Розрахунок слідкуючої системи

Міністерство освіти і науки України

Полтавський національний технічний університет імені Юрія Кондратюка

Кафедра Автоматики та електроприводу

Курсова робота на тему:

Розрахунок слідкуючої системи

Зміст

1. Принцип дії системи

2. Диференційне рівняння розімкненої та замкненої систем

3. Передавальні функції САК

4. Структурна схема системи

5. Граничний коефіцієнт підсилення системи

6. Вибір коефіцієнта підсилення електронного підсилювача

7. Точність керування

8. Побудова характеристик

9. Корегування слідкуючої системи

10. Передавальні функції окремих елементів корегованої системи

11. Усталена похибка корегованої системи

12. Логарифмічні характеристики розімкненої корегованої системи

12.1 Логарифмічно-частотні характеристики

12.2 Перехідна функція замкненої корегованої системи

Література

1. Принцип дії системи

Система автоматичного керування (САК) складається з наступних елементів:

1) Вхідний потенціометричний пристрій (КО).

2) Елемент порівняння (суматор)

3) Електронний підсилювач (>)

4) Тиристорний перетворювач (ТП)

5) Двигун постійного струму (Д)

6) Редуктор (РЕД)

7) Робочий механізм (РМ)

8) Вихідний потенціометричний пристрій.

На вхід системи подається кут a, величина якого регулюється, який через потенціометр перетворюється у змінну напругу і поступає на один вхід елемента порівняння. На інший, інверсний, вхід поступає вихідний кут b , перетворений вихідним потенціометром у напругу. На виході суматора маємо напругу U₀ = К_в×(a – b) , яка збільшується електронним підсилювачем до значення U_n= K_гр ×U₀ , що потрапляє на тиристорний перетворювач, який виробляє керуючу напругу на виконавчий двигун Д . Двигун перетворює енергію напруги U_Д у кінематичну енергію обертання вала, яка через редуктор РЕД іде на робочий механізм РМ звідки вихідне значення кута b через потенціометр подається на елемент порівняння.

Таким чином САК на основі принципу відхилення забезпечує стабілізацію вхідного кута a і підтримує b = a .

Запишемо диференційні рівняння для окремих елементів системи:

1. Елемент порівняння: U_вих = U₀ = U_вх1 – U_вх2 = K_в ×a– K_в ×b= К_в×(a– b) , маємо

U₀ = К_в×(a– b)

Електронний підсилювач: U_вих = U_п = К_гр×U₀ ;

де К_в – граничний коефіцієнт підсилення електронного підсилювача.

2. Тиристорний перетворювач. З урахуванням інерційності СІФК диференційні рівняння перетворювача має вигляд:

U_д×(Т_пр + 1) = К_п×U_п.

3. Двигун постійного струму. Для складання диференційних рівнянь ДПС зробимо ряд припущень:

а) система абсолютно жорстка, тобто двигун має одну ступінь свободи;

б) статичний момент, приведений до вала двигуна, - постійний;

в) маса рухомих частин системи постійна;

г) реакція якоря – скомпенсована;

д) залежність кутової швидкості обертання вала двигуна від напруги якоря U_я – лінійна.

Е) потік двигуна постійний Ф = const.

Є) температура обмоток стала.

Із урахуванням припущень отримаємо рівняння роботи ДПС

(1) (2) (3)

(4)

Підставивши (2) і (3) в (1) матимемо: (5)

Підставивши (2) і (3) в (1) матимемо:

(6)

Введемо такі позначення:

– електромеханічна стала часу двигуна;(7)

– електромагнітна стала часу якоря;(8)

– коефіцієнт передачі двигуна по напрузі;(9)

– коефіцієнт передачі по збурюючому моменту. 10)

Підставляємо прийняті співвідношення в (6) і одержуємо:

(11)

Після перетворення Лапласа одержуємо:

(12)

Відомо, що індуктивність якоря – незначна (менша 0,0001 Гн). Опір R_я=2¸10 Ом. Враховуючи це електромагнітна стала часу якоря . Отже нею можна знехтувати: Т_я» 0.

