Анализ и обеспечение надежности технических систем

Федеральное агентство

железнодорожного транспорта РФ

Иркутский Государственный Университет

Путей Сообщений

Кафедра: «ЭЖТ»

Курсовой проект

Дисциплина: «Основы теории надежности»

Анализ и обеспечение надежности технических систем

Иркутск 2008

Содержание

Часть 1. Расчет и анализ надежности системы восстанавливаемых объектов

1.1 Введение

1.2 Формулировка задачи

1.3 Теоретические сведения

1.4 Расчет задания

Часть 2. Анализ надежности и резервирование технической системы

2.1 Введение

2.2 Формулировка задания

2.3 Теоретические сведения

2.4 Расчет задания

2.4.1 Вычисление структурных функций

2.4.2 Обеспечение нормативного уровня надежности установки

Библиографический список

Часть 1. Расчет и анализ надежности системы восстанавливаемых объектов

1.1 Введение

Системы электроснабжения относятся к классу сложных технических систем и определяются множеством свойств, из которых к числу важнейших относится свойство надежности технической системы.

Надежная работа устройств системы электроснабжения является необходимым условием обеспечения качественной и устойчивой работы железнодорожного транспорта. Анализ и обеспечение работоспособного состояния систем электроснабжения на этапах проектирования и эксплуатации – сложная задача, для решения которой используется математический аппарат теории надежности.

Термины и определения, используемые в теории надежности, регламентированы ГОСТ 27.002-89 «Надежность в технике. Термины и определения». Надежность – свойство объекта выполнять заданные функции, сохраняя во времени и в заданных пределах значения всех эксплуатационных параметров.

Надежность объекта характеризуется следующими основными состояниями и событиями:

· Исправность – состояние объекта, при котором он соответствует всем требованиям, установленным нормативно-технической документацией.

· Работоспособность – состояние объекта, при котором он способен выполнять заданные функции, сохраняя значения основных параметров, установленных НТД.

· Предельное состояние – состояние объекта, при котором его применение (использование) по назначению недопустимо или нецелесообразно.

· Повреждение - событие, заключающееся в нарушении исправного состояния объекта при сохранении его работоспособного состояния.

· Отказ – событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния объекта.

· Критерий отказа – отличительный признак или совокупность признаков, согласно которым устанавливается факт возникновения отказа.

Для некоторых объектов предельное состояние является последним в его функционировании, т.е. объект снимается с эксплуатации, для других – определенной фазой в эксплуатационном графике, требующей проведения ремонтно-восстановительных работ. В связи с этим, объекты могут быть разделены на два класса:

· невосстанавливаемые, для которых работоспособность в случае возникновения отказа, не подлежит, или по каким либо причинам нецелесообразна;

· восстанавливаемые, работоспособность которых может быть восстановлена, в том числе и путем замены элементов.

К числу невосстанавливаемых объектов можно отнести, например, электронные и электротехнические детали (диоды, сопротивления, конденсаторы, изоляторы и другие элементы конструкций). Объекты, состоящие из многих элементов, например, трансформатор, выключатель, электронная аппаратура, являются восстанавливаемыми, поскольку их отказы связаны с повреждениями одного или нескольких элементов, которые могут быть отремонтированы или заменены. В ряде случаев один и тот же объект в зависимости от особенностей, этапов эксплуатации или назначения может считаться восстанавливаемым или невосстанавливаемым.

Введенная классификация играет важную роль при выборе моделей и методов анализа надежности.

Надежность является комплексным свойством, включающим в себя, в зависимости от назначения объекта или условий его эксплуатации, ряд составляющих свойств, в соответствии с ГОСТ 27.002-89:

· безотказность;

· долговечность;

· ремонтопригодность;

· сохраняемость.

Безотказность – свойство объекта непрерывно сохранять работоспособность в течение некоторой наработки или в течение некоторого времени.

Долговечность– свойство объекта сохранять работоспособность до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонтов.

Ремонтопригодность– свойство объекта, заключающееся в его приспособленности к предупреждению и обнаружению причин возникновения отказов, поддержанию и восстановлению работоспособности путем проведения ремонтов и технического обслуживания.

Сохраняемость– свойство объекта непрерывно сохранять требуемые эксплуатационные показатели в течение (и после) срока хранения и транспортирования.

В зависимости от объекта, надежность может определяться всеми перечисленными свойствами или частью их.

Наработка– продолжительность или объем работы объекта, измеряемая в любых неубывающих величинах (единица времени, число циклов нагружения, километры пробега и т. п.).

Показатель надежности количественно характеризует, в какой степени данному объекту присущи определенные свойства, обусловливающие надежность.

Одним из основных показателей надежности является функция надежности:

где: T – наработка до отказа, t – заданная наработка. Таким образом, функция надежности есть вероятность безотказной работы (ВБР) объекта на интервале (0, t).

