Техника и электроника СВЧ (Часть 1)

Лекція1

Існуютьлокаційніпристрої, якіповинні працюватина ~мм,~100ГГц.Оскільки~1м маютьмалу роздільнуздатність, аоптичний діапазоншвидко поглинаютьсяпостає необхідністьвивчення НВЧдіапазону.

Перші НВЧприлади виниклипід час 2-ї світовоївійни при створенніРЛС. ЗастосуванняНВЧ електроніки:

1. Малопотужнаелектроніка:НВЧ телебачення– супутникове,мобільні телефони,комп’ютери.

2. Потужнаелектроніка:НВЧ - піч, РЛ –електроніка.

Фізичніпричини виділеннядіапазону НВЧ

D –розмір об’єкта.При -закон Кірхгофа,Ома, -використовуютьсязакони променевоїоптики, - НВЧ діапазон,диференційнаінтерференція.Отже в НВЧ неможемо користуватисьзаконами Кірхгофаі геометричноїоптики. ЗакониКірхгофа маютьмісце до якихосьчастот та швидкостірозповсюдженняінформації– швидкостісвітла.

Розглянемомалюнок. Данийланцюг можнарозрахуватиза допомогоюзакону Ома,поки генератор– постійногоструму. Розглянемозмінну напругу:електрон почнерух тоді, колисигнал пропотенціал дійдедо нього: .Якщо частотагенераторатака, що ,то в той час,як електронрухається водну сторону,генератор вжесформувавзворотнійпотенціал,тобто існуютьструми в різнихнапрямках. Отжене можна використовуватизвичайні закони.

Описанийефект – ефектзапізнення.

1. на частотіпри таких працюютьРЛС. На частоті10ГГцпри ніякихзаконів Кірхгофа,Ома вже застосовуватине можна.

2. Виникненнявипромінювання.При змінномуструмі можливевипромінювання,на його характеристикивпливає відстаньміж дротамипо відношеннюдо .50Гц: ~100км.Тому зі збільшеннямчастоти основнаенергія знаходитьсяпоза провідникому вигляді поля.

3. При високійчастоті – густинаструму розподіленанерівномірно,електронирухаються вскін шарі товщиною~1мкм.Тому опір потрібнорахувати іншимизаконами.

Найбільшрозвинутийоптичнийдіапазон НВЧ.

РівнянняМаксвела 2-огопорядку описуютьвсі електромагнітніявища:

де -густина струму,-напруженістьЕП, -напруженістьМП, -індукція МП,-індукція ЕП,-густина заряду,-поверхневийструм.

Поки що монопольДірака не виявлено.

Знакирозставленовідповіднодо положеннявекторів ,та напрямкурозповсюдженняхвилі -утворюють правутрійку. Це – невсі рівнянняМаксвела, утакій форміїх іноді називаютьрівняннямиГерца.

Рівняннязаписано вСГСЕ. В системіСІ не буде ,-це зручно, алев СІ опір вільногопростору скінчений,що немає фізичногозмісту.

Ці диференційнірівняння вчастиннихпохідних другогопорядку неоднорідні.Хоча з точкизору математикирівняння Максвелалінійні. Алелінійні рівнянняніколи не описуютьпідсилення,генерації іт.д. Електромагнітніпроцеси нелінійні.Нелінійністьобумовлюєтьсяречовиною, якуописують рівняння:.Народженняелектрону -позитивноїпари в вакуумі– нелінійнийпроцес. Крімцього можнагенеруватигармоніки, 1 з10⁵⁰фотонів зливаютьсяі дають новийфотон.

,(А/см²),поверхневийструм - ,(А/см).

Матеріальнерівняння –рівняннянеперервності..Ніякого струмуне може бутиякщо заряд невиноситься.

-що виноситься

-що залишаєтьсяв середині.

-це рівнянняв частиннихпохідних, томудуже важливіграничні тапочатковіумови. Всі фізичніполя неперервніз точки зоруфізики.

Граничніумови: ,.

Магнітнеполе всерединіметалу(маєуявні розриви):.

Не буваєнульової товщинитому всерединіметалу будеплавний перехід,тому що полянеперервні.

В векторномувигляді:

(1)

(2)

Якщо змінимограничні умови,то все повністюзмінюється.-права трійка.Тому знак “-“в .

У рівнянняхв комплекснійформі цьогонемає. Мінустам може бутив 1-му і 2-му рівняннів системі (*).

Граничніумови в металі:.

Граничнаумова в ідеальномуметалі: (для нетензорногосередовища).-для металу.

Якщо присутнє,то за рахуноксили Лоренцавиникає струм.Для напівпровідника:

У застосуванніграничних умовголовне те, щоми не розв’язуєморівняння всередині матеріалу,а розв’язуєморівняння лишена поверхні.

Лекція10

Реальнийсмушковийнесиметричнийхвильовід.

У попереднійзадачі ми нехтуваливсіма розмірами– розглядалиідеальнийвипадок. Теперрозглянемореальний:скористаємосятими самимимоделями: нехайрозповсюджуєтьсяТ – хвиля, а мирозглядаємоодну половину(симетрія).

Використаємоконформнівідображення:.Тут ,,,,,.

Точка визначаєтьсяобраним масштабом;ми знайдемоїї потім з граничнихумов. Такимчином ми маємо:.Проінтегрувавши,маємо: .

Лініяз втратами

Нехайіснують лишевтрати в металі.Для їх розрахункупотрібно знайтиструм .Для цього можнавикористативектор Умова-Пойтінга.Треба розрахуватипотік енергіїз лінії в метал.Знайдемо частину:

.Оскільки мирозглядаємоТ – хвилю, то;тому втратенергії немає(це для ідеальноїхвилі). Щоб наблизитизадачу до реальної,потрібно використатиграничні умовиЛеонтовича:.Тоді все рівноале друга складовазберігається:.Підставивши,одержимо: ,тут -середовищекуди іде хвиля.

