Расчет линейных электрических цепей переменного тока

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гродненский государственный университет имени Янки Купалы»

Технологический колледж

Специальность: 2-360331 «Монтаж и эксплуатация

электрооборудования»

Группа МиЭЭ-17з

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Теоретические основы электротехники»

Расчет линейных электрических цепей

переменного тока

Вариант №44

Разработал: Куликов А.Г.

Руководитель: Дубок Н.Д.

Задание на курсовую работу

Заданы три приёмника электрической энергии со следующими параметрами: Z ₁ = -j65 Ом, Z ₂ = 14+j56 Ом, Z ₃ =56- j23 Ом. Рассчитать режимы работы электроприёмников при следующих схемах включения:

1.Присоединить приёмники последовательно к источнику с напряжением U = 300 В. Определить полное сопротивление цепи Z, ток I, напряжения на участках, угол сдвига фаз, мощности участков и всей цепи, индуктивности и ёмкости участков. Построить топографическую векторную диаграмму цепи.

2. Присоединить приёмники параллельно к источнику с напряжением

U = 300 В. Определить токи в ветвях и в неразветвленной части цепи, углы сдвига фаз в ветвях и во всей цепи, мощности ветвей и всей цепи. Построить векторную диаграмму цепи.

3. Составить из приёмников цепь с двумя узлами, включив в каждую

ветвь соответственно электродвижущую силу E₂=230 В и Е₃ = j240 B. Рассчитать в комплексной форме токи в ветвях, напряжения на участках, мощности источников и приёмников, составить уравнение баланса мощностей. Построить векторную диаграмму в комплексной плоскости. Для расчёта применить метод контурных токов.

4. Соединить приёмники в звезду с нулевым проводом (Z_N = -j32 Ом), и подключить их к трёхфазному источнику с линейным напряжением U_Л =380 В. Определить фазные токи и напряжения источника, напряжение смещения нейтрали и ток в нулевом проводе. Построить топографическую векторную диаграмму в комплексной плоскости.

5. Соединить приёмники в треугольник и подключить его к тому же источнику трехфазного напряжения. Определить фазные и линейные напряжения и токи, мощности фаз и всей цепи. Построить векторную диаграмму цепи в комплексной плоскости.

6. Присоединить приёмники последовательно к источнику несинусоидального тока i=7Sin(wt+13⁰)+1,2Sin(2wt-86⁰)+0,4Sin3wtA. Определить действующие значения тока и напряжения, активную мощность цепи. Записать уравнения мгновенных значений напряжения в цепи. Значения сопротивлений считать для частоты первой гармоники.

Частоту напряжения считать равной f = 50 Гц.

1 Расчёт неразветвлённой цепи с помощью векторных диаграмм

В задании на курсовую работу сопротивления даны в комплексной форме. Так как расчёт цепи нужно выполнить с помощью векторных диаграмм, определяем соответствующие заданным комплексам активные и реактивные сопротивления: X_С1= 65 Ом, R₂ = 14 Ом, X_L2=56 Ом, R₃=56 Ом ,Х_C3= 23 Ом.

Из заданных приёмников составляем неразветвлённую цепь (рис. 1).

Рисунок 1

Определяем активные и реактивные сопротивления всей цепи:

R = R₂+ R₃= 14 + 56 = 70 Ом;

X = -X_C1+ X_L2 – X_C3 = - 65 + 56 - 23 = - 32 Ом.

Полное сопротивление всей цепи тогда определяем из выражения:

Z = = = 77 Ом.

Ток в цепи будет общим для всех приёмников и определится по закону Ома:

I = U / Z = 300/77 = 3.9 A.

Угол сдвига фаз между напряжением и током определяется по синусу

Sin j = X / Z или тангенсу Tg j = X / R,

так как эти функции являются нечётными и определяют знак угла “плюс” или “минус”. Положительный знак угла указывает на активно-индуктивный (или чисто индуктивный) характер нагрузки, а отрицательный знак угла указывает на активно-ёмкостный (или чисто ёмкостный) характер. Таким образом, угол сдвига фаз между напряжением и током определим по синусу

Sin j= X/Z = - 32/77 = - 0,4156;j = - 24.56°; Cos j = 0,9096.