Функция ненадежности определяется как вероятность отказа (ВО) объекта на интервале (0, t):

При анализе системы, состоящей из однотипных элементов с большим сроком службы, в большинстве практических случаев полагают, что вероятность безотказной работы элементов одинакова для всех элементов и подчиняется экспоненциальному закону:

где λ - интенсивность отказов (ИО) одного элемента: условная плотность вероятности возникновения отказа невосстанавливаемого объекта на бесконечно малом интервале времени при условии, что до этого момента отказ объекта не произошел. Напомним, что для экспоненциального закона ИО постоянна, что позволяет получить простые расчетные выражения.

При условии независимости отказов элементов, ВБР цепи из l последовательно соединенных элементов определится на основе теоремы умножения вероятностей:

где - интенсивность отказов цепи.

При параллельном соединении nэлементов (блок «один вход- один выход») ВО блока определяется следующим выражением:

Методика расчетов надежности, применяемая для систем электроснабжения, основывается на общей теоретической базе. При этом учитываются существенные, с точки зрения анализа и расчета показателей надежности, структурные и функциональные особенности рассматриваемых систем.

1.2 Формулировка задачи

· Определить оценки показателей надежности (коэффициент готовности) для элементов системы, показанной на схеме замещения, по данным статистки отказов и восстановления за период эксплуатации N лет, с учетом паспортных данных, приведенных в Приложении 1 и 2.

· Составить модель структуры сети для анализа надежности логико-вероятностным методом и определить значения ее показателей. Рассчитать и построить графики зависимости коэффициента готовности системы и вероятности отказа питания от каждого источника генерации на L последующих лет эксплуатации, с разбивкой по кварталам.

· Сделать выводы о необходимости технического обслуживания по критерию минимально допустимого уровня надежности.

Условия расчета: пренебречь ненадежностью источников питания и шин 110 и 10 кв. Законы распределения отказов и восстановления принять экспоненциальными, отказы элементов - независимы. Для двухцепных ЛЭП учитывать только отказ 2-х цепей. Для трансформаторов учитывать только восстановление аварийным ремонтом.

Принять в данной задаче, что пропускная способность всех устройств сети выше максимальной нагрузки.

1.3 Теоретические сведения

В поставленной задаче необходимо по статистике отказов устройств конкретной подстанции уточнить показатели надежности, соответствующие “априорным данным”, взятым из приложений 1 и 2, и представляющим собой средние значения, рассчитанные по ансамблю ретроспективных данных. По условиям задачи, следует выбрать данные для заданного номинального напряжения, видов отказов и ремонтов, и типов устройств. Для линий следует пересчитать табличные данные частоты отказов (откл/100 км в год) на фактическую длину ЛЭП.

Одним из распространенных методов учета новых данных является скользящее среднее:

х_t= (1-g) · х_t-1 + g · y_t, (1.1)

где:

х_t-1 – предыдущее (априорное) значение некоторого параметра хк моменту t,

х_t- новое значение (оценка) того же параметра, полученная уточнением априорных данных по результатам прямых или косвенных измерений y_{t ,}

g- вес измерений y_t..

В условиях данной задачи коэффициент gпредставляет собой отношение времени эксплуатации к суммарному времени накопления данных (временем восстановления в этой формуле пренебрегаем).

Примечания:

1) Элементы, ни разу не отказавшие, учитываются “априорными данными” из приложений 1 и 2.

2) Предполагается, что “возраст” априорных данных, приведенных в таблицах приложения – 15 лет.

3) Следует обратить внимание на размерность параметров: время t – [год], частота отказов (оценка интенсивности) l - [отключений / год], время наработки или восстановления - [10^-3лет].

Так как известно, что распределение отказов и восстановления подчиняются экспоненциальному закону, то коэффициент готовности элементов равен [1]:

k_г = t₀/( t₀+ t_в ) , (1.2)

где

t₀ = 1/ λ, - наработка до отказа (при экспоненциальном законе распределения),

t_в - время восстановления,

После простых преобразований получим:

k_г= (1.3)

До расчетов по формулам (1.2) или (1.3), следует предварительно оценить показатели надежности элементов схемы замещения, отказавших и восстановленных за период эксплуатации объекта. Для этого воспользуемся формулой (1.1):

где: i – номер элемента, n_i – число отказов i-го элемента за период эксплуатации, j- индекс, - время восстановления i-го элемента при j-м отказе. Верхним индексом * отмечены оценки параметров – эти значения должны быть использованы в формуле (1.3).

Для построения модели структуры сети с целью анализа надежности и определения значений ее показателей следует применить логико- вероятностный метод [2]. Метод основан на приложении алгебры логики к описанию состояний работоспособности и восстановления системы.

Вероятность нахождения восстанавливаемой системы, представленной ЛФР, в работоспособном состоянии в момент времени t, определится выражением:

k_Г (t) = P(Z = 1), (1.7)

при этом для каждого i-го элемента справедливо аналогичное выражение:

k_Гi(t) = P(x_i = 1) . (1.8)

При последовательном соединении n элементов:

P(Z = 1) = P(x₁=1) P(x₂=1)… P(x_n=1) = . (1.9)

Тогда для восстанавливаемой системы, состоящей из n последовательных элементов:

k_Г(t) = ; λ(t) = ; p(t) = . (1.10)

При параллельном соединении составим логическую функцию неработоспособности:

Q(t) = P(=1)= P(=1)·P(=1)… P(=1) = = , (1.11)

где q_i(t)= 1- p_i(t).