Теперзнайдемо повнупотужність,що входить уметал: це ,але можна розрахуватина одиницюдовжини хвильовода.Для цього розрахуємопо контуру ,і це буде потужністьна 1 см.

.Тоді втратихарактеризуються-потужність,що розповсюджуєтьсяв лінії. Воназменшуєтьсяз відстанню:.

Сталазатухання: .

Мизнаємо ,знайдемо .Для цього запишемовектор Умова-Пойтінгадля хвилі, щорозповсюджуєтьсяв хвилеводі:.Ця хвиля розповсюджуєтьсяпо всій площині,тому .Ми одержалив (*) знак “-“. Однакми не будемоставити його(оскільки призміні напрямкузнак змінюється,то вважатимемопросто завдяки симетріїзадачі). Такимчином: .Оцінимо цювеличину:

Введемонаближення:будемо враховуватиполе лише узаштрихованійділянці, оскількитут більшачастина (тому,що ця потужністьзумовленаємністю, а вонасконцентрованав цій ділянці).

- характеризуєякість лінії,але частішевикористовуютьдобротністьлінії: ,де (по аналогіїз добротністюКК: ).

Для

• Хвильоводів- ;

• Коаксіальнихкабелів - ;

• Мікросмушковихліній - .

Оцінимодовжину хвильовода,в якому хвилязатухає в разів при :.Крім втрат уметалі, існуютьі інші механізми– для них тежможна обчислити,яке додаєтьсядо нашого. Наприклад,це витрати навипромінювання(радіаційні):.Де -опір лінії.Існують такождіелектричнівтрати (розглянемонижче); найкращийдіелектрик– тефлон.

Розглянемохвильовий опірлінії: ;або ,де С – ємністьлінії. Обчислившиїї, одержимо:[Ом].

Лекція11

Симетричнасмушкова хвильовід.

Скористаємосятими самиминаближеннями:

1. Т– хвиля; рівняння Лапласаконформнівідображення.

2. Розглянемополовину (симетрія).

ЗастосуємоперетворенняКристофеля-Шварца.Далі – аналогічнопопереднімзадачам. Розв’язавши,одержимо картинкуполів:

Її параметри:.Тут менше, аніж упопереднійлінії, оскількиємність тутбільша. Однак,тут менше не в 2 рази,оскільки упопередньомухвильоводіємність враховуваласьі до верхньоїсторони верхньоїсмужки, і донижньої (див.Мал.), тому тамємність більша,аніж у звичайномуконденсаторі.

Довжинахвилі для симетричносмушкової лінії,якщо всі трисмушки знаходятьсяв середовищі.

Відкритілінії.

Тут смужкана шарі діелектрику.Тоді:

• Зверху- .

• Знизу- .

Томувикористовуютьдеяке ефективне:,треба знайтичастину енергії,яка йде подіелектрику.Нехай ця частинав .Тоді: .Часто використовуютьтаку наближенуформулу: .

Лекція12

Повільніхвилі.

Для багатьохелектричнихприладів необхідноотримати хвилю,що рухаєтьсязі швидкістю.Це зокремастосуєтьсяприладів, уяких відбуваєтьсяпередача енергіїта інформаціївід хвилі іншимносіям. Однак,згідно Ейнштейну,хвилі у вакуумірухаються зішвидкістюсвітла, а будь-якийінший носій(наприклад )не може рухатисязі швидкістю.

1. Длястворенняуповільнениххвиль використовуютьсярізні спеціальніхвильоводи:

Передачаенергії віделектричногопотоку до ЕМ– поля називаєтьсяефектом Вавілова-Черенкова.Він виникає,коли швидкостіелектричногопотоку та ЕМ– хвилі рівні.

2. .Метод передачіенергії: вдіелектрику– вузький канал,куди запускаютьпотік електронів.

3. Метод уповільнення:використовуютьсядифракційніефекти.

Розглянемопрямокутнийхвильовід здіелектрику:

Розповсюдженняхвилі в брускуз діелектриком– за рахунокповного відбиття.Це – відкритідіелектричніхвильоводи(бо немає металевихстінок) абосвітловоди.На практицівикористовуютьсякруглі волокна(див. мал.) – fiber-glass.

Досягненняполягає в тому,що немає металу,яким обумовленабільшістьвтрат. Ця лініятакож є уповільнюючою,бо:

2. непрямолінійнерозповсюдженняхвилі, .

Хвиля існуєне лише в хвильоводі,але й в металі,бо хвильовід– відкритий.

ВисновкиЕйнштейна проте, що фотон увакуумі рухаєтьсязі швидкістю,стосуєтьсявільногонескінченногопростору, томуза межами хвильоводанеподалік віднього поле є,і воно рухаєтьсязі швидкістю;проте на поля бути неможе черезекспоненційнеспадання поля.

З іншихміркувань:хвиля не виходитьз діелектрику,тому, що всерединішвидкість тобто імпульс;і згідно з закономзбереженняімпульсу хвиляне може вийтиз хвильоводу,бо за його межамиімпульс маєбути .Єдина умовавиходу хвиліз хвильоводу– тоді, колишвидкість хвилів хвильоводістане рівноюс (імпульсивсередині ізовні – однакові).

Розрахуємополе у fiber-glass:шукаємо хвилюЕ або ТМ.

Розв’язкиобох рівнянь(для зовнішньогота внутрішньогосередовища)необхідноприрівнятипри (на границі):;.

В циліндричнійСК: .Запишемо рівняннядля скалярноїфункції: .Розглянемосиметричнірозв’язки: ..

.

Якщо областьмістить точку;то розв’язокзручно братиу вигляді функційХанкеля, босаме в базисіє функція, щоекспоненційнопрямує до нуляпри .

- йде в з хвильовода,-йде з в хвильовід.

Отже,розв’язок требабрати у вигляді:,,тобто .

Граничніумови для похідних.Врахуємо для або ;циліндричнафункція. Тоді.Таким чиномз граничнихумов одержали:.Це – лінійнаодноріднасистема відносноА та В. Вона маєрозв’язок заумови :..