Знаходимо передаточні функції двигуна:

(13) (14)

Для вихідних систем по куту маємо W(р) = j(р) × р

(15) (16)

Редуктор. Здійснює без інерційне пропорційне перетворення частоти обертання (кута) b = К_ред×j .

2. Диференційне рівняння розімкненої та замкненої систем

Для розімкненої САК маємо систему диференційних рівнянь, що описують окремі елементи САК:

U₀ = К_в×a

U_п = К_гр×U₀

U_д×(Т_пр + 1) = К_п×U_п (17)

j× р(Т_мр+1) = К_д×U_д

b = К_ред×j

Розв”язуючи систему (17) отримаємо диференційне рівняння розімкненої не корегованої системи:р×(Т_мр+1) ×( Т_пр + 1)×b = К×a

Де - К = К_в×К_гр×К_п×К_д×К_ред .

Підставляючи числа отримаємо: К = 12×К_гр×8×2,2×0,001= 0,21×К_гр

р×(0,35р+1) ×(0,016р + 1)×b=0,21·К_гр×a

Для замкненої САК маємо систему диференційних рівнянь, що описують окремі елементи САК:

U₀ = К_в×(a – b)

U_п = К_гр×U₀

U_д×(Т_пр + 1) = К_п×U_п (18)

j× р(Т_мр+1) = К_д×U_д

b = К_ред×j

Розв”язуючи систему (17) отримаємо диференційне рівняння розімкненої не корегованої системи:р×(Т_мр+1) ×( Т_пр + 1)×b + К×b = К×a

Підставляючи числа отримаємо:

р×(0,35р+1) ×(0,016р + 1)×b+ 0,21×К_гр×b =0,21К_гр×a

Для похибки замкненої САК використовуємо систему диференційних рівнянь (18), враховуючи, що e = a - b =>b = a – e.

Р×(Т_мр+1) ×( Т_пр + 1)×( a – e) + К × ( a – e) = К×a

р×(Т_мр+1) ×( Т_пр + 1)×e + К×e = р×(Т_мр+1) ×( Т_пр + 1) ×a

Підставляючи числа отримаємо:

р×(0,35р+1) ×(0,016р + 1) ×e + К ×e = р×(0,35р+1) ×(0,016р + 1) ×a

3. Передавальні функції САК

Передавальні функції розімкненої САК та замкненої САК відносно завдання, похибки та збурення знаходимо з відповідних диференційних рівнянь.

1) Передавальна функція розімкненої системи:

2) Передавальна функція замкненої системи відносно завдання:

3) Передавальна функція для похибки замкненої системи:

4) Передавальна функція замкненої системи відносно збурення:

5. Структурна (алгоритмічна) схема системи (Рис 1.)

4. Структурна (алгоритмічна) схема системи

5. Граничний коефіцієнт підсилення

Визначаємо граничний коефіцієнт підсилення не корегованої замкненої системи. Запишемо характеристичне рівняння САК:

Т_мТ_пр³ + (Т_м + Т_п)×р³ + р + К = 0

0,0056р³ + 0,366р² + р + 0,21К_гр = 0

Для стійкості необхідно виконання двох умов :

· Правило Стодоли : щоб усі три корені були додатніми, ця умова виконується.

· Критерій Гурвіца : для кубічного рівняння а₁×а₂ – а₀×а₃> 0

(Т_м + Т_п)×1 > Т_мТ_п×K_г=>

Отже К_г < 65.357

6. Вибір коефіцієнта підсилення електронного підсилювача

З умови, що запас стійкості має лежати в межах 2¸3 коефіцієнт підсилення дорівнює

К= К_г / 2,5= 65.357/2,5= 26,14

Приймаємо К = 26

Тоді коефіцієнт електронного підсилювача дорівнює:

К_гр = 26/0,21 = 123,8

7. Точність керування

Як відомо з курсу Теорії автоматичного керування усталена похибка слідкуючої системи дорівнює:

Де a₀ , f₀ – усталені значення завдання і збурення відповідно.