Приведенные формулы (1.5) – (1.11) позволяют построить ЛФР по заданной схеме электропитания, см. п. 1.4.

Зная зависимость k_Г(t) и заданное значение минимально допустимого уровня надежности: минимально-допустимого коэффициента готовности k_Гдоп , можно оценить максимальный срок эксплуатации без технического обслуживания [5] по критерию:

k_Г(t) > k_Гдоп (1.12)

Если существует момент времени t_доп, при котором нарушается неравенство (1.12)_, то, с точки зрения обеспечения заданного уровня надежности, следует назначить техническое обслуживание (планово-профилактическое) до момента t_доп. Если же t_доп = 0, то в выводах следует указать, что профилактическое техническое обслуживание необходимо провести до расчетного периода эксплуатации.

1.4 Расчет задания

Схема замещения подстанции показана на рис 1.1

Описание схемы и параметры расчета:

· Длина линий: Л₁ = 31км; Л₂ = 131 км. Линия Л₂ – двухцепная.

· Выключатели: В₁ и В₃ – масляные, В₂ и и В₄ – воздушные.

· Период эксплуатации N = 6 лет; период прогнозирования L = 2 года.

· Минимально допустимый уровень надежности k_Гдоп = 0,84

Таблица 1.1 данные по элементам схемы

Далее, по данным статистики отказов, следует рассчитать оценки частоты отказов и среднего времени их восстановления.

Приведем пример расчета для одного из отказавших элементов (трансформатор Т₁):

· вес измерений определим как «коэффициент старения информации»:

g =6 /(6+15) = 0,286; (1- g) = 0,714;

· оценки параметров найдем по формулам (1.4) и (1.3):

λ*( В₁ ) = (1- g) · λ(В₁) + g · ( 2/6 ) =

= 0,714*0,01 + 0,286∙0,333 = 0,1025 откл/год;

t*_в(В₁) = (1- g) · t_в( В₁) + g ·[1/2*(12,7+11,8)] =

= 0,714*2,5 + 0,286 ∙12,25 = 5,29·10^-3лет/отказ.

k_г (В₁) = 1 / (1+ 0,1025*5,29∙10^-3) = 0,9995

Результаты расчета показателей по статистике отказов

Исходя из заданной схемы замещения, составим ЛФР для 3-го узла, учитывая все возможные пути от источника к потребителю. Для этого преобразуем исходную схему к структурной для анализа надежности, введя дополнительные узлы и переменные состояния x_i.

Переменные структурной схемы описаны в таблице соответствия 1.3.

Таблица 1.3. Соответствие параметров состояния структурной схемы элементам схемы замещения.

Рис 1.2. Структурная схема анализа надежности.

Рис 1.3. Схема представления ЛФР

Из схемы на рис 1.2. видно, что ЛФР системы представляет дизъюнкцию ЛФР шести путей электропитания (в индексе пути использованы только номера узлов структурной схемы):

Z = Z_1-2-6 + Z_1-2-3-7 + Z_1-2-3-4-8 + Z_5-4-8+ Z_5-4-3-7 + Z_5-4-3-2-6(1.13)

Раскрывая ЛФР правой части (1.13), получим:

Z = (x₁ x₁₂ x₂ x₂₆ x₆)+(x₁ x₁₂ x₂ x₂₃ x₃ x₃₇ x₇)+(x₁ x₁₂ x₂ x₂₃ x₃ x₃₄ x₄ x₄₈ x₈ )+ +(x₅ x₄₅ x₄ x₄₈ x₈)+( x₅ x₄₅ x₄ x₃₄ x₃ x₃₇ x₇)+( x₅ x₄₅ x₄ x₃₄ x₃ x₂₃ x₂ x₂₆ x₆).

Упростим данное выражение, учитывая, что x₂ =1, x₃ =1, x₄ =1

Z = (x₁ x₁₂ x₂₆ x₆)+(x₁ x₁₂ x₂₃ x₃₇ x₇)+(x₁ x₁₂ x₂₃ x₃₄ x₄₈ x₈ )+(x₅ x₄₅ x₄₈ x₈)+

+( x₅ x₄₅ x₃₄ x₃₇ x₇)+( x₅ x₄₅ x₃₄ x₂₃ x₂₆ x₆)=Z_1-2·(Z_2-6 + Z_2-7+ Z_2-8) + Z_5-4 ·(Z_4-8 + +Z_4-7 + Z_4-6) (1.14)

Структурная схема представления ЛФР в форме (1.14) показана на рисунке 1.3.