Розв’язокпозначається(перший індексв -нуль, бо брали).

Знайдемосталу розповсюдження:,тоді одержуємо:.

Тут такожіснує критичнадовжина хвилі,яка відповідає:.Однак існуєбільш жорсткаумова – умоватого, щоб хвиляне пішла зхвильоводу::.Умовою визначеннякритичної хвиліу відкритихсистемах є нерівність сталоїрозповсюдження,а більш жорсткаумова .Це – умованевитіканняхвилі з хвильоводу.Фізично вонає законом збереженняімпульсу (колиімпульси зовніі всерединіспівпадають,з’являєтьсяможливістьдля витіканняхвилі.

Приблизнакартина розподілута у хвильоводіта зовні показанана малюнку:

Ця картина- для (,1 – номер кореня).

Лекція13

Гібридніхвилі.

Раніше мирозглядаливсі види хвиль(Е, Н чи Т) окремо.Однак у загальномувипадку хвиляє суперпозицієюЕ, Н, Т – повнийрозв’язокрівняння Максвела.

Гібриднахвиля– це хвиля, якамає всі компоненти;це суперпозиціяЕ, Н, Т.

У випадкурозглянутомувище, хвильовода(стержня), мимаємо три граничніумови і двіконстанти врівняннях, атому рівнянняв загальномувипадку не будемати розв’язків.Однак, тут нампотрібно розглядатине тільки ,,,а і хвилю :.Тепер полеописуєтьсячотирма константамиі відповідночотирма граничнимиумовами.

Методузгодженняпоперечногоімпедансу.Гофра.

Покажемо,що ця система– уповільнююча.Розглянемомодель:

Уявимо,що в цій системідійсно існуєхвиля, близькадо хвилі білякруглого хвильоводу.Нехай це будеЕ – хвиля, щорозповсюджуєтьсяв напрямку .По аналогіїзі стержнем.Виходячи зцього, можназнайти іншікомпоненти:.

Це – компонентизовні. Що будевсередині?Всерединібудуть стоячіхвилі: .Це – дві Т - хвилі(пряма і відбита).

Можнарозглянутитаке рішеннядля всередині: .Тоді

Пом’якшимоумову (це методузгодженняпоперечногоімпедансу) так,щоб неперервнібули відношенняполів.

Тоді .

Поперечнастала розповсюдженняхвилі .

Тоді..В точках отримаємо .

Іноді будуютьфотонну криву:

Маємоділянку, де ,тобто маємоуповільнення. Це – звичайнийрезонатор дляЕМ – хвилі. Прирозрахункаху нас переходилов ,а це можливопри .Це – ще однаумова.

Спіраль.

Тут ,.Така системапо своїй конструкціїуповільнююча,з коефіцієнтомуповільнення.Але тут теж єрезонансніефекти, що призводятьдо уповільнення,якщо .

Лекція14

Об’ємнірезонатори.

У них хвиля“б’ється” міжстінками (див.Мал.):

,тоді хвиля, щозаходить урезонатор, івідбита, будутьу фазі; тобтоце – умова резонансу.

Розв’яжеморівняння Максвеладля даної системи– знайдемоколивання, щоіснують у ційкоробці.

.З урахуваннямграничних умовна боковихстінках (стінкаххвильовода):.Накладемо щедві граничніумови: звідки одержимо- неправильно.Це тому, що неврахуваливідбиття відторців; правильнобуде записати:

.Тоді при накладанніумови одержимо .

.

Розглянемо,одержимо .Тоді .

Типи коливань:(останній індекс– кількістьпівхвиль)

В кругломурезонаторі:

Існує дужебагато типіврезонаторів.Наприклад,резонаторхвилі, що біжить,такий резонаторще називаютькільцевим.Резонанс: .

Добротністьрезонаторів.

Для будь-якогорезонаторазвичайно існуєАЧХ, яка маєширину.

Напівширинавимірюєтьсядля на 0.5; а для вихідноїамплітуди –на 0.7 висотиконтуру. .Хвиля затухаєіз декрементом:,.Доведемо, що.Це випливаєз розв’язкурівняння: .Втрати - тут добротність.Втрати можутьбути в металі,на випромінюванняв діелектрику:

Підрахуємодобротність,пов’язану звтратами удіелектрику:

Таким чином,(- коливаннярезонатораз діелектриком, - порожнього).

,де ,отже .Таким чиномми одержали,.Для розрахункув металі требазнайти потікенергії (як усмушковомурезонаторі).

Лекція15

Відкритірезонатори.

Це резонаторина основі відкритихліній передач.Вони маютьелектромагнітнийконтакт з відкритимпростором.Звичайновикористовуютьсяв лазерах сферичнідіелектричнірезонатори.Нас цікавлятьшари діелектрикадля лінії .Тут не можнавикористовуватигеометричнінаближення,потрібно розв’язуватирівняння Максвела.

Розв’яжеморівняння Максвеладля сферичногодіелектричногорезонатора.Тут потрібновикористатиССК:

,.

В сферичнійСК не можнаперейти доскалярнихрівнянь звичайнимчином. Використовуютьзаміну:,,,,,.

Це – ТМ чи Е – заміна,оскільки .Аналогічноможна зробитиН – заміну:

Ми будемовикористовуватиЕ – заміну,перейшовшидо потенціалу,в результатіодержимо: .

Щоб отриматисаме хвильоверівняння, дебула б ще й похідна,необхіднозробити заміну:.Потенціалита називаютьпотенціаламиДебаю. Вонимають методичнезначення. Розв’яжемопростіше рівняннядля та - методом відокремленихзмінних: тоді .

Рівняннядля - це рівнянняЛежандра. Йогорозв’язки –поліноми Лежандра.Рівняння дляможна звестидо рівнянняБесселя заміною.Це рівняннядля сферичнихфункцій Бесселя(або функційБесселя напівцілоговигляду). Стандартнийвигляд рівняння:,його розв’язки:

.

