Группировка статистических данных и ее роль в анализе информации

Содержание

Семестр 1_ 2

Группировка статистических данных и ее роль в анализе информации_ 2

Абсолютные, относительные, средние величины_ 2

Относительные величины_ 2

Средние величины_ 2

Статистические распределения и их характеристики_ 3

Показатели вариации (колеблемости) признака_ 4

Сложение дисперсий_ 4

Показатель асимметрии_ 5

Показатель эксцесса (островершинности) 5

Кривые распределения 5

Выборочное наблюдение 6

Формулы ошибок простой случайной выборки_ 7

Формулы для определения численности простой и случайной выборки_ 7

Типичная выборка_ 7

Серийная выборка_ 8

Малые выборки_ 8

Корреляционная связь_ 8

Уравнение регрессии_ 9

Ряды динамики_ 10

Показатели динамики_ 10

Средние показатели динамики_ 10

Тренды_ 11

Семестр 2 (Индексы) 11

Семестр 1

Группировка статистических данных и ее роль в анализе информации

Равный интервал, величина интервала - , m – число групп

Формула Стерджесса (величина интервала) - , n – число наблюдений

Абсолютные, относительные, средние величины

Относительные величины

Относительные величины (ОВ) динамики характеризуют изменение явления во времени. (Коэффициент роста)

Темп роста – с переменной базой - y_n – уровень явления за период (например, выпуск продукции по кварталам года)

С постоянной базой - , y_k – постоянная база сравнения

ОВ планового задания -

ОВ выполнения плана -

ОВ динамики -

ОВ структуры характеризуют долю отдельных частей в общем объеме совокупности (удельный вес) -

ОВ координации отражают отношение численности двух частей единого целого, т. е. показывают, сколько единиц одной группы приходится в среднем на одну, на 10 или на 100 единиц другой изучаемой совокупности.

ОВ координации -

ОВ наглядности (сравнения) отражают результаты сопоставления одноименных показателей, относящихся к одному и тому же периоду времени, но к разным объектам или территориям (например, сравнивается годовая производительность труда по 2-м предприятиям)

ОВ сравнения -

Средние величины

Степенные средние общего типового расчета:

Средняя степенная простая - , - индивидуальное значение признака, по которому рассчитывается средняя, n – объем совокупности (число единиц)

Средняя степенная взвешенная - , f_i – частота повторения индивидуального признака (=n)

_гарм. < _геом < _арифм < _{квадрат}, x=w/f

Гармоническая простая – когда небольшая совокупность и индивидуальные значения не повторяются. Используется, если исчисляем среднюю из обратных величин.

Средняя квадратическая – для расчета среднего квадратического отклонения, являющегося показателем вариации признаков

Средняя геометрическая простая – для вычисления среднего коэффициента роста (темпа) в рядах динамики, если промежутки, к которым относятся коэффициенты роста, одинаковы.

Статистические распределения и их характеристики

Мода – значение признака, которое наиболее часто встречается в совокупности

, - нижняя граница модального интервала (интервал с наибольшей частотой), - величина интервала, - частота в модальном интервале.

Медиана – значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

- положение медианы

, - нижняя граница медианного интервала, - накопленная частота интервала, предшествующего медианному, - частота медианного интервала.

Квартель

,

,

Дециль

, (от 1/10 до 9/10)

Показатели вариации (колеблемости) признака

Среднее линейное отклонение – на сколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от среднего его значения.

-для несгруппированных данных (первичного ряда):

-для вариационного ряда:

Среднее квадратическое отклонение

- для несгруппированных данных:

- для вариационного ряда:

Дисперсия

- для несгруппированных данных:

- для вариационного ряда:

Коэффициент вариации (используется для характеристики однородности совокупности по исследуемому признаку)

- до 17% – совокупность совершенно однородна, 17%-33% - достаточно однородна, >33% - неоднородна.

Сложение дисперсий

Величина общей дисперсии () характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц данной совокупности

, - общая средняя арифметическая для всей совокупности

Межгрупповая дисперсия () отражает систематическую вариацию, т. е. различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки

,- средняя в каждой группе, - число единиц в каждой группе

Средняя внутригрупповая дисперсия () характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других, неучтенных факторов, и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки.

, где - дисперсия по отдельной группе

или

Равенство:

Корреляционное отношение

, >0,5 – связь между групповым фактором и результирующим признаком – тесная, <0,5 – связь слабая

Показатель асимметрии

, - центральный момент третьего порядка

Средняя квадратическая ошибка: , n – число наблюдений

Если , асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным. Если , асимметрия несущественна, ее наличие объясняется влиянием случайных обстоятельств.

- правосторонняя асимметрия, - левосторонняя асимметрия.

