Расчет параметров электрических схем

1. Расчет линейной цепи постоянного тока

Задание:

1. Рассчитать схему по законам Кирхгофа.

2. Определить токи в ветвях методом контурных токов.

3. Определить ток в ветви с сопротивлением R₁ методом эквивалентного генератора.

4. Составить уравнение баланса мощностей и проверить его подстановкой числовых значений.

5. Определить показание вольтметра.

Расчет линейной цепи постоянного тока

E2= -53B R1= 92Ом R4= 96Ом

E5= 51B R2= 71Ом R5= 46Ом

E6= -29B R3= 27Ом R6= 53Ом

Расчёт схемы по законам Кирхгофа

I_1-6 – ?

Количество уравнений составляется по первому закону Кирхгофа (сумма входящих в узел токов равен сумме исходящих токов из узла)

n₁=у-1=4–1=3; n₁ – количество уравнений по 1-му закону Кирхгофа

у – число узлов

1. I₆+I₅ = I₂

2. I₅+I₄=I₁,

3. I₃+I₆= I₄;

Составим уравнения по второму закону Кирхгофа (алгебраическая сумма падений напряжения в контуре равен алгебраической сумме ЭДС в этом же контуре.)

n₂=B-у+1-B_I=6–4+1=3; n₂ – количество уравнений по 2-му закону Кирхгофа

В-число ветвей; В₁ – число ветвей содержащих источник тока

I. – R₅I₅+R₆I₆+R₄I₄= E₆ +E₅,

II. R₂I₂ +R₁I₁ +R₅I₅ = E₂ -E₅,

III. R₄I₄+R₁I₁+R₃I₃=0;

96I₄-46I₅ +53I₆= -29+51,

92I₁+71I₂+46I₅= -53–51,

92I₁ +27I₃ +96I₄ =0;

I₂-I₅-I₆=0,

I₄+I₅-I₁=0,

I₃-I₄+I₆=0.

Решим систему уравнений с помощью Гаусса.

I₁= -0,30609 А

I₂= -0,76306 А

I₃= 0,45697 А

I₄= 0,16482 А

I₅= -0,47091 А

I₆= -0,29215 А

Метод контурных токов

Контурный ток – это некоторая величина, которая одинакова для всех ветвей контура.

I₁₁, I_22, I₃₃ – ?

I₁₁R₁₁+I₂₂R₁₂…+…I_mmR_1m=E₁₁

I₁₁R₂₁+I₂₂R₂₂…+…I_mmR_2m=E₂₂

………………………………. – общий вид

I₁₁R_m1+I₂₂R_m2…+…I_mmR_mm = E_mm

Для моего случая:

I₁₁ R₁₁ + I₂₂ R₁₂ +I₃₃ R₁₃ =E₁₁

I₁₁ R₂₁+ I₂₂ R₂₂ +I₃₃ R₂₃= E₂₂

I₁₁ R₃₁+ I₂₂ R₃₂+ I₃₃ R₃₃= E₃₃

R_11, R₂₂, R_33, – собственное сопротивление контуров, вычисляется как сумма сопротивления ветвей входящих в данный контур.

R₁₁=R₆+R₅+R₄

R₂₂=R₁+R₅+R₂

R₃₃=R₄+R₃+R₁

R₁₂=R_21, R₁₃=R_31, R₂₃=R₃₂ - общее сопротивление для 2-х контуров, вычисляется как сумма сопротивлений входящих в 2 смежных контура.

R₁₂=R₂₁=R₅

R₁₃=R₃₁=R₄

R₂₃=R₃₂=R₁

E₁₁, E₂₂, E₃₃ – собственная ЭДС контура, вычисляется как алгебраическая сумма всех входящих в контур ЭДС, причём ЭДС берется со знаком «+», если направление контура тока и ЭДС источника со направлены и «–» если противоположно направлены.

E₁₁= E₆ +E₅

E₂₂=E₂ – E₅

E₃₃=0

I₁₁(R₆+R₅+R₄) – I₂₂R₅+I₃₃R₄= E₆ +E₅,

– I₁₁R₅+I₂₂(R₁+R₅+R₂)+I₃₃R₁=E₂ –E₅,

I₁₁R₄+I₂₂R₁+I₃₃(R₄+R₃+R₁)=0;

I₁₁(53+46+96) – I₂₂46+I₃₃96= -29+51, 195 I₁₁-46 I₂₂ + 96 I₃₃= 22,

– I₁₁46+I₂₂(92+46+71)+I₃₃92=-53–51, -46 I₁₁ +209 I₂₂+92 I₃₃= -104,

I₁₁96+I₂₂92+I₃₃(96+27+92)=0; 96 I₁₁+ 92 I₂₂+215 I₃₃= 0;