Раскроем выражения составляющих ЛФР в формуле (1.7) P(Z = 1), для ее конкретного представления (1.13) - (1.14) и заданного экспоненциального закона распределения:

· Для блоков последовательных элементов на рис. 1.3:

P(Z_1-2 =1 ) = P(x₁=1)·P( x₁₂=1) = p_1-2 =e^-(λ₁^+λ₁₂ ^)t,

P(Z_5-4 =1 ) = P(x₅=1)·P( x₄₅=1) = p_5-4 = e^-(λ₅^+λ₄₅ ^)t

· Для блоков параллельных элементов на рис. 1.3:

P(Z_2-6 =1 )= P( ₂₆ =1)·P(₆ =1) = q_2-6 = 1- e^-(λ₆^+λ₂₆ ^)t

P(Z_2-7 =1 )= P( ₂₃ =1)·P(₃₇ =1) P(₇ =1) = q_2-7 =1- e^-(λ₂₃^+λ₃₇^+λ₇ ^)t

P(Z_2-8=1)=P(₂₃ =1)·P(₃₄ =1)P(₄₈ =1) P(₈ =1)=q_2-8=1- e^-(λ₂₃^+λ₃₄^+λ₄₈^+λ₈ ^)t

P(Z_4-8 =1 )= P( ₄₈ =1)·P(₈=1) = q_4-8 = 1 - e^-(λ₈^+λ₄₈ ^)t

P(Z_4-7 =1 )= P( ₃₄ =1)·P(₃₇ =1) P(₇ =1) = q_4-7 = 1- e^-(λ₃₄^+λ₃₇^+λ₇ ^)t

P(Z_4-6=1 )= P(₃₄=1)·P(₂₃=1)P(₂₆=1)P(₆=1)=q_4-6=1-e^-(λ₂₃^+λ₃₄^+λ₂₆^+λ₆ ^)t

Введем промежуточные обозначения:

p_2-6-7-8 = 1-q_2-6-7-8 = 1- q_2-6∙ q_2-7 q_2-8 - ВБР блока параллельных элементов Z_2-6 + Z_2-7 + Z_2-8 ,

p_4-8-7-6 = 1-q_4-8-7-6 = 1- q_4-8∙ q_4-7 q_4-6 - ВБР блока параллельных элементов Z_4-8 + Z_4-7 + Z_4-6

q_1* = 1 - p_1-2∙p_2-6-7-8 - ВО питания на пути от узла №1 на схеме замещения,

q_4* = 1 – p_4-5∙p_4-8-7-6 - ВО питания на пути от узла №2 на схеме замещения и запишем окончательно:

Q= q_1*∙ q_4* ; k_Г(t) = P(Z = 1) = 1 – Q. (1.15)

Расчеты, выполненные по полученным формулам, приведены в таблице 1.4. Данные таблицы характеризуют изменение составляющих ЛФР на заданном периоде предстоящей эксплуатации (L = 2 года) с поквартальной разбивкой. На рисунке 1.4. показаны графики изменения трех основных показателей надежности данной системы: q_1*∙(t), q_4*(t), k_Г(t), построенные по данным табл.1.4. Такой вид изменения показателей во времени типичен для экспоненциального закона распределения.

Таблица 1.4 Расчет показателей надежности на двухлетний период эксплуатации (прогноз)

Изменение ВО питания и k_г системы

Из таблицы и графиков видно, что критерий (1.12) нарушается уже в четвертом квартале 1-го года последующей эксплуатации:

k_Г(0,75) > k_Гдоп > k_Г(1), или: 0.8649 > 0,92> 0,7908

поэтому t_доп = 0,5 и техническое обслуживание (профилактическое) следует назначить либо в конце второго квартала, либо в начале третьего квартала.

Структурная схема ЛФР в данном случае была несколько загрублена, более точное её представление, возможно, несколько уточнит ситуацию.

Рис 1.6. Схема представления ЛФР

Теперь представим ВБР согласно этой схемы:

· Для блоков последовательных элементов на рис. 1.4:

P(Z_1-2 =1 ) = P(x₁=1)·P( x₁₂=1) = p_1-2 =e^-(λ₁^+λ₁₂ ^)t,

P(Z_5-4 =1 ) = P(x₅=1)·P( x₄₅=1) = p_5-4 = e^-(λ₅^+λ₄₅ ^)t

P(Z_2-3 =1 ) = P(x₂₃=1)= p_2-3 = e^-λ₂₃ ^t

P(Z_3-4 =1 ) = P(x₃₄=1) = p_3-4 = e^{- λ}₃₄ ^t

· Для блоков параллельных элементов на рис. 1.4:

