Закон кубов Дебая

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН

АЛЬМЕТЬЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ

Кафедра физики

Реферат

на тему:«Закон кубов Дебая»

Выполнил студентгруппы 18-13В Гонтарь И. В. Преподаватель: Мухетдинова З. З.

Альметьевск 2010

Содержание:

1. Энергия кристаллической решетки …………………………… 3

2. Модель Эйнштейна …………………………………………….. 6

3. Модель Дебая ………………………………………………….. 7

4. Закон кубов Дебая ……………………………………………… 8

5. Достижения Дебая ……………………………………………… 9

6. Список литературы …………………………………………….. 12

Энергия кристаллической решетки

Особенность твердого тела - наличие дальнего и ближнего поряд­ков. В иде­аль­ном кристалле частицы занимают определенные положения и не надо учи­тывать N! при статистических расчетах.

Энергия кристаллической решетки одноатомного кристалла состоит из двух ос­новных вкладов: E = U_o + E_кол. Колеблются атомы в решетке. У многоатомных частиц, образующих кристалл, надо учитывать и внутренние степени свободы: коле­ба­ния и вращения. Если не учитывать ангармоничность колебаний атомов, дающую зависимость U_o от температуры (изменение равновесных положений атомов), U_o можно приравнять потенциальной энергии кристалла и не зависящей от Т. При Т = 0 энергия кристаллической решетки, т.е. энергия для удаления частиц кристалла на бес­­­­конечное расстояние будет равна Е_кр = - E_о = - ( U_o + E_о,кол).

Здесь E_о,кол - энер­гия нулевых колебаний. Обычно эта величина имеет поря­док 10 кДж/ моль и много меньше U_o. Считают Екр = - Uo. (Метод наибольшего слагаемого). Екр в ионных и молеку­лярных кристаллах до 1000 кДж/моль, в молеку­ляр­ных и в кристаллах с водород­ны­ми связями: до 20 кДж/моль (СР₄ - 10, Н₂О - 50). Величины опре­де­ля­ют из опыта или считают на основе какой-либо модели: ионное взаимодействие по кулону, ван-дер-ваальсовы силы по потенциалу Сазерленда.

Рассмотрим ионный кристалл NaCl, имеющий гранецентрированную кубичес­кую решет­ку: в решетке у каждого иона 6 соседей противоположного знака на рас­сто­янии R, в следующем втором слое 12 соседей того же знака на расстоянии 2^1/2 R, 3-ий слой: 8 ионов на расстоянии 3^1/2R, 4-ый слой: 6 ионов на расстоянии 2R и т.д.

Потенциальная энергия кристалла из 2N ионов будет U = Nu, где u - энергия энергия взаимодействия иона с соседями. Энергия взаимо­дей­ствия ионов состоит из двух чле­нов: короткодействующего отталкивания за счет ва­лентных сил (1-й член) и притяже­ния или отталкивания зарядов: знак + для отталкивание одинако­вых, - притяжения разных ионов. e -заряд. Введем величину приведенного расстояния р_ij = r_ij / R, где r_ij - рас­стояние между ионами, R - параметр решетки.

Энергия взаи­мо­­действия иона со всеми сосе­дями где

постоянная Маделунга = 6/1 - 12/2^1/2 + 8/3^{1/2 -} 6/2 + .... Здесь - для оди­на­ковых по знаку заряда ионов, + для разных. Для NaCl a = 1,747558... A_n = S 1/ p_ijⁿ в первом члене. Расстояние R_o (половина ребра куба в данном случае) отвечает ми­ни­­муму по­тен­циальной энергии при Т = 0 и его мож­но определить из данных крис­тал­лографии и зная потенциал отталкивания. Очевидно, что и тогда

От­­сюда находим A_n и энергия или .

n - параметр по­тенциала отталкивания и обыч­­но ³ 10, т.е. основной вклад вносит кулоновское взаимодействие (считаем при этом, что R заметно не зависит от Т), а отталкива­ние дает менее 10%.

Для NaCl кулоновское взаимодействие 862, отталкивание 96 кДж/моль (n = 9). Для молекулярных кристаллов можно считать по потенциалу 6-12 и энергия будет равна

z₁ - число атомов в 1-ой коорди­на­ци­онной сфере, R₁ - ра­диус первой координационной сферы, b - параметр потен­циала.