Напряжения на участках цепи определяем также из формулы закона Ома:

U_C1= I * X_C1 = 3.9 *65 =253.5 B.

U_R2 = I * R₂ = 3.9 * 14 = 54.6 B.

U_L2 = I * X_L2 = 3.9 * 56 = 19.5 B

U_R3 = I * R₃ = 3.9 * 56 = 19.5 B

U_C3 = I * X_C3 = 3.9 * 23 = 89.7 B.

Определяем активные и реактивные мощности участков цепи:

Q_C1= I² * X_C1 =3.9² *65 = 989 вар.

P₂ = I² * R₂ =3.9² * 14 = 213 Bт.

Q_L2 = I² * X_L2 = 3.9²*56 = 852 вар.

P₃=I²*R₃ = 3.9²*56= 852 Вт

Q_С3 = I² * X_С3 = 3.9² *23 =350 вар.

Активная, реактивная и полная мощности всей цепи соответственно будут равны:

P = P₂+ P₃= 213 +852 =1065 Вт.

Q = -Q_C1+ Q_L2 - Q_С3= -989+852- 350 = - 487 вар.

S = = =1171 B*A.

Полную, активную и реактивную мощности всей цепи можно определить также по другим формулам:

S = U * I =300 *3.9 =1170 В*А.

Р = S * Cosj =1170* 0,9096 =1064 Вт,

Q = S * Sin j=1170*( - 0,4154) = - 486 вар.

Определяем ёмкость и индуктивность участков. Угловая частота ω = 2 πf = 2 * 3,14 * 50 = 314 с-¹

C₁ = 1/wXc₁=1/(314*65)= 0,000049 Ф = 49 мкФ

L₂ = X_L2/w = 56/314 = 0,178 Гн

С₃ = 1/wX_С3 = 1/(314*23) = 0,000138 Ф = 138 мкФ.

Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами тока и напряжения, которые будут соответственно равны M_I = 0,25 A/см и M_U = 25 B/см.

Построение топографической векторной диаграммы начинаем с вектора тока, который откладываем вдоль положительной горизонтальной оси координат. Векторы напряжений на участках строятся в порядке обтекания их током с учётом того, что векторы напряжений на активных элементах _R2 и _R3 совпадают по фазе с током и проводятся параллельно вектору тока. Вектор напряжения на индуктивности _L2 опережает ток по фазе на угол 90⁰ и поэтому откладывается на чертеже вверх по отношению к току. Векторы напряжений на ёмкости _С1 и отстают от тока по фазе на угол 90⁰ и откладываются на чертеже вниз по отношению к току. Вектор напряжения между зажимами цепи проводится с начала вектора тока в конец вектора _С3. На векторной диаграмме отмечаем треугольник напряжений ОАВ, из которого активная составляющая напряжения

Uа = U_R2 + U_R3

и реактивная составляющая напряжения

Uр = -U_С1 + U_L2 – U_С3.

Топографическая векторная диаграмма построена на рисунке 2.

Ua

O

φ

M_I= 0,5 А/см

М_U= 25 В/см

U_C1 U U_P

U_R3

U_R2 U_L2

U_C3

Рисунок 2

2 Расчёт разветвлённой цепи с помощью векторных диаграмм

Присоединяем заданные приёмники параллельно к источнику напряжения. Это значит, что цепь состоит из трех ветвей, для которых напряжение источника является общим. Схема цепи показана на рисунке 3.

Расчёт параллельной цепи выполняем по активным и реактивным составляющим токов.

Рисунок 3

Этот метод предусматривает использование схемы замещения с последовательным соединением элементов. В данном случае три параллельные ветви рассматриваются как три отдельные неразветвлённые цепи, подключенные к одному источнику с напряжением U. Поэтому в начале расчёта определяем полные сопротивления ветвей:

Z₁ = Хс₁ = 65 Ом.

Z₂ = = = 57.7 Ом.

Z₃ = = 60.5 Ом.

Углы сдвига фаз между напряжениями и токами в ветвях определяются также по синусу (или тангенсу):

Sinφ₁ = -1; j₁ = - 90°;Cosφ₁ = 0

Sinφ₂ = X_L2 / Z₂ = 56 / 57.7 = O.9705; j₂ = 76.05°; Cosφ₂ = 0.241.