Оскільки ми не маємо даних стосовно збурю вальної дії М_с то ми нехтуємо другим доданком. Отже усталена похибка нашої САК дорівнює:

Отже робимо висновок, що система задовольняє необхідній точності.

8. Побудова характеристик

8.1Перехідна функція замкненої системи h(t)

Маємо a = 1/р тоді

Запишемо характеристичне рівняння системи :

0,0056р³ + 0,366р² + р + 26= 0 (19)

За допомогою ЕОМ знаходимо корені рівняння (19):

р₁ = -63,698;

р₂ = -0,829-8,497j;

р₃ = -0,829+8,497j.

Далі для знаходження оригіналу h(t) скористаємося другою теоремою Хевісайда , суть якої в наступному : якщо зображення F(p) функції f(t) має вигляд

;

то її оригінал дорівнює

де p_k– корені характеристичного рівняння.

В нашому випадку F₁(p) = 26;

F₂(p) = 0,0056р³ + 0,366р² + р + 26;

F’₂(р) = 0,0168р² + 0,732р + 1.

Знайдемо значення F’₂(р_к) , де p_k– корені характеристичного рівняння.

F’₂(р₁) = 0,0168(-63,698)² + 0,356(-63,698) + 1 = 22,538

F’₂(р₂) = 0,0168(-0,829-8,497j)² + 0, 356(-0,829-8,497j) + 1 = 6,037е ^-97,7j

F’₂(р₃) = 0,0168(-0,829+8,497j)² + 0, 356(-0,829+8,497j) + 1 = 6,037е ^97,7j

Знайдемо вираз для оригіналу h(t):

h(t) = 1 - 0,018е ^-63,698t+ 0,505e^{-0,829t– j(8,497+ 166,7)} + 0,505e^{-0,829t+ j(8,497t+166,7)}

h(t) = 1 – 0,018е ^–63,698t + 0,252e^-0,829t cos(8,497t + 166,7)

По одержаному аналітичному виразу будуємо графік

Рис. 2. Перехідна функція замкненої системи h(t)

8.2 Амплітудно-фазова характеристика замкненої системи. Передавальна функція замкненої системи:

Формальною заміною оператора р на jwодержуємо вираз для амплітудно-фазової характеристики.

Запишемо амплітудно-фазову характеристику у вигляді W(jw) = P(jw) + j×Q(jw)

Помноживши на спряжений вираз і зробивши перетворення одержимо:

ТодіP(w) =

Q(w) =

По одержаним рівнянням будуємо графік амплітудно-фазової характеристики.

Рис. 3. Амплітудно–фазова характеристика замкненої системи

Логарифмічно-частотні характеристики

Передавальна функція розімкненої системи має вигляд:

ЛАЧХ будуємо за допомогою спряжених частот

w₁ = 1/Т_м = 1/0,35= 28,57с^-1;w₂ = 1/Т_п = 1/0,016= 62.5с^-1;

wÎ[0, w₁] – пряма лінія з нахилом –20 (дб/дек);

wÎ[w₁, w₂] – пряма лінія з нахилом –40 (дб/дек);

wÎ [w₂, ¥] – пряма лінія з нахилом –60 (дб/дек);

ФЧХ системи складається з трьох складових j = j₁ + j₂ + j₃.

j₁ = -arctg(1/0) = -90°;

j₂ = -arctg(0,35×w);

j₃ = -arctg(0,016×w).

Тоді маємо j(w) = –90°– arctg(0,35×w) – arctg(0,016×w);

По одержаним залежностям будуємо графіки.

ЛАЧХ і ЛФЧХ розімкненої не корегованої системи:

Рис. 4. ЛАЧХ розімкненої не корегованої системи

Рис. 5. ЛФЧХ розімкненої не корегованої системи

9. Корегування слідкуючої системи

Корегування САК здійснюємо за допомогою пасивної диференційної ланки

Рис. 6. - Передавальна функція ланки має вигляд:

де Т₁ = R₁×C₁ = 65×10³×10×10^-6 = 0,65c

T₂= R₁×C₁×R₂/(R₁ + R₂) = 0,65×50×10³/(65+50)×10³ = 0,283c.