Для неионных кристаллов надо учитывать колебательную составляющую энер­­гии. Поступательные и вращательные движения при абсолютном нуле от­сут­ст­ву­ют. Остается колебательная составляющая энергии. Колебаний 3N - 6, но посту­пате­льные и вращательные относятся к кристаллу в целом. Грубо можно счи­тать 3N, т.к. N (велико, число частиц в кристалле). Тогда все 3N степеней свободы крис­тал­ла из N час­тиц колебательные. В принципе легко посчитать сумму по состояниям и тер­моди­на­ми­ческие функции. Но надо знать спектр частот колебаний кристалла. Дело в том, что смещение частицы вызывает смещение других и осцилляторы связа­ны. Полная сумма по состояниям колебательного движения будет определена:

.

Т.к. это кристалл, то на N ! делить не надо. Средняя энергия равна производной lnZ по Т при постоянном V, умноженной на kT². Отсюда энергия решетки равна сумме вкладов потенциаль­ной и колебательной энергии,

а энтропия S = E/ T + k ln(Z).

Для расчета используют две основные модели.

Модель Эйнштейна

Все частоты считаются одинаковыми: совокупность одно­мер­­­ных гармонических осциллятров. Сумма по состояниям трехмерного осциллято­ра состоит из 3 одинаковых членов q = [ 2sh(hn/ 2kT)]^-3. Для N частиц будет 3N сом­но­­жителей. Т.е. энергия

При высоких Т, разлагая экспоненту в ряд, предел sh(hn/ 2kT) = hn/ 2kT и

Энтропия колебательного движения

Теплоемкость кристаллов:

У ОП ошибка. Отсюда при больших Т >> q_Э = hn/ k предел C_v ® 3Nk: За­кон Дюлонга-Птидля одноатомных кристаллов. И(Экспонента быстро стремится к 0).

В классическом приближении Е_кол без нулевых колебаний равна 3NkT и вклад ко­лебаний в теплоем­кость 3Nk = 3R. Расчет по Эйнштейну: нижняя кривая, более за­метно отклоня­юща­яся от опытных данных.

Модель Эйнштейна дает уравнение состояния твердого тела: (по Мелвин-Хьюзу)

u_o = - q возгонки, m, n - опытные параметры, так для ксе­нона m = 6, n = 11, a_o - меж­атомное расстояние при Т = 0. Т.е. pV/ RT = f(n, a_o, n, m).

Но вблизи Т = 0 предположения Эйнштейна об одинаковых частотах не рабо­тает. Осцилляторы могут различаться силой взаимодействия и частотой. Опыт при низких температурах показывает кубическую зависимость от температуры.

Модель Дебая

Дебай предложил модель существования непрерывного спектра час­­тот (строго для низких частот, для тепловых колебаний - фононов) вплоть до не­кой мак­си­мальной. Функция распределения по частотам гармони­чес­ких осци­ллято­ров имеет вид, где c_l, c_t - скорости распростра­нения про­дольных и поперечных волн колебаний. При частотах выше максимальной g = 0.

Площади под двумя кривыми должны быть одинаковыми. Реально существует неко­торый спектр частот, кристалл неизотропен (обычно этим пренебрегают и полагают скорости распространения волн по направлениям одинаковыми). Может быть, что мак­­­­­­симальная частота Дебая выше реально существующих, что следует из условия равенства площадей. Значение максимальной частоты определяется по условию, что полное число коле­баний равно 3N (при этом пренебрегаем дискретностью энер­гии) и , с - скорость движения волны. Полагаем, что скоро­сти c_l и c_t равны. Характеристическая температура Дебая Q_D = hn_м / k.

Введем х = hn/ kT. Средняя энер­­гия колебаний тогда при максимальном

х_м = Q _D/ T

Второй член под интегралом даст Е нулевых колебаний Е_о = (9/8)NkQ_D и тогда ко­ле­бательная энергия кристалла:

Так как U_o и Е_o не зависят от Т, то вклад в теплоемкость даст 2-й член в выражении для энергии.

Вве­дем функцию Дебая

При высоких Т получим очевид­ное D(x) ® 1. Диф­­фе­рен­­­­­цируя по х, получим .

При высоких Т предел C_V = 3Nk, а при низких: .

При малых Т верхний пре­дел интегрирования стремится к бесконечности, E - E_o = 3Rp⁴T⁴/5Q_D³ и получим формулу для определения C_v при Т® 0: где

Получили Закон кубов Дебая.

Закон кубов Дебая.

Характеристическая темпе­ратура Дебая зависит от плотности кри­с­талла и скорости распространения колебаний (звука) в кристалле. Строго инте­грал по Дебаю надо решать на ЭВМ.