P(Z_2-6 =1 )= P( ₂₆ =1)·P(₆ =1) = q_2-6 = 1- e^-(λ₆^+λ₂₆ ^)t

P(Z_2-7 =1 )= P(₃₇ =1)·P(₇ =1) = q_3-7 =1- e^-(λ₃₇^+λ₇ ^)t

P(Z_3-8=1)= P(₃₄ =1)·P(₄₈ =1)·P(₈ =1) = q_3-8 = 1- e^{-( λ}₃₄^+λ₄₈^+λ₈ ^)t

P(Z_4-8 =1 )= P( ₄₈ =1)·P(₈=1) = q_4-8 = 1 - e^-(λ₈^+λ₄₈ ^)t

P(Z_3-6=1 )= P(₂₃=1)P(₂₆=1)P(₆=1) = q_4-6 =1-e^-(λ₂₃ ^+λ₂₆^+λ₆ ^)t

Введем промежуточные обозначения:

p_3-7-8 = 1- q_3-7-8 = 1- q_3-7 ∙q_3-8 - ВБР блока параллельных элементов Z_3-7 + Z_3-8

q_2-7-8 = 1- p_2-7-8 = 1- p_2-3 ∙p_3-7-8 - ВБР блока последовательных элементов Z_2-3 и группы элементов Z_3-7 + Z_3-8

p_3-6-7 = 1- q_3-6-7 = 1- q_3-6 ∙q_3-7 - ВБР блока параллельных элементов Z_3-7 + Z_3-6

q_4-6-7 = 1- p_3-6-7 = 1- p_4-3 ∙p_3-6-7 - ВБР блока последовательных элементов Z_4-3 и группы элементов Z_3-7 + Z_3-6

p_2-6-7-8 = 1- q_2-6-7-8 = 1- q_2-6∙ q_2-7-8 - ВБР блока параллельных элементов Z_2-6 и группы элементов Z_2-3 + Z_3-7 + Z_3-8

p_4-8-7-6 = 1- q_4-8-7-6 = 1- q_4-8∙ q_4-6-7 - ВБР блока параллельных элементов Z_4-8 и группы элементов Z_4-3 + Z_3-7 + Z_3-6

q_1* = 1 - p_1-2∙p_2-6-7-8 - ВО питания на пути от узла №1 на схеме замещения,

q_4* = 1 – p_4-5∙p_4-8-7-6 - ВО питания на пути от узла №2 на схеме замещения

и запишем окончательно:

Q= q_1*∙ q_4* ; k_Г(t) = P(Z = 1) = 1 – Q. (1.15)

Таблица 1.5 Расчет показателей надежности на двухлетний период эксплуатации (прогноз)

Из таблицы и графиков видно, что критерий (1.12) нарушается уже в четвертом квартале 1-го года последующей эксплуатации:

k_Г(0,75) > k_Гдоп > k_Г(1), или: 0.875 > 0,84> 0,805

поэтому t_доп = 0,5 и техническое обслуживание (профилактическое) следует назначить либо в конце второго квартала, либо в начале третьего квартала. В данном случае данные с загрублённой схемы и с развёрнутой схемы совпали.

Часть 2. Анализ надежности и резервирование технической системы.

2.1 Введение

В сложных технических устройствах без резервирования никогда не удается достичь высокой надежности, даже используя элементы с высокими показателями безотказности.

Система со структурным резервированием – это система с избыточностью элементов, т. е. с резервными составляющими, избыточными по отношению к минимально необходимой (основной) структуре и выполняющими те же функции, что и основные элементы. В системах с резервированием работоспособность обеспечивается до тех пор, пока для замены отказавших основных элементов имеются в наличии резервные.

По способу включения резервных элементов резервирование подразделяют на два вида:

· активное (ненагруженное) – резервные элементы вводятся в работу только после отказа основных элементов

· пассивное (нагруженное) – резервные элементы функционируют наравне с основными (постоянно включены в работу). Этот вид резервирования достаточно широко распространен, т.к. обеспечивает самый высокий коэффициент оперативной готовности.

Кратко остановимся на расчете надежности систем с ограничением по нагрузке.

Если условия функционирования таковы, что для работоспособности системы необходимо, чтобы по меньшей мере r элементов из n были работоспособны, то число необходимых рабочих элементов равно r, резервных – (n - r). Отказ системы наступает при условии отказа (n – r + 1) элементов. Число r, в общем случае, зависит от многих факторов, но в большинстве расчетов надежности требуется обеспечить пропускную (или нагрузочную) способность системы в заданном режиме эксплуатации. При этом, отказы можно считать независимыми только тогда, когда при изменении числа находящихся в работе элементов не наблюдается перегрузки, влияющей на возможность возникновения отказа. ВБР такой системы определяется с помощью биномиального распределения.

2.2 Формулировка задания

Для заданной основной схемы электротехнического объекта следует:

· Определить вероятность работоспособного состояния объекта для расчетного уровня нагрузки и построить зависимость данного показателя надежности от нагрузки.

· Обеспечить заданный уровень надежности объекта резервированием его слабых звеньев с учетом требований минимальной избыточности и стоимости резервирования.

2.3 Теоретические сведения

Для повышения надежности способом структурного резервирования (повышением избыточности) предлагается использовать элементы нескольких типов, отличающихся степенью надежности, пропускной способностью и стоимостью. При этом избыточными могут быть или уровни надежности, или уровни пропускной способности, или количество элементов. Допускается также обоснованный ввод дополнительных связей.

Предлагаемый способ оценки надежности сложной установки (объекта) относится к аналитическим методам. Он основывается на общей теореме о повторении опытов теории вероятностей, подчиняющейся теоремам сложения и умножения вероятностей, формуле полной вероятности и др. [3].