G₀ = T₂/T₁= 0,283/0,65 = 0,435

У структурній схемі корегуючу ланку ставимо після електронного підсилювача і перед тиристорним перетворювачем.

10. Передавальні функції окремих елементів корегованої системи

1) Передавальна функція розімкненої системи:

2) Передавальна функція замкненої системи відносно завдання:

3) Передавальна функція для похибки замкненої системи:

5) Передавальна функція замкненої системи відносно збурення:

11. Усталена похибка корегованої системи

Визначимо граничний коефіцієнт підсилення скорегованої системи.

Запишемо характеристичне рівняння скорегованої САК:

Т_мТ_п Т₂р⁴+((Т_м+Т_п)×Т₂+Т_мТ_п )р³+(Т_м+Т_п+Т₂)·р²+(1+KG₀T₁)p+КG₀ = 0

0,001132р⁴ + 0,12р³ +0,693р² + (1+0,283K)р + 0,435K= 0

Для стійкості необхідно виконання двох умов :

· Правило Стодоли: щоб усі три корені були додатніми, ця умова виконується.

· Критерій Гурвіца: для кубічного рівняння а₃ × (а₁×а₂–а₀×а₃)–а₁²× а₄> 0

а₀ = 0,001132а₁ = 0,12а₂ = 0,693а₃ = 1+ 0,283Kа₄ = 0,435K

Маємо квадратнунерівність К² – 184,4·К – 911,1= 0

Знаходимо корені К₁ = 189,2;К₂ = -4,8.

Вибираємо К = 189

З умови, що запас стійкості має лежати в межах 2¸3 коефіцієнт підсилення дорівнює

К= К_г/2,5 = 189/2,5 = 75,6

Приймаємо К = 75

Тоді коефіцієнт електронного підсилювача дорівнює:

К_гр = 75/0,21= 357,14

Усталена похибка слідкуючої системи дорівнює:

Де a₀ , f₀ – усталені значення завдання і збурення відповідно.

Оскільки ми не маємо даних стосовно збурю вальної дії М_с то ми нехтуємо другим доданком. Отже усталена похибка нашої САК дорівнює:

12. Логарифмічні характеристики розімкненої корегованої системи.

12.1 Логарифмічно-частотні характеристики розімкненої корегованої системи.

Передавальна функція розімкненої корегованої системи має вигляд:

ЛАЧХ будуємо за допомогою спряжених частот

w₁ = 1/Т₁ = 1/0,65= 1,54с^-1;w₂ = 1/Т₂ = 1/0,283= 3,53с^-1;

w₃ = 1/Т_м = 1/0,4= 2,5с^-1;w₄ = 1/Т_п = 1/0,01= 100с^-1;

wÎ[0, w₁] – пряма лінія з нахилом –20 (дб/дек);

wÎ[w₁, w₂] – пряма лінія без нахилу;

wÎ[w₂, w₃] – пряма лінія з нахилом –20 (дб/дек);

wÎ[w₃, w₄] – пряма лінія з нахилом –40 (дб/дек);

wÎ [w₄, ¥] – пряма лінія з нахилом –60 (дб/дек);

ЛАЧХ корегованої системи:

Рис. 7. ЛАЧХ розімкненої корегованої системи.

ЛФЧХ системи складається з трьох складових j = j₁ + j₂ + j₃ + j₄.

j₁ = -arctg(1/0) = -90°;

j₂ = -arctg(0,17×w);

j₃ = -arctg(0,008×w)

Тоді маємо j(w)=– 90°– arctg(0,4×w) – arctg(0,01×w);

По одержаним залежностям будуємо графік.

Рис. 8. ЛФЧХ розімкненої корегованої системи.