Показатель эксцесса (островершинности)

, - центральный момент четвертого порядка

>0 – высоковершинное, < 0 – низковершинное (= -2 – предел)

Средняя квадратическая ошибка: n – число наблюдений

Кривые распределения

Кривая линия, которая отражает закономерность изменения частот в чистом, исключающем влияние случайных факторов виде, называется кривой распределения.

Плотность распределения (расчет теоретических частот)

, - нормированное отклонение

, - определяется по таблице (приложение 1)

Критерий согласия К. Пирсона (для проверки близости теоретического и эмпирического распределений, для проверки соответствия эмпирического распределения закону нормального распределения)

f – эмпирические частоты в интервале, f^’ – теоретические частоты в интервале

Критерий согласия Романовского

, m – число групп, m-3 – число степеней свободы при исчислении частот нормального распределения

Если к<3, то можно принять гипотезу о нормальном характере эмпирического распределения

Критерий Колмогорова

, D – максимальное значение разности между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами, n – сумма эмпирических частот

Распределение Пуассона (теоретические частоты)

, n – общее число независимых испытаний, λ – среднее число появления редкого события в n одинаковых независимых испытаниях, m – частота данного события, е=2,71828

Выборочное наблюдение

N – объем генеральной совокупности

n – объем выборочной совокупности (число единиц, попавших в выборку)

- генеральная средняя (среднее значение признака в генеральной совокупности)

- выборочная средняя

р – генеральная доля (доля единиц, обладающих данным признаком в генеральной совокупности)

w – выборочная доля

- генеральная дисперсия

- выборочная дисперсия

- среднее квадратическое отклонение признака в генеральной совокупности

S – среднее квадратическое отклонение признака в выборочной совокупности.

Неравенство Чебышеба

При неограниченном числе наблюдений, независящих друг от друга из генеральной совокупности с вероятностью сколь угодно близкой к 1, можно утверждать, что расхождение между выборочной и генеральной средней будет сколь угодно малой величиной .

Теорема Ляпунова

Дает количественную оценку ошибки. При неограниченном объеме из генеральной совокупности с Р расхождения выборочной и генеральной средней равна интегралу Лапласа

, - нормированная функция Лапласа (интеграл Лапласа)

Р – гарантированная вероятность

t – коэффициент доверия, зависящий от Р

- предельная ошибка выборки

, - стандартная среднеквадратическая ошибка

, - предельная (максимально возможная) ошибка средней, t – коэффициент кратности средней ошибки выборки, зависящий от вероятности, с которой гарантируется величина предельной ошибки

, - предельная (максимально возможная) ошибка доли

Средняя ошибка (n>30) при случайной повторной выборке:

,

При случайной бесповторной выборке:

,

Формулы ошибок простой случайной выборки

Доверительные интервалы для генеральной средней –

Доверительные интервалы для генеральной доли –

Доверительная вероятность – функция от t, вероятность находится по приложению3

Формулы для определения численности простой и случайной выборки

Типичная выборка

Применяется в тех случаях, когда из генеральной совокупности можно выделить однокачественные группы единиц (или однородные), затем из каждой группы случайно отобрать определенное число единиц в выборку.

Стандартная среднеквадратическая ошибка:

Повторный отбор - , - средняя из внутригрупповых

Бесповторный отбор -

Отбор единиц при типичной выборке из каждой типичной группы:

1.Равное число единиц , - число единиц, отобранных из i-ой типичной группы, n – общий объем, R – число групп

2.Пропорциональный отбор , - доля i-ой группы в общем объеме генеральной совокупности

3.Отбор единиц с учетом вариации случайного признака

Серийная выборка

Вместо случайного отбора единиц совокупности осуществляется отбор групп (серий, гнезд). Внутри отобранных серий производится сплошное наблюдение.

Средняя стандартная ошибка:

Повторный отбор - , , m – число отобранных серий, - средний уровень признака в серии, - средний уровень признака для всей выборочной совокупности

Бесповторный отбор - , M – общее число серий

Малые выборки

Выборки, при которых наблюдением охватывается небольшое число единиц (n<30)

Средняя ошибка малой выборки ,

Вероятность того, что генеральная средняя находится в определенных границах, определяется по формуле , - значение функции Стьюдента (приложение 4)

Корреляционная связь

Для оценки однородности совокупности – коэффициент вариации по факторным признакам

, совокупность однородна, если ≤ 33%

Линейный коэффициент корреляции

Несгруппированные данные

Сгруппированные данные -

Оценка существенности линейного коэффициента корреляции

при большом объеме выборки , . Если это отношение больше значения t-критерия Стьюдента (приложение 6, k=n-2, вероятность – 1-α)

при недостаточно большом объеме выборки ,

Корреляционное отношение , , где , ,

Коэффициент ассоциации

Коэффициент контингенции

Уравнение регрессии

Линейная

Гиперболичская

Параболическая

Показательная

Для проверки возможности использования линейной функции определяется разность , если она <0,1 то можно применить линейную функцию.