Характеристическая температура Дебая (Физ. энциклопедия)

Na 150 Cu 315 Zn 234 Al 394 Ni 375 Ge 360 Si 625

A.У 157 342 316 423 427 378 647

Li 400 K 100 Be 1000 Mg 318 Ca 230 B 1250 Ga 240

As 285 Bi 120 Ar 85 In 129 Tl 96 W 310 Fe 420

Ag 215 Au 170 Cd 120 Hg 100 Gd 152 Pr 74 Pt 230

La 132 Cr 460 Mo 380 Sn(белое) 170, (серое) 260 C(алмаз) 1860

Для оценки характеристической температуры Дебая можно пользоваться эмпири­че­с­кой формулой Линдеманна: Q_D =134,5[Тпл/ (АV^2/3)]^1/2, здесь А - атомная масса ме­тал­ла. Для температуры Эйн­штейна аналогично, но 1-ый множитель берут 100.

Достижения Дебая

Дебай – автор фундаментальных трудов по квантовой теории твердого тела. В 1912 он ввел представление о кристаллической решетке как об изотропной упругой среде, способной совершать колебания в конечном диапазоне частот (модель твердого тела Дебая). Исходя из спектра этих колебаний показал, что при низких температурах теплоемкость решетки пропорциональна кубу абсолютной температуры (закон теплоемкости Дебая). В рамках своей модели твердого тела ввел понятие характеристической температуры, при которой для каждого вещества становятся существенными квантовые эффекты (температура Дебая). В 1913 вышла одна из самых известных работ Дебая, посвященная теории диэлектрических потерь в полярных жидкостях. Примерно в это же время были опубликованы его работы по теории дифракции рентгеновских лучей. С изучением дифракции связано начало экспериментальной деятельности Дебая. Вместе со своим ассистентом П.Шеррером он получил рентгенограмму тонко измельченного порошка LiF. На фотографии были отчетливо видны кольца, получающиеся при пересечении рентгеновских лучей, дифрагировавших от случайно ориентированных кристалликов вдоль образующих конусов, с фотопленкой. Метод Дебая – Шеррера, или метод порошков, долгое время применялся в качестве основного при рентгеноструктурном анализе. В 1916 Дебай совместно с А.Зоммерфельдом применил условия квантования для объяснения эффекта Зеемана, ввел магнитное квантовое число. В 1923 объяснил эффект Комптона. В 1923 Дебай в соавторстве со своим ассистентом Э.Хюккелем опубликовал две большие статьи по теории растворов электролитов. Изложенные в них представления послужили основой теории сильных электролитов, получившей название теории Дебая – Хюккеля. С 1927 интересы Дебая сосредоточились на вопросах химической физики, в частности на изучении молекулярных аспектов диэлектрического поведения газов и жидкостей. Он занимался также исследованием дифракции рентгеновских лучей на изолированных молекулах, что позволило определить структуру многих из них.

Основным объектом научных интересов Дебая во время его работы в Корнеллском университете стала физика полимеров. Он разработал метод определения молекулярного веса полимеров и их формы в растворе, основанный на измерении рассеяния света. Одна из последних его крупных работ (1959) была посвящена вопросу, чрезвычайно актуальному и сегодня, – изучению критических явлений. Среди наград Дебая – медали Х.Лоренца, М.Фарадея, Б.Румфорда, Б.Франклина, Дж.Гиббса (1949), М.Планка (1950) и др. Умер Дебай в Итаке (США) 2 ноября 1966.

Дебай — выдающийся, представитель голландской науки — получил Нобелевскую премию по химии в 1936 г. Обладая исключительной разносторонностью, он внес большой вклад в развитие не только химии, но и физики. Эти заслуги принесли Дебаю большую известность; ему присвоили почетные звания Доктора наук более 20 университетов мира (Брюссельский, Оксфордский, Бруклинский, Бостонский и другие). Он был награжден многими медалями и премиями, в том числе Фарадея, Лоренца. Планка. С 1924 г. Дебай — чл.-корр. АН СССР.

Список литературы

1. Бушманов Б.Н., Хромов Ю.А. Физики твёрдого тела. - М.,1971г.

2. Детлаф А.А.Курс физики. - М.,1973г.

3. Даниленко В.М. Что такое твёрдое тело? - Киев,1983г.

4. Китайгородский А.И. и Федин Э.И. Атомное строение и свойства твёрдых тел. - М.,1963г.