12.2 Перехідна функція замкненої корегованої системи

Передавальна функція замкненої корегованої системи має вигляд:

де G₀ = T₂/T₁= 0,283/0,65 = 0,435

Маємо a = 1/р тоді

Підставивши числові значення одержимо

Запишемо характеристичне рівняння системи:

0,001132р⁴ + 0,12р³ + 0,693р² + 22,22р + 32,62= 0

За допомогою ЕОМ знаходимо корені рівняння (19):

р₁ = –101,9;

р₂ = –2,175 – 23,961j= 24,06·e^85°j;

р₃ = –2,175 + 23,961j= 24,06·e^-85°j;

р₄ = –1,746.

Далі для знаходження оригіналу h(t) скористаємося другою теоремою Хевісайда , суть якої в наступному : якщо зображення F(p)функції f(t)має вигляд

;

то її оригінал дорівнює

де p_k– корені характеристичного рівняння.

В нашому випадку F₁(p) = 32,6·(0,65р + 1);

F₂(p) = 0,001132р⁴ + 0,12р³ + 0,693р² + 22,22р + 32,62;

F’₂(р) = 0,00453р³ + 0,36р² + 1,386р + 22,22.

Знайдемо значення F’₂(р_к) , де p_k– корені характеристичного рівняння.

F’₂(р₁)=0,001108(–130)³ + 0,1131 (-130)² + 0,764 (–130) + 21,4 = -600,8

F’₂(р₂)=0,001108(–2,175 – 23,961j)³ + 0,1131 (–2,175 – 23,961j)² + 0,764 · ·(–2,175 – 23,961j) +21,4 = -40,521+8,348j= 41,372e^-11,6°j

F’₂(р₃)=0,001108(–2,175 + 23,961j)³ + 0,1131 (–2,175 + 23,961j)² + 0,764 · ·(–2,175 + 23,961j) + 21,4 = -40,521-8,348j= 41,372e^11,6°j

F’₂(р₄)=0,001108(–1,746)³+0,1131(–1,746)² + 0,764 (–1,746) + 21,4=20,405

F₁(0) = 36,4F₂(0) = 36.4

F₁(р₁) = 36,4·(0,56 (–130) + 1) = -2614

F₁(р₂) = 36,4·(0,56 (–2,175 – 23,961j) + 1) = -7,935-488,421j= 488,485·e^89°j

F₁(р₃) = 36,4·(0,56(–2,175 + 23,961j) + 1) = -7,935+488,421j= 488,485·e^-89°j

F₁(р₄) = 36,4·(0,56 (-1,746) + 1) = 0,81

Знайдемо вираз для оригіналу f(t):

h(t)=1–0,0335е ^{-130 t}+0,49(е ^{-2,175t+(0,272-23,961t)j}+ е ^{-2,175t-(0,272-23,961t)j})-0,0227e^-1,746t

h(t)=1–0,0335е ^-130t–0,0227е ^-1,746t+0,245e^-2,175t×cos(-23,961t+ 0,272)

По одержаному аналітичному виразу будуємо графік.

Перехідна характеристика замкненої корегованої системи:

Рис. 9. Перехідна функція замкненої корегованої системи

Якість перехідного процесу характеризується величинами, які визначаємо з графіку:

- Час регулювання Т_рг = 1,4 с.

- Перерегулювання = 20,52

- Логарифмічний декремент затухання d=ln(h₂/h₁)=ln(0,18/0,52)=–1,061

- Запас за фазою – Dy(w) = ½-180° - j(w_с)½ = ½-180° – (-162°)½= 18°

- Запас за амплітудою – DL(w)=½L(w_-180)½=12ДБ ; (j(w_-180) = -180°)

Список літератури

1. Васильєв Д.В. “Системи автоматического управления”, Москва, “Высшая школа”, 1983 г

2. Попович М.Г “Теорія автоматичного керування ” 1994р.

3. Галай М. В., Бреус М.І “Методичні вказівки по курсовому проектуванню з ТАК” Полтава, ПолТУ.