Решим систему уравнений с помощью Гаусса и найдем I_1-6

I₁₁= – 0,29215 A

I₂₂= -0,76306 A

I₃₃= 0,45697A

I₆=I₁₁= – 0,29215 А

I₂=I₂₂= -0,76306 A

I₃= I₃₃= 0,45697 A

I₄=I₁₁ + I₃₃= 0,16482 A

I₅= – I₁₁ + I₂₂= -0,47091 A

I₁=I₂₂+I₃₃= -0,30609

Метод эквивалентного генератора

Разомкнем ветвь, в которой необходимо найти ток и представим эту разомкнутую цепь в виде эквивалентного генератора.

I₁=E_ЭКВ /(R₁+R_ВН); R_эк = R_ВН

Для определения напряжения холостого хода воспользуемся первым и вторым законами Кирхгофа.

R ₁₁I^’₁₁+R₁₂I^’₂₂= E₅+E₆,

R₂₁I^’₁₁+R^’₂₂I^’₂₂= E₂+E₆,

(R₄+R₅+R₆) I^’₁₁+R₆I^’₂₂= E₅+E₆,

R₆I^’₂₂+(R₂+R₃+R₆)*I^’₂₂= E₂+E₆,

R₄I^’_4xx+ R₃I^’_3xx + U_xx= 0

U_XX=(R₁+R_ВН) I₁

Определим внутреннее сопротивление эквивалентного генератора.

Воспользуемся методом входных сопротивлений, при этом сопротивление определяется относительно разомкнутой электрической цепи.

Для расчета из цепи устраняем все источники.

R₇= R₄*R₅/(R₄+R₅+R₆)=96*46/(96+46+53)=23 Ом

R₈= R_5*R₆/(R₄+R₅+R₆)=53*46/(96+46+53)=12,5 Ом

R₉= R₄*R₆/(R₄+R₅+R₆)=96*53/(96+46+53)=26 Ом

R₈ и R₂ соединены последовательно. R₁₀=R₇+R₂= 83,5 Ом

R₉ и R₃ соединены последовательно. R₁₁=R₉+R₃= 53 Ом

R₁₀ и R₁₁ соединены параллельно

R₁₂=R₁₁*R₁₀/(R₁₁+R₁₀)=83,5*53/(83,5+53)=33,6 Ом

R₇ и R₁₂ соединены последовательно.

R_эк = R_ВН = R₁₂+R₇=33,6 + 23=56,6 Ом

195 I^’₁₁+53 I^’₂₂= 51–29

53 I^’₁₁+151 I^’₂₂=-53–29

I^’₁₁= I_4xx

I^’₂₂ =-I_3xx

I^’₁₁=I_4xx= 0,28788 А

I^’₂₂=-I_3xx= 0,64409 А

U_xx= – (R₄I^’_4xx+ R₃I^’_3xx)= – (96*0,28788 +27*0,6449)=-45,027 В

I^'₁=U_xx/(R_эк+R₁)=(-45,027)/(56,6+92)= -0,30301 А

Баланс мощностей

∑ P_ист = ∑ P_потр

P_ист=E₂I₂-E₅I₅+E₆I₆=(-52)*(-0,76306)+51*(-0,47091)+ (-29)*(-0,29215)= 72,9309 Вт

P_потр=I₁² R₁+I₂² R₂+I₃² R₃+I²₄ R₄+I₅² R₅+I₆² R₆=(-0,30609)²*92+(-0,76306)² *71+(0,45697)²*27+ (0,16482)² *96+(-0,47091)² *46+(-0,29215)² *53=72,9309Вт

72,9309=72,9309 баланс соблюдается

Определим показание вольтметра по закону Кирхгофа:

U_v+I₅R₅ =E₂ – E₅

U_v=E₂ – I₅R₅ – E₅ = – 53 – 51 – (-0,76306)*46= -69 В

pV= -69 В

2. Расчет электрической цепи однофазного переменного тока

Задание:

1. Определить комплексные действующие значения токов в ветвях схемы.

2. Определить показание приборов.

3. Составить баланс активных, реактивных и полных мощностей.

4. Повысить коэффициент мощности до 0,98 включением необходимого реактивного элемента Х.

5. Построить векторные диаграммы токов и напряжений в одной системе координат.