Sinφ₃ = - X_C3/Z₃= - 23/60.5= - 0.38; φ3 = - 22.34°; Cosφ₃ = 0.9249.

Затем можно определять токи в ветвях по закону Ома:

I₁ = U / Z₁ =300 / 65 = 4.62 А.

I₂ = U / Z₂ = 300 / 57.7 = 5.2 А.

I₃ = U / Z₃ = 300 / 60.5 = 4.96А.

Для определения тока в неразветвлённой части цепи нужно знать активные и реактивные составляющие токов в ветвях и неразветвленной части цепи:

Ip₁ = I₁*Sinj₁= 4.62*(- 1) = - 4.62 A.

Ia₂ = I₂*Cosφ₂ = 5.2 * 0,241 = 1.25A;

Ip₂ = I₂*Sinφ₂ = 5.2 * 0,9705 = 5.05A;

Ia₃ = I₃*Cosj₃ = 4.96*0.9249 = 4.59 A.

Ip₃ = I₃*Sinj₃ = 4.96*(- 0.38) = - 1.88 A.

Активная и реактивная составляющие тока в неразветвлённой части цепи:

Ia = Ia₂ + Ia₃ = 1.25+4.59 = 5.84 A.

Ip = Ip₁ + Ip₂ + Ip₃ = - 4.62+5.05 – 1.88 = - 1.45 A.

Полный ток в неразветвлённой части цепи:

I = = = 6.02 A.

Угол сдвига фаз на входе цепи:

Sinφ = I_P / I = - 1.45/6.02 = - 0.2409; φ = -13.94⁰; Cosφ = 0.9706.

Активные, реактивные и полные мощности ветвей:

Q_C1 = I₁² *X_C1= 4.62² *65 = 1387 вар.

S₁ = U*I₁ = 300*4.62 = 1387 B*A.

P₂ = I₂² * R₂ = 5.2²* 14 = 379Вт.

Q_L2 = I₂² * X_L2 = 5.2² * 56 =1514 вар.

S₂ = U * I₂ = 300 * 5.2 =1560 В*А.

P₃ = I₃²*R₃ = 4.96²*56 = 1378 Bт

Q_C3 = I₃² * X_C3 = 4.96² * 23 =566 вар.

S₂ = U * I₂ = 300 *4.96 = 1488 В*А

Активные, реактивные и полные мощности всей цепи:

P = P₂ + P₃ = 379 + 1378 =1757 Вт.

Q = - Q_C1 + Q_L2 - Q_C3 = - 1387 +1514 -566 = - 439 вар.

S = = = 1811 В*А, или

S = U * I = 300*6.02 = 1806 В*А.

P = S*Cosφ = 1806 * 0,9706 = 1753 Вт.

Q = S * Sinφ = 1806*(- 0.2404) = - 434вар.

Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами напряжений M_U = 25 В/см и токов M_I = 0.5 А/см. Векторную диаграмму начинаем строить с вектора напряжения, который откладываем вдоль горизонтальной положительной оси. Векторная диаграмма токов строится с учётом того, что активные токи Ia₂ и Ia₃ совпадают по фазе с напряжением, поэтому их векторы параллельны вектору напряжения; реактивный индуктивный ток I_p2 отстает по фазе от напряжения, и его вектор строим под углом 90⁰ к вектору напряжения в сторону отставания; реактивные емкостные токи I_p1 и I_p3 опережают по фазе напряжение, и их векторы строим под углом 90° к вектору напряжения в сторону опережения. Вектор тока в неразветвлённой части цепи строим с начала построения в конец вектора емкостного тока Ip₃. Векторная диаграмма построена на рисунке 4.

Ia₂

M_I= 0,5 А/см

М_U= 25 В/см

I₂

I₁=Ip₁ Ip₂

OIa U

Ia₃

I₃ Ip₃ Ip

I

Рисунок 4

3 Расчёт сложных цепей переменного тока символическим методом

Электрическая схема цепи и комплексная схема замещения представлены на рисунке 5а и б соответственно.