,m – число групп. Если < F-критерия, то можно. (Значение F-критерия определяется по таблице (приложение 5) α=0,05, число степеней свободы числителя (k₁ = m-2) и знаменателя (k₂ =n-m))

Достоверность уравнения корреляционной зависимости , - средняя квадратическая ошибка, y – фактические значения результативного признака, - значения результативного признака, рассчитанные по уравнению регрессии, l – число параметров в уравнении регрессии.

Если это отношение не превышает 10-15%, то уравнение хорошо отображает изучаемую взаимосвязь.

Ряды динамики

Показатели динамики

Средние показатели динамики

Тренды

Линейный

Пусть =0, тогда если количество уровней в ряду динамики нечетное, то временные даты (t) будут (-2, -1, 0, 1, 2). Если четное, то (-5, -3, -1, 1, 3, 5)

Семестр 2 (Индексы)

Индекс – относительная величина, характеризующая изменение уровней сложных социально-экономических показателей во времени, в пространстве или по сравнению с планом.

Индивидуальный индекс физического объема выпуска продукции

Индивидуальный индекс цен

Индивидуальный индекс затрат на выпуск продукции

Индивидуальный индекс стоимости продукции

Агрегатный индекс физического объема продукции (Относительное изменение физического объема продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным)

- характеризует абсолютное изменение физического объема в относительном выражении без влияния ценового фактора.

Средний взвешенный арифметический индекс физического объема продукции , i_q – индивидуальный индекс по каждому виду продукции

Средний взвешенный гармонический индекс физического объема продукции

Агрегатный индекс цен (характеризует среднее изменение цен по совокупности различных видов продукции)

- абсолютное изменение всей стоимости продукции за счет изменения цен

Агрегатный индекс цен (характеризует среднее изменение цен на потребительские товары)

Агрегатный индекс затрат на выпуск всей продукции

Двухфакторный индекс

Связь:

Индекс планового задания

Индекс степени выполнения плана

Связь:

Изменение себестоимости продукта А по фирме , средняя себестоимость -

Индекс влияния структурных сдвигов в объеме продукции , d₀ – удельный вес каждого предприятия в общем объеме выпуска продукта А

Абсолютное изменение общей стоимости продукции за счет двух факторов: , за счет изменения физического объема продукции -, за счет изменения цен на продукцию -

Абсолютное изменение общих затрат на выпуск продукции за счет двух факторов: , за счет изменения физического объема продукции - , за счет среднего изменения себестоимости единицы продукции - .

Выработка - W = Q/T , W – выработка, Q – физический объем реализованной продукции/услуг, T – затраты живого труда (среднесписочная численность работников/рабочих)

Трудоемкость (показатель, обратный выработке) - t = 1/W = T/Q Трудоемкость характеризует величину затрат рабочего времени на единицу произведенной продукции.

Индекс динамики выработки переменного состава, определяющий отношение выработки отчетного периода к выработке базисного периода - I_w = W₁/W₀

Этот индекс характеризует изменение производительности труда под влиянием всех факторов, а именно: НТП, человеческого фактора (квалификация и т.п.) и др.

Индекс динамики трудоемкости - I_t = t₁/t₀

Индекс динамики трудоёмкости характеризует изменение трудоёмкости в отчетном периоде по сравнению с базисным, и его величина зависит от изменения трудоёмкости производимой продукции и от изменения объемов производства этой продукции.

I_Q = I_W * I_T – система связанных индексов, которая позволяет определить влияние интенсивных и экстенсивных факторов на изменение объема продукции, услуг.

Среднегодовая стоимость основных фондов в базисном и отчетном годах - , - введенные в эксплуатацию фонды в течение года, - число месяцев эксплуатации фондов в данном году, - фонды, выбывшие из эксплуатации в течение года, - число месяцев, оставшихся до конца года после выбытия фондов из эксплуатации.

Фондоотдача -.

Фондоёмкость – показатель, обратный фондоотдаче, за базисный и отчетный годы по формуле

Индекс динамики фондоотдачи I_Vп.с.= = Этот индекс характеризует изменение фондоотдачи под влиянием всех факторов, включая НТП (новая техника, технология), человеческий фактор, структурный фактор, который на уровне АО может выражаться в изменении состава основных фондов в отчетном по сравнению с базисным годом.

Индекс динамики фондоемкости

Влияние интенсивного (качественного) и экстенсивного (количественного) факторов на абсолютное изменение физического объема продукции/услуг. Под экстенсивным фактором обычно понимают абсолютное изменение основных фондов. Под интенсивным – абсолютное изменение показателя фондоотдачи.

Влияние экстенсивного фактора:

Влияние интенсивного фактора:

Влияние обоих факторов:

Показатели фондовооруженности рабочих , - среднесписочная численность рабочих.

Индекс динамики фондовооруженности:

Коэффициент износа основных фондов на конец отчетного года

Износ фондов на конец отчетного года