Таким чиномрозв’язки:

.

Щоб використатиграничні умови,необхідновиразити ,через .

,

отримаємодва рівняннядля А та В, причомуА і В будутьвідмінні віднуля лише тоді,коли системи рівнанулю. Користуючисьвиразами длята ,отримаємо: з цього рівнянняотримаємо .Для :.Поле має вигляд:

Таким чином,поля тут ідутьтаким же чином,як і в кільці,по якому біжитьструм.

Це була строга,точна теоріярезонаторівсферичноїформи. Проте,їх важко виготовляти,вони незручніу використанні.Використовують:

Розрахуватитаку системунеможливо, бонемає регулярнихграничних умов(наприклад при).

Можна вважати,що резонансначастота є проміжнимзначенням міжрезонансноючастотою увписаній таописаній кулі.

Відмінністьформуванняграничних умов:

- регулярнагранична умова

- нерегулярнагранична умова

Коли єметалева поверхня,можна записати.Це так званіелектричністінки.

Лекція16

Методмагнітноїстінки.

Він застосовуєтьсяпри аналізідіелектричнихрезонаторів.

Оберненаситуація –хвиля виходитьз металу (абодіелектрика)в вакуум.

Зліва – стоячахвиля, справа– біжуча, звичайна,зі сталою амплітудою.

Тількитаким чиномможна досягтивиконання умов:,;якщо на границіЕП має максимум,а МП – мінімум(вузол).

В серединіз великим ЕП сильнопоглинається,а МП залишаєтьсясталим.

Магнітнастінка виникаєпри виходіхвилі з діелектриказ .Це означає, щона межі (на відміну віделектричноїстінки, якаутворюєтьсяпри виходіхвилі, де ).

Метал:.

Діелектрик:.

Самостійно:Знайти умовиіснуванняхвилі, частотиза аналогієюз задачею дляметалу.

Вимушеніколивання.

Лема Лоренцаі теорема взаємності.

В лінійнихполях немаєвзаємодії міжполями. Однак,існують випадки,коли лінійніполя впливаютьодне на одне.Уявимо, що єдва незалежнихЕМ – процеси:

- диференціальнийвигляд лемиЛоренца.

- лемаЛоренца. (поляне незалежні,а залежать одневід одного).

Розглянемоситуацію, коли:,бо на всі фотонизатухають. ,.

Розглянемодва диполі:

- енергіяпершого диполяу полі .

- теоремавзаємності.

Приймач нетільки приймає,але й випромінює.Для того, щобдесь збудитиполе, потрібно,щоб це полезбуджувалострум в нашійантені тобтопотрібно розміститиантену в центрі,де поле найбільше.

Збудженняхвиль у хвильоводі.

У хвильоводіможуть існуватилише Е та Н –хвилі.

Лекція17

Ортогональністьвласних хвильу хвильоводі.

Запишемолему Лоренцадля цього випадку.(- стала розповсюдження.)

У виглядіхвилі візьмемовластивістьхвилі у хвильоводі:;-позначення.

бо розглядаємовласні хвиліі зовнішніхструмів немає.Таким чином:

.

Незалежновід поверхні.

Для того,щоб це булаконстанта,необхідно .Сталість небуде залежативід ,коли хвиля йде,і також хвиляйде ;для всіх іншиххвиль =0.

.

Підрахуємонорму хвилі(співвідношенняортогональне)для хвилі .

,.

-це .Доведемоортонормованість.Уявимо, що єдеякий хвильовіді струми (див.Мал.)

.Звернемосядо леми Лоренца.Будемо вважати,що: ,- зворотна власнахвиля.

- формуладля визначеннякоефіцієнтівчерез струми.

Нехай,наприклад, упрямокутномухвильоводічерез отвіру точці введений стержень,по якому відгенератораГйде струм .Необхіднорозрахуватиамплітуду хвилі.,де ,.Отже : ,бачимо, що амплітудахвиль максимальна,якщо ,і дорівнюєнулю, коли стерженьколо стінки:.

Лекція18

Збудженняоб’ємних резонаторів.

1. Доведемоортонормованістьвласних функційрезонатора.

,,бо задача провласні коливаннярозв’язуєтьсябез струмів.Для другогоколивання: .

,

.

Проінтегрувавшиобидві рівностіпо всьому об’ємута врахувавшивластивостівекторногодобутку, отримаємо:

,

.

Враховуючи,що та позначившимаємо лінійнуодноріднусистему відносноз коефіцієнтамита :

.Система маєнетрівіальнірозв’язки якщо;.Тоді ,тобто .Таким чиноммаємо ортонормованістьвласних функційрезонатораз нормою ,яку легко знайти.

2. Знайдемополя та всерединірезонаторапри наявностіструмів.

- рівнянняМаксвела.

Псевдовекторв математиці– вектор, щозмінює свійнапрямок приінверсії системикоординат(напрямок, векторнийдобуток). У фізиціпсевдовекторзмінює напрямокпри інверсіїчасу .Наприклад, приінверсії часуелектрон починаєобертатисяв протилежномунапрямку, авідповіднозмінює і напрямокМП.

Такимчином, МП –псевдовектор,ЕП – вектор.Звідси можназробити висновок,що гамільтоніанне може містити(щоб він бувінваріантнийдо інверсіїчасу). Ще одинвисновок – щонемає магнітногоп’єзоефекту.

Існуєіще одна класифікація:

соленоїдальніта потенціальні.

Потенціальний(поздовжній):

- немаєвихорів.

Соленоїдальний(поперечний):

- немаєвузлів.

Записавшими зробилипомилку, бо неврахувалипотенційніполя, пов’язаніз електростатичнимиполями зарядів,що збуджуютьструми.

Отже, ,,де ,.Взагалі то, ,бо магнітнихзарядів неіснує. Проте,є припущенняпро існуваннямагнітнихзарядів – монопольДірака;тоді .

,

.