Рисунок 5

Намечаем в независимых контурах заданной цепи, как показано на рисунке 5б, контурные токи I_K1 и I_K2 – некоторые расчётные комплексные величины, которые одинаковы для всех ветвей выбранных контуров. Направления контурных токов принимаются произвольно. Для определения контурных токов составляем два уравнения по второму закону Кирхгофа:

I_K1*(Z₁ + Z₂) – I_K2*Z₂ = E₂

- I_K1*Z₂+I_K2*(Z₂+Z₃)= E₃ - E₂

Подставляем данные в систему:

I_K1*(- j65+14+j56) – I_K2*(14+j56) = 230

-I_K1*(14+j56) +I_K2 *(14+j56+56 – j23) = j240-230

I_K1*(14-j9) – I_K2*(14+j56) = 230

-I_K1*(14+j56) + I_K2*(70+j33) = -230+ j240

Решаем систему с помощью определителей. Определитель системы:

=1277-j168+2940– j1568=4217-j1736

Частные определители :

= = 16100+j7590–16660-j9520= -560–j1930.

=-1060+j5430+3220+j12880 = 2160+j18310

Определяем контурные токи:

I_K1 = = = 0.0476-j0.438 A.

I_K2 = = = - 1.09+ j3.89 A.

Действительные токи в ветвях цепи определяем как результат наложения контурных токов:

I₁ = I_K1 = 0.0476 – j0.438 = 0.441 A

I₂ = I_K1-I_K2 = 0.0476.- j0.438+1.09- j3.89 = 1.14 – j4.33 = 4.48 A

I₃ = I_K2 = -1.09 + j3.89 = 4.04A.

Составляем уравнение баланса мощностей в заданной электрической цепи. Определяем комплексные мощности источников:

S_E2 = E₂* =230(1.14+j4.33) = 262+j996=1030B*A

S_E23= E₃* = j240*(-1.09 – j3.89) = 912 – j262 = 949B*A

Определяем комплексные мощности приёмников электрической энергии:

S₁ = I₁²*Z₁ =0.441²*( – j65) = – j12.6 =12.6 B*A

S₂ = I₂²*Z₂ = 4.48²*(14+j56) = 281+j1124=1159 B*A

S₃ = I₃²*Z₃ = 4.04²*(56 – j23) = 914– j375 =988B*A.

Уравнение баланса комплексных мощностей!

S_Е1 + S_E2=S₁ + S₂+S₃;

262+j996+912-j262 = – j12.6+281+j1124+914– j375

1174+ j734 @ 1182+ j749; 1385@ 1400

Относительная и угловая погрешности незначительны.

Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами токов M_I = 0.25 А/см и ЭДС M_E = 50 В/см. Векторная диаграмма в комплексной плоскости построена на рисунке 6.

4 Расчёт трёхфазной цепи при соединении приемника в звезду

Схема заданной цепи изображена на рисунке 7.

Определяем систе­му фазных напряжений генератора. Фазное напряжение:

U_Ф = Uл/= 380/1,73=220 В.

Комплексные фазные напряжения генератора:

U_A = U_Ф = 220 B

U_B = U_Ae^-j120 = 220e^-j120 = –110 – j191 B

U_C = U_Ae^j120 = 220e^j120 = –110 + j191 B

Определяем полные проводимости фаз приёмника:

Y_A = = j0,01538 См.

Y_B = = 0.0042-j0.0168 См.

Y_C = = 0.0153+j0.00628Cм.

Y_N=== j0.03125 См.

Рисунок 7

Узловым напряжением является в данном случае напряжение смещения нейтрали, которое определяется по формуле:

U_N=

= (j3.38-3.67+j1.05-2.88+j2.23)/(0.05075+j0.00486) = (-6.55+j6.66)/(0.0195+j0.03611)= 67+j218 = 228B.

Определяем фазные напряжения на нагрузке:

U_A^/ = U_A – U_N = 220- (67+j218) = 153-j218 = 266 B.

U_B^/ = U_B – U_N = (–110-j191) - (67+j218) = -177-j409 =446 B.

U_C^/ = U_C–U_N=(–110+j191) - (67+j218) = -177 – j27 = 179 B.

Определяем токи в фазах нагрузки:

I_A = U_A^/*Y_A = (153-j218)*(j0.01538) = 3.35+j2.35 = 4.1 A.

