство Образования Украины

Кафедра электротехники

Курсовая работа

по курсу “Теория электрических и электронных цепей”

на тему “Расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами”

Вариант № 12

Содержание курсовой работы

1. В электрической цепи, (схема которой представлена на рис.1, а параметры цепи приведены в таблице 1, причём R₄=R₃ ), происходит переходной процесс. На входе цепи действует постоянное напряжение величиной Е_m.

2.Классическим методом расчёта найти выражения для мгновенных значений всех токов цепи и напряжений на реактивных элементах после коммутации. Построить графики изменения этих величин в одних осях. Графики изменения построить на интервале, равном времени переходного процесса t_nn.

Это время определить по следующим формулам:

t_nn= или t_nn=

где λ_min – наименьший из двух вещественных корней;

δ - вещественна часть комплексного корня.

3. Операторным методом расчёта найти выражение для тока в катушке индуктивности.

4. На входе цепи (рисунок 1) действует источник, напряжение которого меняется по синусоидальному закону

e(t)=E_msin(ωt +φ).

Определить выражение для мгновенного значения тока в катушке индуктивности.

Построить график переходного процесса тока катушки индуктивности.

5.На входе цепи,(рисунок 2) действует источник, напряжение которого меняется по закону(заданное графиком 1). Найти выражение для величины, указанной в 17-м столбце таблицы исходных данных (таблица 1). Построитьсовместные графики измерения заданного напряжения и искомой величины. В таблице исходных данных даны абсолютные значения напряжений U_0, U_1, U_2, U_3. Принимая значение времени: t₁=τ , t₂=1,5τ , t₃=2τ , t₄= 2,5τ .

Здесь τ – постоянная времени рассматриваемой цепи.

Таблица 1:

Рисунок 2:

1 этап курсовой работы

Расчет цепи с двумя реактивными элементами в переходных процессах классическим методом

1 этап

Запишем начальные условия в момент времени t_(-0)

i_2(-0)=i_1(-0)=== 1.52 (A)

U_c(-0)= i₂^.R₂=U_c(+0)

Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:

i₁-i₂-i_c=0 (1)

i₁^.R₁+ i₂^. R₂+L=U (2)

i₁^.R₁+ U_c=U (3)

Из (2) уравнения выразим i₁

i₁=(2.1)

i₁ из уравнения (2.1) подставим в (1) и выразим i_c

i_c=(1.1)

i₁ подставим в (3) и выразим U_c

U=(3)

U_c=U-U- i₂^. R₂-(3)

U_c=i₂^.R₂+(3.1)

U_c=(3.2)

Подставим в место U_c и i_c вуревнение (3.2), получим:

(3.3)

Продифференцируем уравнение (3.3) и раскроем скобки:

(3.4)

В дифференциальном уравнении(3.4) приведём подобные слогаемые:

2 этап

Во втором этапе мы решим дифференциальное уравнение относительно i₂, для этого мы представим i₂ как сумму двух составляющих i_2св – свободная составляющая и i_2вын – вынужденная составляющая

i₂=i_2св+i_2вын

i_2вын найдём по схеме

i_2вын=

i_2св найдём из дифференциального уравнения подставив численные значения в уравнение и заменив через l, а через l² получим:

Ll²+R₂l+l+=0 (3.5)

Решим характеристическое уравнения (3.5) найдя его корни l₁ и l₂

0.1l²+10l+l+

15384,6+153,85l+40000+10l+0,1l²=0

Д=b²-4ac=(163,85)²-4^.0,1^.55384,6=26846,82-22153,84=4692,98

l_1,2=; ; l₁l₂ – вещественные

l₁=

l₂=

i_2св=А₁е^-477t+А₂е^-1162t (3.6)

i₂=1.94+ А₁е^-477t+А₂е^-1162t (3.7)

3 этап

Найдём А₁ и А₂ исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системы уравнений Кигхгофа записаных на 1 этапе.

Найдём ток i₂ для момента времени t = +0. Для этого продифференцируем уравнение (3.6) при t=0.

i₂₍₊₀₎=i_2вын(+0)+ А₁+А₂

-477 А₁-1162 А₂

Из уравнения (2) найдём для момента времени t+0

(3.8)

Из уравнения (3) выразим i₁ для момента времени t+0 при U_c=i₂R₂

i₁= (3.9)

Найдём подставив значение i₁ из уравнения (3.9) в уравнение (3.8)

(4.0)

Подставим значение , i₂₍₊₀₎, i_2вын в систему и найдём коэффициенты А₁ и А₂

1,52=1,94+ А₁ + А₂ (4.1)

2=-477 А₁-1162 А₂ (4.2)

Из уравнения (4.1) выразим A₁ и подставим в (4.2)

А₁=-0,42-А₂

2=-477(-0,42-А₂)-1162А₂ (4.3)