Підставимов рівнянняМаксвела: .Прирівнявшивідповіднікоефіцієнтипри базиснихфункціях та ,одержимо - з рівнянняа). Оскільки ,то .

.;.

Такимчином, длягармонічнихполів: .Тоді .Використаємо,.,бо .Таким чином,довели строгерівняння Пуансонадля електростатичноїчастини полів.

Проінтегруємопо ,попередньопомножившина :

.

В результатіотримаємо: ,маємо системудвох рівняньз двома невідомими.Амплітуда .

Ми отрималиформулу длярезонансногозбудження. Тутне врахованодисипацію,тому можливо.Якщо дисипаціюврахуватинаступнимчином: ,то отримаємоЛоренцівськурезонанснукриву: .

Лекція19

Неоднорідностіу хвильоводі.

Неоднорідностіє в будь-якомухвильоводі,вони маютьрізний характер.Для цих системполя можнарозбити на:

1. Дальню зону(де не відчуваєтьсянеоднорідність).

2. Ближню зону(неоднорідністьвідчуваєтьсясуттєво).

Наприклад,якщо буде заклепкана стінці хвильовода,то:

По хвильоводубуде розповсюджуватисялише одна хвиляза рахуноквибору розмірів.Отже, білянеоднорідностібуде зона зенергією, якане розповсюджується.Тому це деякийеквівалентіндуктивностіабо ємності.

Нам необхідно:

1. Розв’язатирівняння Максвелаі знайти Г(коефіцієнтвідбиття) і Т(коефіцієнтпрозорості),далі в позначенняхта .

2. ,де - лінія, -перешкода,тобто отримуємознаючи ..

Розглянемонеоднорідністьяка називаєтьсяДіафрагма.Вона може бутиіндуктивначи ємнісна узалежностівід опору.

Діафрагма.

Ми розглянемолише індуктивнудіафрагму, дляіншої – аналогічно.

Припущення:

1. діафрагманескінченнотонка і розташованау площині .

2. Симетріязадачі така,що крім хвиліН інших хвильне існує.

Тоді можназаписати, щопри :,тобто хвиляє сумою прямої,відбитої (р –коефіцієнтвідбиття) хвиліта вищих хвиль,що виникаютьна діафрагмі.Всі інші компонентирозраховуютьсяза допомогоюсистеми рівняньМаксвела:

Такимчином, ми маємовсі компонентиполя зліва віддіафрагми.Тепер запишемохвилю справа:,де - коефіцієнтпропускання(діафрагмагенерує в обохнапрямках).

Такимчином ми розв’язалирівняння Максвела,не розв’язуючиїх. (Зауваження:ми не враховувалиелектростатичнихполів).Тепер зашиєморозв’язкисправа та зліва,наклавши граничніумови при (всі поля повиннібути неперервні):

.

Розглянемо:

1. Граничніумови для :,помножимо церівняння наі проінтегруємовід 0 до ,в результатіодержимо: ,.Роблячи тесаме для полясправа віддіафрагми ,одержимо: ,.

2. Підставляючи,,в рівняння дляі провівшианалогічнірозрахунки, отримаємонаступне рівняння: .Таким чином,маємо системуінтегральнихрівняннь (*) та(**), можемо знайтита .;;де ;..

Фізичніміркування:повинна бутичи в межах діафрагми.

Знайдемо:оскільки;то буде ; .

Таким чином,це дійсно індуктивнадіафрагма.

Лекція2

Класифікаціяелектромагнітнихявищ

Існуютьзагальні підходидля спрощення:

1. Рівняннястаціонарногоелектромагнітногополя. Інколиможна розглядатипостійні струми.При цьому врівнянні (*)зникають похідні:Прикладвикористання:розрахунокнаводок.

2. Розглянемосистему рівняньу вакуумі,де .Рівняннямагнітостатики:,рівнянняелектростатики:.Рівняннямагнітостатикимає місце ітам, де .РівнянняМаксвела нехвильове.Хвильовим воностає в однорідномуізотропномусередовищі.Звідси тобто звідки одержуєморівняння Лапласа:(зурахуваннямзаряду), Пуасона:(без).

3. Квазістатичненаближення:,-розмір об’єкту.Тоді рівнянняМаксвеласпрощуються.Розглянемометал: тампросторовіпереходи дужешвидко зростають(швидке затухання)тобто частиннимипохіднимиможна знехтувати.

4. Длямонохроматичноголінійного поляможна використатиметодкомплекснихамплітуд:позбавляємосячастиннихпохідних тобтоспрощуєморівняння Максвела.Рівняння ЕМПв комплекснійформі будеморозглядатилише для лінійнихрівнянь, хочаіснує методі для нелінійних.Розглянеморівняння:.Зробимо наступнузаміну:,та аналогічно.Підставившиотримаємо: ,прирівнявшикоефіцієнтиотримуємо: -ми спростилирівняння. Длятого, щоб записатилінійне ДР укомплекснихамплітудах,потрібно: а)замість дійснихзмінних записатикомплекснізмінні; б) замістьпохідних почасу требазаписати .Для того щобзнайти розв’язокрівняння, потрібнорозв’язатиспрощене рівняння,а потім знайтиреальну частинувід одного звиразів: або .Часто рівняннязаписують зурахуваннямтого, що хвильовийвектор ,де .Надалі ми будемопрацювати вкомплекснихамплітудах.

Було б зручнозвести рівнянняМаксвела дохвильових, алеце можна зробитилише у деякихвипадках, якіі розглянемо.

Плоскіхвилі

Розглядатимемоплоскі хвилів однорідномуізотропномусередовищі.

Задача:знайти характеристикиплоскої хвилів такому середовищі.

Розв’язок:

1. Обираємодекартовусистему координат;

2. РівнянняМаксвела: ;де .У плоскої хвиліна хвильовомуфронті амплітудаі фаза однакова.Нехай хвилярозповсюджуєтьсяв напрямку ,то .Отримаємо (з ).Розв’язокотриманогрівняннняосцилятора:.