Предположим сначала, что установка состоит из n одинаковых бинарных элементов, состояния которых являются независимыми, совместными событиями. В качестве производящей функции при этом используется бином Ньютона:

(p[Z]+q[0])ⁿ=

pⁿ[nZ] +C_n¹p^n-1 q[(n-1)Z] +C_n²p^n--2 q[(n-2)Z]…+C_n^mp^n-mq^m[(n-m)Z]+…qⁿ[0]= = = = 1. (2.1)

Здесь р - вероятность работоспособного состояния каждого из элементов, образующих объект (установку). Производительность элемента обозначается буквой Z; q = 1-p - вероятность неработоспособного состояния элемента (производительность элемента при этом равна нулю). Слагаемые

(2.2)

представляют собой вероятности нахождения любых (п-т) элементов объекта в работоспособном состоянии, а т - в неработоспособном из-за их отказа; при этом (п-т)Z- суммарная производительность всех элементов в m-ом состоянии.

Всего состояний объекта в таком случае получается (n + 1), что намного меньше, чем 2ⁿ, если рассматривать состояния n элементов без группировки их по критерию мощности. Состояния (n + 1) составляют полную группу событий (соответствующих состояний) и поэтому сумма их вероятностей (см. формулу (2.1)) равна 1.

Для вычисления слагаемых в (2.2) можно воспользоваться рекуррентной формулой:

,

которая следует из отношения:

P_т+1 / P_т = / ,

и дает возможность использовать удобный алгоритм расчета вероятности следующего состояния по уже известной вероятности P_тпредыдущего расчетного состояния.

Развитием этого метода является применение производящей функции вида:

S(Z) = , (2.3)

позволяющей рассчитывать надежность объекта, который состоит из разных по надежности элементов, отличающихся производительностью. Выражение (2.3) является более универсальным, чем (2.1), но расчеты состояний усложняются, так как должны быть перемножены между собой все двучлены и сгруппированы по одинаковой производительности (пропускной способности). Оценка работоспособности объекта в том или ином расчетном состоянии должна производиться в рамках рассматриваемого метода на основе составления и анализа так называемых структурных функций. Структурная функция - выражение, отображающее взаимосвязь групп элементов, соединенных последовательно или параллельно в смысле надежности. Последовательные и параллельные соединения элементов считаются простейшими структурами, легко заменяемыми одним эквивалентным элементом с соответствующей функцией распределения состояний элементов в группе.

Например, для системы, состоящей из двух элементов x₁ иx₂, число состояний равно 4. Примем также, что пропускная способность каждого элемента Z_iравна нагрузке системы, тогда из (2.3) получим:

S(Z) = = p₁ p₂ + p₁ q₂ + q₁ p₂ + q₁ q₂ (2.3а)

Рассмотрим две простейшие системы с последовательным и параллельным соединением 2-х элементов.

При последовательном соединении, как известно, вероятность работоспособного состояния равна P(α(x_1, x₂)) = p₁p₂, где символ α обозначает структурную функцию последовательного соединения элементов. Тогда, на основании формулы полной вероятности,

Q(α(x_1, x₂)) = 1 - P(α(x_1, x₂)) = p₁ q₂ + q₁p₂ + q₁q₂.

Аналогично, при параллельном соединении, вероятность неработоспособного состояния равна Q (β(x_1, x₂))= q₁q_{2 ,} поэтому P (β(x_1, x₂)) = 1- Q (β(x_1, x₂)) = p₁p₂ + p₁ q₂ + q₁p₂. Здесь символом β обозначена структурная функция параллельного соединения элементов.

Рассмотрим снова систему с последовательным соединением элементов. Пропускная способность группы последовательно соединенных элементов определяется элементом с наименьшей пропускной способностью:

Z[α(x_1, x_2,… x_{i …} x_n)] = min{Z_i, i=1,..n } (2.4)

Производящая функция вида (2.3а) с использованием введенных обозначений (структурной функции последовательного соединения), для 2-х элементов, может быть записана в виде:

α(x_1, x₂) = p₁p₂[min { Z₁, Z₂}] + p₁ q₂[min { Z₁, 0}] + q₁p₂[min { 0, Z₂}] + q₁q₂[min { 0,0}] =

(p₁p₂)[min { Z₁, Z₂}] + (p₁ q₂ + q₁p₂ + q₁q₂)[0] =

P(α(x_1, x₂))[min { Z₁, Z₂}] + Q(α(x_1, x₂)) [0] = 1. (2.4а)

Отметим, что эквивалентный последовательный элемент так же является бинарным.

Рассмотрим теперь систему с параллельным соединением элементов. Пропускная способность группы n параллельно соединенных элементов равна сумме пропускных способностей элементов:

Zⁿ[β(x_1, x_2,…x_{i …}x_n)] = (2.5)

Производящая функция вида (2.3а) с использованием введенных обозначений - структурной функции параллельного соединения, - для 2-х элементов, может быть записана в виде:

β(x_1, x₂) = p₁p₂[ Z₁+Z₂] + p₁ q₂[ Z₁+0] + q₁p₂[0+ Z₂] + q₁q₂[0+0] =

p₁p₂[ Z₁+Z₂] + p₁ q₂[ Z₁] + q₁p₂[Z₂] + Q(β(x_1, x₂)) = 1. (2.5а)

Эквивалентный структурный элемент параллельного соединения будет содержать столько слагаемых, сколько различных состояний по пропускной способности может иметь этот эквивалент, поэтому в общем случае, не является бинарным.