Расчет электрической цепи однофазного переменного тока

Исходные данные:

U=100В R1=24Ом L1=83мГн C1=230мкФ

F=200Гц R2=15Ом L2=0 C2=73мкФ

Определим комплексные действующие значения токов в ветвях схемы.

X_L1=2π*FL₁=2*3,14*200*83*10^-3=104,25 Ом

X_C1=1/(2π*FC₁)= 1/(2*3.14*200*230*10^-6)=3,46 Ом

X_C2=1/(2π*FC₂)= 1/(2*3.14*200*73*10^-6)=10,91 Ом

Z₁=R₁+j(X_L1-X_C1)=24+j (104,25–3,46)=24+j100,79=103,6*e^j76,6Ом

Z₂=R₂-jX_С2=15-j10,91_{_}=18,55*e^-j36°Ом

I₁=U/ Z₁; I₂=U/ Z₂

I₁=100e^j0/103,6*e^j76,6=0,96e^-j76,6=0,96 (cos(-76,6)+j sin (-76,6))=(0,22 – j0,93) А

I₂=100e^j0/18,55*e^-j36°=5,39e^j36=5,39 (cos36+j sin36)=(4,36+j3,17) А

I₃=I₁+I₂=0,22 – j0,93+4,36+j3,17=4,58+j2,24=5,1e^j26,1ºА

2. Определим показание приборов

Показания амперметров:

pA₁=I₁=0,96A

pA₂=I₂=5,39A

pA₃= I₃=5,1A

Показание фазометра:

pφ= φ_u – φ_i3=0–26,1=-26,1^°

Показание ваттметра

pW=Re [U*I₃^*]=100*5,1*cos (-26,1)=458 Вт

Показание вольтметра

Напряжение на вольтметре найдем по закону Кирхгофа:

I₂R₂ +U_V – I₁ j(X_L1-X_C1)=0

U_V=I₁ j(X_L1-X_C1) – I₂R₂

U_V= j100,79 (0,22 – j0,93) – 15 (4,36+j3,17)=22,2j+93,73–65,4–47,55j=

=28,33–25,35j=38e^-j41,8B

pV=38 B

3. Составим баланс активных, реактивных и полных мощностей

S_ист. =S_пр.

S_ист.=U_.*I₃^*=100e^j0*5,1e^-j26,1º=510 e ^–j26,1°= (458 – j224,37) BA

P_ист = 458Вт; Q_ист = -224,37 ВАр

S_пр = P_пр. +j Q _пр.

P_пр=∑ I²R=I₁²R₁+ I₂²R₂=0,96²*24+5,39²*15=457,9 Вт

Q_пр=∑ I²Х=I₁²X_L1-I₂²X_C1 -I₃²X_C2=0,96²*104,25–0,96²*3,46–5,39²*10,91= =-224,05 ВAр

S_пр = 457,9 - j 224,05=509,8e^-j26,1 BA

510 e ^–j26,1°=509,8e^-j26,1°баланс мощностей соблюдается. Искомые величины верны.

4. Повысить коэффициент мощности до 0,98 включением необходимого реактивного элемента Х. φ=-26,1 < 0

M(I) = 0,1; φ_x = arccos 0,98 = 11,48; φ = φ_u – φ_i

В данном случаем необходимо добавить индуктивность

L= U /(I_x*ω)

I_x= I₃*sinφ – I₃*cosφ*tgφ_x

I_x= 5,1*sin (26,1) – 5,1*cos (26,1)*tg11,48=1,3135A

L= 100 /(1,3135*1256)=60,62 мГн

5. Построение векторных диаграмм токов и напряжений в одной системе координат

U_R1=I₁*R₁=0,96e^-j76,6*24=23,04e^-j76,6 В

U_L1=I₁*jX_L1=0,96 e^-j76,6*j104,25=[0,96cos (-76,6)+j0,96sin (-76,6)] (j104,25)=

=(0,22-j0,93) (j104,25)=99,63 e^j13,3 В

U_C1=I₁*(-jX_C1)=0,96 e^-j76,6*(-j3,46)= [0,96cos (-76,6)+j0,96sin (-76,6)] (-j3,46)=

=3,31 e^j(13,3+180)= 3,31 e^j193,3В

U_R2=I₂*R₂=5,39 e^j36*15=80,85 e^j36В

U_C2=I₂*(-jX_C2)=5,39 e^j36*(-j10,91)=(5,39cos36+5,39sin36) (-j10,91)=

=(4,36+j3,17) (-j10,91)= 58,8 e^-j54 В

Масштабы:

М_U=1 В/мм

М_I=0,2 А/мм