Перейдемодо справжньоїкомпонентиполя:де -рівняння хвильовогофронту (фаза).Цей фронтрозповсюджуєтьсязліва направо.Якби ми взялизамість компоненту,то одержалиб -фронт, що рухаєтьсясправа наліво.

Розглянемо.

.;,тобто маємодійсно правутрійку .Оскільки ,то .

Такимчином у плоскійхвилі і залежнівеличини: якщоодне з них задане,то друге визначаєтьсялише серидовищем(див. *). Це в СГСЕ,в інших системахпо іншому. Наприклад,в СІ у вакуумі377(Ом) – опір вільногопростору (хвильовийопір простору).

Затуханняелектромагнітниххвиль (ЕМХ).

Нехайвздовж осірозповсюджуєтьсяЕМХ: ;тут .Розглянемов середовищі,де ,(найрозповсюдженішийвипадок); .Тоді .З’явиласядійсна величинавекспоненті.Тобто кожнахвиля затухає.

Лекція3

Затуханняу металі, скін– шар.

У попередньомупункті ми записалиЕМХ як ,для металу ,тоді маємо .Оскільки ,то .В металі хвилязатухає як .Глибина, наякій хвиляспадає в разназиваєтьсяскін – шаром..Для постійногополя .

Перехідхвилі з одногосередовищав інше.

Розглянемотакий випадок:(див. Мал.)

Це – граничназадача електродинаміки.

Для її розв’язкунеобхідно:

1. Розв’язатирівняння Максвелау кожномусередовищі.

2. Прирівнятирозв’язки награниці.

3. З отриманихалгебраїчнихрівнянь одержативсі характеристикиЕМП.

Спочаткуобираємо повнусистему рівняньМаксвела, однакоскільки обидвасередовища– однорідніізотропні,можна використативекторне рівнянняМаксвела: .

Межа – пряма,тому обираємодекартову СК:.У даних середовищахбуде:

Нехай ,тоді .

З
апишемограничні умови:

Підставившиодержимо: -система несумісна.Ми не врахувалите, що існуєтакож відбитахвиля у середовищі(1):

.При відбиттітрійка векторівзалишаєтьсяправою, томунапрямок векторазмінюється,тому у виразідля - мінус:

.

Підставившиодержимо:

Таким чином,найбільша(повна) передачаенергії в другесередовищепри -коефіцієнтвідбиття .По аналогіїз електротехнікоювеличини називаютьопорами.

Лекція4

Узагальненаплоска хвиля.

Для рівняннязагальнийрозв’язок(можнаперевіритипідстановкою).Таким чиномхвиля розповсюджуєтьсяв багатьохнапрямках:

-хвиля в напрямку.

-хвиля в напрямку.

Задача:Нехай хвиляпадає під кутомдо поверхнісередовища,знайти характеристикивідбитої хвиліта заломленої.

Розв’язок:Вважаємо, що.Раніше ми показали,що розв’язкомрівнянь Максвелає узагальненерівняння хвилі.Тоді для даниххвиль:

( ми розглянулиплоску задачув ).

Граничнаумова: .Тоді ,де ;;;коефіцієнтине повиннізалежати від.В цьому випадку(*).Тоді (**).

Виходячиз (*), маємо .(очевидно якщовідкластивідрізки намалюнку). Аналогічно.

-перший законСмеліуса.

- другий законСмеліуса.

Наближеніграничні умовиЛеонтовича.

Розглянемоідеальну металевуповерхню. Длянеї граничніумови: ;.Однак, тут - не враховувалисявтрати в металі.Їх врахувавЛеонтович:

1. Нехай хвиляпадає під кутомдо поверхні.Леонтовичвважав, що якбихвиля не падала,вона йде нормальнодо поверхні.Це можна пояснититим, що в металі,тому кут заломленнядуже малий: .Це наближенаумова.

2. Леонтовичвважав, що вметалі розповсюджуєтьсязвичайнаелектромагнітнахвиля, в якій,де .Ця рівністьзберігаєтьсяі на межі металу.У вакуумі ,при цьому ;.Це і є наближенагранична умова.

Відбиваннявід ідеальнопровідноїграниці (метал)ТЕ, ТМ хвилі.

- падаючахвиля (індекс“п”). Обираємознак “+” для .Тоді .Сумарне поленад металом

Таким чином,сумарна хвилярозповсюджуєтьсяв напрямку .Отже в результатірозв’язкурівняння Максвелами маємо хвилю,що падає, і хвилю,що відбита.Сума цих полівдає нову хвилю,що розповсюджуєтьсявздовж і є сумою цихдвох хвиль.Падаюча і відбитахвиля називаютьсяпарціальними;Сумарна зветьсянеоднорідноюплоскою хвилею.Неодноріднаплоска хвилятеж є розв’язкомрівняння Максвела.

Властивостінеоднорідноїплоскої хвилі:

1. Ця хвиля маєпоздовжнікомпонентиполів: якщоз’являється а) - -хвиля(ТЕ); б) - -хвиля(ТМ).

2. Її амплітудавздовж хвильовогофронту змінюється:- через це їїназиваютьнеоднорідною.Плоскою називаютьтому, що фронтдо напрямкурозповсюдження.

3. довжинасумарної хвилівихідних. Фазовашвидкість цієїхвилі ,оскільки в тойчас, коли вихіднахвиля апроходить,сумарна хвиляпроходить .За цей же часенергія переноситьсяна відстань-групова швидкість.

а

Висновок:Існують неоднорідніплоскі хвилі:;;;.Існують компоненти,.

Лекція5

РівнянняМаксвела дляТ, ТЕ, ТМ хвиль.

Для однорідногоізотропногосередовищав декартовійСК: .

Т - хвилярозповсюджуєтьсязі швидкістюсвітла, .Для неї .Підставимов рівнянняМаксвела: ;

оскільки,таким чиномдля Т – хвилі:- рівняння Лапласа.Для ТЕ та ТМ:,(хвиля розповсюджуєтьсяв напрямку )..