Из уравнения (4.3) найдём А₂

2=200,34+477А₂-1162А₂

2=200,34-685А₂

А₂=

А₁=-0,42-0,29=-0,71

Подставим найденные коэффициенты А₁ и А₂ в уравнение (3.7)

i₂=1,94-0,71е^-477t+0,29е^-1162t (А)

4 этап

Определяем остальные переменные цепи U_L, U_c, i_c, i₁

U_L= (В)

U_c= +i₂R₂=

= (В)

i_c=(А)

i₁=i_c+i₂=(0,044е^-477t+0,014е^-1162t)+( 1,94-0,71е^-477t+0,29е^-1162t) =

=1,94-0,666е^-477t+0,304е^-1162t (А)

Построим графики изменения найденных величин в одних осях. Графики изменения построим на интервале, равном времени переходного процесса t_nn.

Это время определим по формуле:

t_nn=

Найдём t_пп время переходного процесса

t_пп= (с)

Таблица переменных

Рисунок 3 - График токов

где

i₁ i₂ i_c

Рисунок 4 – График напряжений

где

U_LU_C

2 этап курсовой работы

2. Найдём выражение для тока в катушке при действии в цепи источника синусоидального напряжения:

R₁

где E_m=100 (B)

w=2pf =2 3,14 50=314 (Гц)

j=30⁰

R₁=R₂=10 (Ом) L=100 (мГн)

R₃=9 (Ом) С=100 (мкФ)

w=314 (Гц)

X_L=wL=314^. 0,1=31,4 (Ом)

X_C= (Ом)

Найдём начальные условие:

U(t)=U_msin(wt+j)=100sin(314+30);

U_m=100e^j30=86,603+j50 (В)

U_C(-0)=0 (B)

Найдём полное сопротивление цепи

Z_п=R₁+R₃+jX_L=10+9+j31,4=19+j31,4 (Ом)

Зная сопротивление и напряжение найдём I_3m

I_3m=I_1m=(А)

Найдём мгновенное значение тока

i₃(t)=I_3msin(wt+j)=2.725sin(314t-28.82) (A)

Для времени t=0 ток будет равен

i_3(-0)=2.725sin(-28.82)=-1.314 (A)6 (A)

Таким образом

U_C(-0)=U_C(+0)=0 (B)

i_3(-0)= i₃₍₊₀₎=-1.314 (A)

1 этап

Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:

i₁-i₂-i₃=0 (1^/)

i₁^.R₁+ i₃^.R₃+L=U(t) (2^/)

i₁^.R₁+i₂^.R₂+U_c=U(t) (3^/)

Из (2^/) уравнения выразим i₁

i₁=(2^/.1)

i₁ из уравнения (2^/.1) подставим в (1^/) и выразим i₂

i₂=(1^/.1)

U(t)=U(t)-i₃^.R₃-L+R₂

- (3.1)

Продифференцируем уравнение (3.1) раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

(3.2)

2 этап

Вид решения для i_3св при действии в цепи источников постоянного и переменного напряжений одинаков, так как в однородном дифференциальном уравнении отсутствует параметр U, а значит, вид i_3св не зависит от входного напряжения.

Таким образом, выражение, которое было найдено в 1этапе, будет иметь следующий вид:

i_3св=А₁е^-406t+А₂е^-234t

Теперь найдём вынужденную составляющую тока катушки i_3вын

i_3вын находим для цепи в послекоммутационном режиме. Расчёт параметров схемы при действии e(t);

Найдём вынужденную составляющую амплитудного тока I₁, а для этого найдём Z_{п вын} сопротивление цепи:

Z_пвын= (Ом)

I_1m= (A)

Найдём U_{ab вын}

U_{ab m}= I_1m(В)

I_{3 m}=(A)

Найдём i_{3 вын}

I_{3 вын}= I_{3 m}sin(wt+j)=2.607sin(314t-43.60) (A)

Таким образом

i₃=2.607sin(314t-43.60)+А₁е^-406t+А₂е^-234t

3^/ этап

Найдём А₁ и А₂ исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системы уравнений Кигхгофа записаных на 1^/ этапе.

i₃=2.607sin(314t-43.60)+А₁е^-406t+А₂е^-234t

i₃₍₊₀₎=i_3(-0)=-1.314 (A)

i₃₍₊₀₎=2.607sin(-43.60)+A₁+A₂=-1.798+A₁+A₂

R₁i₁=U(t)-R₂i₂-U_C

=

=

Подставим значение , i₃₍₊₀₎, и найдём коэффициенты А₁ и А₂ для времени t+0

-1.314=-1.798+A₁+A₂

433.96=592/806-406A₁-234A₂

A₁=-1.314+1.798-A₂=0.484- A₂

433.96=592.806-406(-0.484- A₂)-234 A₂

433.96-592.806+406 ^.0.484= A₂(406-234)

37.658=172A₂A₂=0.219

A₁=0.265

Ток i₃ будет равняться

I₃=2.607sin(314t-43.60⁰)+0.265е^-406t+0.219е^-234t (A)

Таблица переменных

3 этап курсовой работы

Найдём выражение для тока катушки операторным методом:

R₁ R₂

Запишем начальные условия в момент времени t_(-0)

I_3(-0)=== 5.263 (A)

U_c(-0)=0 (В)

Нарисуем схему замещения цепи для расчёта тока катушки операторным методом.