I_B = U_B^/*Y_B = (-177-j409)*(0.0042-j0.0168) = -7.61+j1.26 =7.72A.

I_C=U_C^/*Y_C= (-177 – j27)*(0.0153+j0.00628)=- 2,53–j1,52= 2,96A.

I_N= U_N*Y_N = (67+j218)*j0.03125 = - 6,8 + j2,09 = 7,12*

Проверяем правильность определения токов по первому закону Кирхгофа для точки N’:

I_A + I_B + I_C =I_N

3.35+j2.35 -7.61+j1.26 - 2,53 – j1,52 @ - 6,8 + j2,09;

- 6,79+j2.09 @ - 6,8 + j2,09.

Определяем комплексные мощности фаз и всей цепи:

S_A = I_A² * Z₁ = 4,1²*(-j65) = -j1092=1092 B*A.

S_B = I_B² * Z₂ = 7,72²*(14+j56) = 834+j3338 =3440 B*A

S_C = I_C² * Z₃ = 2,96²*(56-j23) = 491 – j 202 = 530 B*A.

S= S_A + S_B + S_C = -j1092+ 834+j3338+ 491 – j 202 = 1325+j2044 =

= 2436B*A.

Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами токов M_I = 1 А/см и напряжений M_U = 40 B/см. Векторная диаграмма на комплексной плоскости построена на рисунке 8.

5 Расчёт трёхфазной цепи при соединении приёмника в треугольник

Схема заданной цепи изображена на рисунке 9

Рисунок 9.

В данном случае линейные напряжения генератора являются фазными

напряжениями нагрузки:

U_AB = U_Л = 380 В.

U_BC = 380 = -190-j329 B.

U_CA = 380= -190+j329 B.

Определяем систему фазных токов нагрузки:

I_AB = = = j5,85 = 5,85 A

I_BC = = = -6,32+j1,81 = 6,58 A

I_CA = = = -4,96+j3,83 = 6,27A

Систему линейных токов определяем из соотношений:

I_A = I_AB – I_CA = j5,85+4,96-j3,83 = 4,96+j2,02 = 5,36 A

I_B = I_BC – I_AB = -6,32+j1,81-j5,85 = -6,32-j4,04 = 7,5A

I_C = I_CA – I_BC = -4,96+j3,83+6,32-j1,81 = 1,36+j1,92 =2,35 A

Определяем мощности фаз приемника:

S_AB=I_AB²*Z₁ = 5,85²*(-j65) = -j2224 = 2224B*A.

S_BC = I_BC²*Z₂ = 6,58²*(14+j56) = 606+j2425 = 2499B*A.

S_CA = I_CA²*Z₃ = 6,27²*(56 – j23) =2201– j904 = 2380*B*A.

Определяем мощность трехфазной нагрузки:

S_AB+S_BC +S_CA = -j2224+606+j2425+2201– j904 =2807 – j703 =

= 2894B*A.

Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами токов M_I =1 A/см и напряжений M_U = 50A/см. Векторная диаграмма построена на рисунке 10.

6 Расчёт неразветвлённой цепи с несинусоидальными напряжениями и токами

Составляем схему заданной цепи, подключая последовательно соединённые приёмники к источнику несинусоидального напряжения, под действием которого в цепи возникает ток с мгновенным значением

i=7Sin(wt+13⁰)+1,2Sin(2wt-86⁰)+0,4Sin3wt A,который на схеме замещения представляем как последовательно соединённые три источника переменного напряжения u₁, u₂ и u₃ c разными частотами (рисунок 11)

Величины сопротивлений заданы для частоты первой гармоники:

X_C11 = 18 Ом, R₂ = 23 Ом, X_L21 = 14 Ом, R₃ = 12 Ом, X_C31 = 62 Ом. Поскольку напряжения источников имеют разные частоты, то и реактивные сопротивления для них будут иметь разные величины. Активные сопротивления считаем от частоты не зависящими. Поэтому расчёт ведём методом наложения, то есть отдельно для каждой гармоники.

.

Рисунок 11.

Первая гармоника

Определяем активное и реактивное сопротивления всей цепи:

R = R₂ + R₃ = 14+56 = 70 Ом. X₁ = -X_C11+ X_L21- X_C31 = - 65+56–23 =

= -32 Ом.