Маємо - для ТЕ, ТМ.

Ми отрималисистему рівняньМаксвела:

.

Т – хвиляіснує там, деє розв’язокрівняння Лапласа(електрика). Мизнаємо, що рівняннямЛапласа описуєтьсяелектростатичнеполе, наприкладу конденсаторі.Тому якщо існуєелектростатичнеполе, то можеіснувати і Т– хвиля. Такимчином вона можеіснувати уконденсаторі,коаксіальномукабелі.

Оскількиодне рівнянняі однаковіграничні умовидля електростатичногополя і Т – хвиля,то їх силовілінії співпадають.

Для того, щоброзв’язатизадачу прохвилю, требазнайти:

1. Картину полів;

2. Сталу розповсюдження(швидкість);

ЗнайдемоЕМ – поля між║ пластинами:

Тут можеіснувати Т –хвиля, бо існуєрозв’язокрівняння Лапласадля конденсатора.Картина полівзображена намалюнку, такимчином ми розв’язализадачу безвикладок. А чиможе у цій системірозповсюджуватисяЕ чи Н хвиля?Для того щобвідповістина це запитання,необхіднорозв’язатизадачу (розрахуватикартину поліві знайти ):

,будемо вважати,що .Ми отримализадачу Коші:.Її розв’язок.;.

..Де -довжина хвиліу хвилі у хвилеводі.

Очевидно,що при;тобто існуєдеяка критичнадовжина хвилі-така, що прихвиляне буде розповсюджуватисяу хвилеводі:при :-уявне, тобтоприсутнє затухання.

;нижня .

Таким чиному хвилевідзайде Т – хвиляз будь-яким і Е – хвиля лишез .Можна отримати,що .Якщо зменшувати,то збільшується.Також змінюєтьсяпри зміні .Існує критичначастота, коли,тоді хвиля нерозповсюджується.-довжина Т –хвилі у вільномупросторі ,;

Таким чином,в результатірозв’язкурівняння Максвелами знайшли лишеодну компонентухвилі .Однак для побудовикартини необхіднознайти всі іншікомпоненти (у ТЕ та ТМ хвильможе бути небільше п’ятикомпонент).СкористаємосярівняннямиМаксвела: будемовиходити з .

Аналогічнодля ,таким чином,для неоднорідноїхвилі ми отрималиповний розв’язок:.Розглянемопари: .В нашій Е – хвиліобов’язково,тоді з системилегко отриматиінші компоненти:.Таким чиноммаємо картинуполів ТМ (Е –хвилі). Для ТЕ– хвилі – аналогічно.

Лекція6

Прямокутнийхвильовід.

В серединіметалевогопроводу не можебути електростатичнихполів. Можутьбути лише Е, Н..Граничні умови:Нехай;тоді ;;;;.

такимчином ..

Тут ;звідси .Аналогічно.

за симетрією.

отже.

.

Розв’язок:;де ,можна такожзнайти ,але .

Ця задачав частиннихпохідних маєбезліч розв’язків.Загальна хвилябуде .Розглянемоодин з розв’язків:-цехвиля .

Отримаємо.Інші компоненти:,тут .

У хвилеводібудуть розповсюджуватисяхвилі з .

Визначимофізичний змістіндексів: розглянемо.- по одна півхвиля.Таким чином,перший індексозначає скількиваріацій маєполе в напрямку.Другий індекс-вздовж .

Розглянемотипову картинуполів у хвильоводідля :

Оскількихвиля рухаєтьсяз певною швидкістю,зсунутев часі на (в формулі це),тому маємокартину не а)а б).

Для хвилі:

Для хвилізавдяки граничнимумовам на стінках,а по певнійкоординаті(там, де індекс= 0 ) це поле однорідне,тоді будевсюди, тобтоцієї хвилі небуде.

Лекція7

Хвильовийопір хвильовода.

Для Т –хвилі: (для вакууму).Для ТЕ, ТМ хвильвведення хвильовогоопору не єоднозначноюзадачею, боіснує кількакомпонент.Домовилисьвідносити опірдо поперечноїкомпоненти:.

Електродинамічніпотенціали

Векторнийі скалярнийпотенціаливводятьсянаступнимчином: ;.У першому рівнянні,очевидно, можна задаватиз точністю до.При цьому рівнянняМаксвела:

Тоді отримаєморівняння дляЕД потенціалів:

Рівняннядля Т, ТЕ, ТМ хвильрізні. Щоб звестиїх до одноговиду, використовуючипотенціали,,де -електричнаскалярна функція,-магнітна скалярнафункція. Якщодля Т – хвилізавжди, то ,а перетворюєтьсяв нуль завдяки.Рівняння для:

.

При цьомукомпоненти.

Іншікомпонентиможна отриматиметодом, якийрозглядавсяраніше. ДляциліндричноїСК: .

Круглийхвильовід.

Очевидно,будемо користуватисяциліндричноюСК :

Шукатимемохвилю .Можна розв’язати,однак ми розв’яжеморівняння дляскалярнихпотенціалів:.З урахуваннямвигляду оператораЛапласа уциліндричнійсистемі координатодержимо: .

Використаємометод відокремленнязмінних:

;

.Звідки очевидно,що:

а) ,тут - будь-який кутповороту, залежитьлише від виборукоординат(з’явився черезсиметрію задачі).Оберемо .

б) -ЛДР зі зміннимикоефіцієнтами,тому звичайнимшляхом йогорозв’язуватинеможливо;потрібно застосуватиспеціальніфункції. Приведеморівняння достандартноговигляду: заміною воно зводитьсядо рівнянняБесселя:

.

Його розв’язкамиє циліндричніфункції (функціїБесселя):

(*)

ФункціїНеймана ,а тому очевидно,що ,тому що полепри повинно бутискінченим.Таким чином,якщо в задачііснує точка,то розв’язокзавжди беретьсяу вигляді (*), де,тобто у виглядіфункції Бесселя:.