В ветви с реактивными элементами добавим ЭДС, так как у нас не нулевые начальные условия. Причём в ветвь катушки по на правлению тока, а в ветвь конденсатора против тока.

Определим операторное изображение тока катушки. Для этого составим систему уравнений по законам Кирхгофа, направление ЭДС катушки указанo на схеме.

I_1(p)-I_2(p)-I_C(p)=0 (1.3)

(2.3)

(3.3)

Из уравнения (2.3) выразим ток I₁(p) и подставим в уравнение (3.3):

Из уравнения (3.3)

(2.3.1)

(2.3.2)

Подставим численные значения элементов

По полученному изображению найдём оригинал тока .

Операторное решение тока имеет вид правильной дроби I=. Оригинал тока найдём при помощи теоремы разложения.

Определим корни знамена теля, для этого приняв его равным нулю.

p₁=0

0,000065p²+0,1065p+36=0

Д=(0б1065)²-4^.0,000065^.36=0,0019

I₂(p)=

Найдём A₁ A₂ A₃

Коэффициент A_n будем искать в виде, где N(p) – числитель, а M(p) – знаменатель

A₁=

A₂=

A₃=

Таким образом, i₂(t) будет равняться

i₂(t)=A₁^.exp(p₁t)+ A₂^.exp(p₂t)+ A₃^.exp(p₃t)=1,944-0,71e^-477t+0,3e^-1162t

Искомый ток катушки i₂ равняется :

i₂=1,944-0,71e^-477t+0,3e^-1162t (A)

Токи сходятся.

4 этап курсовой работы

Начертим схему для расчёта цепи интегралом Дюамеля и рассчитаем её

Определим переходную характеристику h¹(t) цепи по напряжению U_R2. Для этого рассчитаем схему при подключении цепи в начальный момент t=0 к источнику единичного напряжения. Рассчитаем схему классическим методом. Так как нулевые начальные условия U_C(-0)=U_C(+0)=0, это значит дополнительных ЕДС не будет.

Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:

i₁-i₂-i_c=0

i₁^.R₁+ i₂^.R₂=U i_с=

i_с^.R₃-i₂^.R₁+U_c=0 i₁=i₂+i_с

i₁=i₂+i_с

i₂(R₁+R₂)+i_сR₁=U i₂=

i_с^.R₃-i₂^.R₁+U_c=0

i_с^.R₃+U_c-+

ic+

+

+

0,00043l+1=0 l=-2322,58 ()

U_{C св}=Ae^-2322,58t

U_{C вын}= (B)

U_C=U_{C св}+U_{C вын}=0,278+Ae^-2322,58t A=-0,278

U_C=0,278-0,278e^-2322,58t (B)

i_с==25^.10^-6.0,278^.2322,58e^-2322,58t=0,016e^-2322,58t (A)

U_ab=i_cR₃+U_C=0,278-0,12e^-2322,58t (B)

Таким образом переходная характеристика h¹(t) будет равна

h¹(t)=U_R2(t)=0,28-0,12^.e^-2322,58t (В)

t= (c)

5 этап курсовой работы

Для расчета переходного процесса используем интеграл Дюамеля.

Переходную характеристику h¹(t) возьмем из предыдущего этапа

h¹(t)=0,28-0,12^.e^-2322,58t (В)

t_пп=(c)

Найдёмt, t₁, t₂, U₁^/(t), U₂^/(t):

t= (с)

t₁=t=0.00043 (c) t₂=1,5t=0.00065 (c) t₃=2t=0.00086 (c)

U₀=20 (В); U₁=-5 (B); U₂=-10 (B);

U₁^/(t)=0 () U₂^/(t)= ()

U₃^/(t)= ()

Запишем уравнение U_R2(t) для интервала :

U_R2=U₀^.h¹(t)+ (B)

Запишем уравнение U_R2(t) для интервала :

U_R2=U₀^.h¹(t)+

+

-

(B)

Запишем уравнение U_R2(t) для интервала :

U_R2=U₀^.h¹(t)+

+=

- )+

+ (B)

Запишем уравнение U_R2(t) для интервала :

U_R2=U₀^.h¹(t)+

+

-

+ (B)

Строим графики U(t) и U_R2(t) по данным таблиц.