Полное сопротивление цепи:

Z₁ = = = 76,7 Ом.

Амплитудные значения напряжения и тока:

I_m1 = 7 A, U_m1 = I_m1*Z₁= 7*76.7 =537 B.

Действующие значения напряжения и тока:

U₁ = U_m1 / = 537 / 1,41 = 381 B.

I₁ = I_m1 / = 7 / 1,41 = 4.96 A.

Угол сдвига фаз между напряжением и током определяем по синусу:

Sinφ₁ = X₁/Z₁ = -32/76.7 = - 0.4172. j₁= - 24.66°, Cosφ₁=0.9088.

Активная и реактивная мощности первой гармоники:

P₁ = I₁² * R = 4.96² * 70 =1722 Вт.

Начальная фаза тока определяется из соотношения:

φ₁ = y_U1 – y_I1, отсюдаy_U1 =y_I1 + j₁ = 13°- 24.66°= - 11.66°

Мгновенное значение напряжения первой гармоники

u₁= U_m1 * Sin (ωt + y_U1) = 537 * Sin (ωt – 11.66°) B.

Вторая гармоника.

Для остальных гармоник напряжения расчёты приводим без дополнительных разъяснений.

X₂= X_C11/ 2 + X_L21* 2 - X_C31 / 2 = -65/ 2 + 56* 2 - 23 / 2 = 68 Ом.

Z₂===97.6 Ом,

I_m2=1.2 A, U_m2= I_m2 *Z₂=1.2*97.6 =117 B.

U₂= U_m2/ =117 / 1,41 = 83 B.I₂= I_m2/ = 1.2 / 1,41 = 0.85 A.

Sin φ₂= X₂/ Z₂= 68/97.6= 0,6967.j₂ = 44.16°, Cos φ₂ = 0,7173.

P₂ = I₂² * R₂ = 0.85² *70 = 51 Вт.

y_U2 =y_I2 + j₂ = -86°+ 44.16°= - 41.9°

u₂= U_m2 * Sin (2ωt + y_U2) = 117 * Sin (2ωt – 41.9°) B.

Третья гармоника

X₃= X_C11 /3 + X_L11* 3 – X_C31 / 3 = - 65 / 3 + 56* 3 - 23 / 3 =139 Ом.

Z₃ = = 156 Ом. I_m3 =0.4 A, U_m3 = I_m3 *Z₃ =0.4 *156 =

= 62.4 B.

U₃= U_m3/ =62.4/ = 44.3 B. I₃ = I_m3/ = 0.4 / 1,41 = 0.28 A.

Sin φ₃ = X₃ / Z₃ =139 /156 = 0,891. j₃ = 63°. Cos φ₃ = 0,454.

P₃ = I₃² * R = 0.28² *70 = 0.5 Вт.

y_U3 =y_I3 + j₃ = 63°.

u₃= U_m3 * Sin (3ωt + y_U3) =44.3 * Sin (3ωt +63°) B.

Определяем действующие значения тока и напряжения:

I = = = 5.04 A.

U = = = 559 B.

Активная и реактивная мощности цепи:

P = P₁+P₂+P₃=1722+51+0.5=1774 Вт.

Средневзвешенный коэффициент мощности цепи:

Cos Х = Р / (U * I) = 1774/ (559 *5.04) = 0,6296.

Уравнение мгновенных значений напряжения между зажимами цепи:

u=u₁+u₂+u₃=537 * Sin (ωt – 11.66°)+117 * Sin (2ωt – 41.9°)+

+44.3 * Sin (3ωt +63°) B.

Литература

1. Ф.Е. Евдокимов. Теоретические основы электротехники. - М. “Высшая школа “,1981 г.

2. В.С. Попов. Теоретическая электротехника. – М. “Энергия”,

1978 г.

3. Ю.В. Буртаев, П. И. Овсянников. Теоретические основы электротехники.– М. “Энергоатомиздат”, 1984 г.

4. Л.А. Частоедов. Электротехника. - М. “Высшая школа”, 1984 г.

5. М.Ю. Зайчик. Сборник задач и упражнений по теоретической электротехнике. – М. “Энергоатомиздат” , 1988 г.