Таким чином,,.

Скористаємосяграничнимиумовами. Оскільки;а ;то можна записати:.Отже, -це є умова длявизначення.Корені цьогорівняння аналітичноне отримуються,але їх можназнайти чисельно:

,де -номер хвилі,-номер рядку.

	1	2
0	3.83	-
1	1.84	-

Отже, .Таким чином,для хвилі .Критична довжинахвилі у хвилеводівизначаєтьсяз умови .Аналогічно.

Тепер знайдемокартину хвиль.Для цьогоскористаємосятопологічнимиперетвореннями:

Перетворюючив декартовуСК, одержалив циліндричнійСК.

Першийіндекс – зміннапо ,другий – зміннапо .Таким чиному кругломухвильоводі“головною”,“найкращою”є хвиля (в той час як уквадратному- .

Лекція8

Коаксіальналінія.

Тут можутьрозповсюджуватисьхвилі Т (бо тутможна утворитиконденсатор),ТЕ, ТМ. ,,.

.

Розглянемохвилю Т. Намнеобхіднорозв’язатирівняння .Зробимо цеметодом конформнихвідображень.Його можназастосуватидля аналітичнихфункцій (тих,що задовольняютьрівнянню Лапласа),яким і є полеТ-хвиль.

Для того, щобскористатисьметодом КВ,необхідно:

1. Знайтивідображення,яке переводитьнашу область,де існує ЕМ –поле, у плоскийконденсатор;

2. Розв’язатирівняння Лапласау плоскомуконденсаторі;

3. Зворотнімконформнимперетвореннямзнов перейтив нашу область– це і будерозв’язокзадачі:

Метод конформнихвідображеньможна застосуватидля Т – хвилі,бо вона є розв’язкомрівняння Лапласа:,.Доведемо, щовідображенняперетворюєциліндричнийконденсаторв плоский: ,,тобто ,.Таким чином,якщо .,.

Такимчином, можнаперетворитимежу циліндричноїобласті в межуплоскої. Томуй областьперетворюєтьсяв область .Розв’язокзадачі в плоскомуконденсаторі:маєвигляд: .Поклавши (скориставшисьтим, що потенціалвизначаєтьсяз точністю доконстанти),маємо: .Скориставшисьзворотнімперетворенням,одержимо: .

Знайдемополе: ,.Хвильовий опір:.Проте такийопір не вимірюється.Більш практичнеозначенняхвильовогоопору: - відношеннянапруг лініїдо струмів уцій лінії. Знайдемодля Т – лінії,використавшиінтегральнірівняння Максвела:,тут -заряд, -ємність наодиницю довжини.З урахуваннямможна записати:..Окрім Т – хвилі,в коаксіальномукабелі можеіснувати щей ТЕ чи ТМ хвиля:.

Картина хвиль:

.Наприклад, дляR₁=1мм,R₂=6мм:.

Лекція9

Лініїпередач дляінтегральнихсхем.

В інтегральнійелектроніцівикористовуютьсяв основномуплоскі лінії.

1. Симетрично– смушковалінія (ССЛ): вонавідкрита, томумає втрати.

2. Не симетрично– смушковалінія (НСЛ):

3. Мікросмушковалінія (microstripline) – МСЛ. Тутємність дужевелика, енергіясконцентрована.Підкладка здіелектрика.Лінія двоповерхова– це не дужезручно.

4. Щілинна лінія(slot line).Вона є одноповерховою:

5. Компланарнийхвильовід –все в однійплощині.

Поляв несиметрично– смушковійлінії.

Складністьрозв’язанняцієї задачіполягає в тому,що граничніумови тут –нерегулярні;не можна покласти,що на поверхні.Використовуютьнаближеніметоди; зокремаконформнихвідображень.

Наближення:Існує Т – хвиля(нехтуємовипромінюванням).Використаємосиметрію задачі.Цікавимосявипромінюваннямна краю.

Требарозв’язатизадачу: знайтирозв’язокрівняння Лапласау верхній площиніз напівнескінченнимрозрізом.Використаємометод конформнихвідображень:тут застосовуєтьсяінтегральнеконформнеперетворенняКристофеля– Шварца.

Розглянемоламану лінію,що в точці азмінює напрямокна кут :

.Якщо є два зломи,то ,де ,,.В нашій конкретнійзадачі ламануможна податиу вигляді:

Кутвідраховуєтьсяпроти годинниковоїстрілки віднаступногонапрямку допопереднього.,,перенесемоточки: .

Проінтегрувавшиотримаємошукане перетворення:.Константи та визначаютьсяз умов: ,отже .Умовою ми не можемоскористатися,бо одержимо.Використаємофізичні міркування:

Загальнийвид відображення;бо областьінваріантавідносно зсувувздовж ОХ(трансляційнасиметрія).

Зрозуміло,у нашій задачіобласть при.При перетвореннянабуває вигляду:.Порівнюючиз ,.Отже шуканеперетворення:.

Для того, щобзнайти розв’язоку верхній півплощині,необхідноперетворитиїї в конденсатор,використовуючиперетвореннязворотне до:.Тоді відображення,що перетворитьвихідну область()(край конденсатора)у конденсатор(),має вигляд: .

Тепер необхіднорозв’язатирівняння уплоскому конденсаторіта скористатисьзворотнімперетворенням:,..

Таким чином:.

Запишеморівнянняеквіпотенційнихповерхонь: .

ЕПП переходитьв .

ЕПП переходитьв .

Таким чином,отримаємо такукартину еквіпотенціальнихповерхонь:

Тепер знайдемоелектричнісилові лінії.Ці лінії перпендикулярніЕПП, однак мизнайдемо їхв аналітичнийспосіб. Очевидно,в ()такі силовілінії, як намалюнку. Знайдемообраз цих лінійу просторі ().Наприклад, ,.Отримаємокартину ЕП в():

Часто важливознайти напруженістьполя в певнійточці: .