Система параллельно соединенных элементов, в смысле надежности, будет находиться в состоянии отказа только тогда, когда пропускная способность системы будет ниже нагрузки. Для определения состояния отказа группы параллельно соединенных элементов суммарная пропускная способность r = (п-т)работоспособных элементов, характеризующих данное состояние (mэлементов при этом находится в отказе):

Z^r[β(x_1, x_2,…x_{i …}x_n)] = , (2.6)

сопоставляется с мощностью нагрузки Z_H. Если Z^r< Z_H, то, в данном состоянии, имеет место отказ электроснабжения потребителя.

Конечной целью преобразований структурной функции является приведение некоторой достаточно сложной схемы объекта к одному эквивалентному элементу путем конечного числа операций эквивалентных преобразований последовательных и параллельных соединений схемы.

Этап разработки структурной функции системы является начальным в решении задачи оценки надежности объекта. Следующими обязательными этапами должны быть:

· оценка (и оптимизация) режимов, полученных на первом этапе расчетных состояний объекта с выделением состояний, в которых обеспечивается требуемое электроснабжение потребителя (нагрузки), и состояний, когда это требование не обеспечивается;

· определение показателей надежности объекта по результатам расчетов на первом и втором этапах.

2.4 Расчет задания

Рис. 2.1. Схема установки (основная).

Параметры элементов резервирования

Пропускная способность (производительность) элементов (ед.мощности)

Коэффициенты готовности элементов (формат 0.dd)

Удельная стоимость элементов (тыс.руб / ед.мощности)

Вероятности работоспособного состояния (коэффициенты готовности) p_iи пропускной способности (производительности) Z_iэлементов установки приведены в таблице:

Таблица 1.1

Расчетная нагрузка установки: Z_ном = 70 ед., максимальная - Z_max= 110 ед. При построении зависимости показателя надежности установки от нагрузки следует рассмотреть ряд нагрузок не менее максимальных (контрольные точки подчеркнуты): 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 110

Нормативный показатель надежности установки принят равным P^норм=0,98

Для резервирования схемы предлагается использовать элементы типа A, В или С; их параметры даны в следующей таблице:

Таблица 1.1

2.4.1 Вычисление структурных функций

Для рассматриваемой схемы структурная функция S(Z) имеет вид:

S(Z) = β_∑( α₁(x₁x₄) α₂(x₂x₅) α₃(x₃x₆)) (2.7)

В этом выражении операция α ₁ предполагает преобразование двух элементов х₁х₄ в один эквивалентный структурный элемент (который так и обозначим - α ₁); α ₂ состоит из двух элементов x₂x₅, которыетоже будут преобразованы в один элемент - α ₂; α ₃ состоит из двух элементов x₃x₆, которыетоже будут преобразованы в один элемент – α ₃. При этом элементы α ₁, α ₂, α ₃ образуют вместе три параллельно соединенных (в смысле надежности) элемента посредством операции β.

Выражение для каждого α_iвыпишем максимально подробно:

α ₁(x₁x₄) = (p₁[50]+q₂[0])(p₄[70]+q₄[0])=p₁p₄[50] +[p₁q₄ +p₄ q₁+ q₁q₄][0]=0,95*0,85[50]+[0,95*0,15+0,85*0,05+0,05*0,15][0]=0,8075[50]+0,1925[0]=1 (проверка)

α ₂(x₂x₅) = (p₂[50]+q₁[0])(p₅[70]+q₅[0])=p₂p₅[50] +[p₂q₅ +p₄₅q₂+ q₂q₅][0]=0,95*0,85[50]+[0,95*0,15+0,85*0,05+0,05*0,15][0]=0,8075[50]+0,1925[0]=1 (проверка)

α ₃(x₃x₆)= (p₃[50]+q₃[0])(p₆[70]+q₆[0])=p₃p₆[50] +[p₃q₆+p₆q₃+ q₃q₆][0]=0,95*0,85[50]+[0,95*0,15+0,85*0,05+0,05*0,15][0]=0,8075[50]+0,1925[0]=1 (проверка)

S(Z) = β_∑( α ₁(x₁x₄) α ₂(x₂x₅) α ₃(x₃x₆))= (0,8075^3)*[50+50+50]+ (0,8075^2)*0,1925[50+50]+ (0,8075^2)*0,1925[50+50]+ (0,8075^2)*0,1925[50+50]+ 0,8075*(0,1925^2)[50]+ 0,8075*(0,1925^2)[50]+ 0,8075*(0,1925^2)[50]+(0,1925^3)[0]=0,5265[150]+0,3766[100]+0,0898[50]+0,0071[0] =1. (2.8)

Рис. 2.2. Показатели надежности установки в зависимости от нагрузки.

Анализ графика в контрольных точках показывает:

· область вблизи номинальной нагрузки, до 70 ед., обеспечена пропускной способностью системы с вероятностью не менее 0,9031;

· максимальная нагрузка равна предельной пропускной способности и вероятность ее обеспечения минимальна, составляет 0,5262.

2.4.3 Обеспечение нормативного уровня надежности установки

Из таблицы 2.2. следует, что при расчетной нагрузке 70 ед. вероятность безотказной работы установки P[Z ≥ 70] = 0,9031не соответствует заданному нормативному уровню P^норм = 0,98. Следовательно, требуется повышение надежности установки, которое в данном случае может быть обеспечено вводом дополнительной перемычки.

Для рассматриваемой схемы структурная функция S(Z) имеет вид:

S(Z) = α_∑( β₁(x₁x₂ x₃)β₂(x₄x₅ x₆)) (2.7)

В этом выражении операция β₁ предполагает преобразование трех элементов х₁х₂x₃ в один эквивалентный структурный элемент (который так и обозначим - β₁); β₂ состоит из трех элементов х₄х₅x₆, которыетоже будут преобразованы в один элемент - β₂. При этом элементы β₁, β₂ образуют вместе два последовательно соединенных (в смысле надежности) элемента посредством операции α.

Выражение для каждого β_iвыпишем максимально подробно:

β₁(x₁x₂x₃)= ( p₁p₂p₃ [150]+ p₁p₂q₃[100]+ p₁q₂q₃[50]+ p₁p₃q₂[100]+ p₂p₃q₁[100]+ p₃q₁q₂[50]+ p₂q₁q₃[50]+ q₁q₂q₃[0]= 0,8574[150]+0,0451[100]+0,0024[50]+0,0451[100]+0,0451[100]+0,0024[50]+0,0024[50]+0,0001[0]=0,8574[150]+0,1353[100]+0,0072[50]+0,0001[0]=1

(проверка)

β₁(x₄x₅x₆)= ( p₄p₅p₆ [210]+ p₄p₅q₆[140]+ p₄q₅q₆[70]+ p₄p₆q₅[140]+ p₅p₆q₄[140]+ p₆q₄q₅[70]+ p₅q₄q₆[70]+ q₄q₅q₆[0]= 0,6141[210]+0,1084[140]+0,0191[70]+0,1084[140]+0,1084[140]+0,0191[70]+0,0191[70]+0,0034[0]=0,6141[210]+0,3252[140]+0,0573[70]+0,0034[0]=1

(проверка)

S(Z) = α_∑( β₁(x₁x₂x₃)β₂(x₄x₅x₆))= (0,8574[150]+0,1353[100]+0,0072[50]+0,0001[0 ])*( k0,6141[210]+0,3252[140]+0,0573[70]+0,0034[0])=0,5265[150]+0,2788[140]+0,1271[100]+0,0569[70]+0,0072[50]+0,0035[0]=1. (2.8)

Рис. 2.3. Показатели надежности установки в зависимости от нагрузки

Анализ графика в контрольных точках показывает:

· область вблизи номинальной нагрузки, до 70 ед., обеспечена пропускной способностью системы с вероятностью не менее 0,9893 ;

· максимальная нагрузка равна предельной пропускной способности и вероятность ее обеспечения минимальна, составляет 0,5365.

Из таблицы 2.3. следует, что при расчетной нагрузке 70 ед. вероятность безотказной работы установки P[Z ≥ 70] = 0,9893 соответствует заданному нормативному уровню P^норм = 0,98.

Библиографический список

1. Надежность и диагностика систем электроснабжения железных дорог: учебник для ВУЗов жд транспорта / А.В. Ефимов, А.Г. Галкин. М: УМК МПС России, 2000, - 512с.

2. Китушин В.Г. Надежность энергетических систем. Учебное пособие для электроэнергетических специальностей вузов.- М.: Высшая школа, 1984г. – 256с.

3. Ковалев Г.Ф. Надежность и диагностика технических систем: задание на контрольную работу №2 с методическими указаниями для студентов IV курса специальности «электроснабжение железнодорожного транспорта». – Иркутск: ИРИИТ, СЭИ СО РАН, 2000г.-15с.

4. Дубицкий М.А. Надежность систем энергоснабжения: методическая разработка с заданием на контрольную работу. – Иркутск: ИРИИТ, ИПИ, СЭИ СО РАН, 1990г.-34с.

5. Пышкин А.А. Надежность систем электроснабжения электрических железных дорог – Екатеринбург, УЭМИИТ, 1993, - 120 с.

6. Гук Ю.Б. Анализ надежности электроэнергетических установок. - Л.: Энергоатомиздат, Ленинградское отд., 1988г. – 224с.

7. Маквардт Г.Г. Применение теории вероятностей и вычислительной техники в системе энергоснабжения.- М.: Транспорт, 1972г.- 224с.

8. Надежность систем энергетики. Терминология: сборник рекомендуемых терминов. Вып. 95. - М.: Наука, 1964г. – 44с.