Теоретическая физика: механика

План-конспектзанятия

По теоретическойфизике

Студента V курсафизико-математическогофакультета,гр. ОФ-61

ФилатоваАлександраСергеевича

Дата проведениязанятия: 20.12.2000

Тема:«Каноническиепреобразования.Функция Гамильтона-Якоби.Разделениепеременных»

Цели:Развить навыкиспользованияканоническихпреобразований.Закрепитьумение осуществлятьпреобразованияЛежандра дляперехода кпроизводящейфункции отнеобходимыхпеременных.Научить использоватьметод Гамильтона-Якобипри решениизадач с разделениемпеременных.Сформироватьпонимание сутии могущественностиметода. Воспитыватьтрудолюбие,прилежность.

Типзанятия: практическое.

Ход занятия

Краткиетеоретическиесведения

Каноническиепреобразования

Каноническиепреобразованияпеременных– это такиепреобразования,при которыхсохраняетсяканоническийвид уравненийГамильтона.Преобразованияпроизводятс помощьюпроизводящейфункции, котораяявляется функциейкоординат,импульсов ивремени. Полныйдифференциалпроизводящейфункции определяетсяследующимобразом:

Выбираяпроизводящуюфункцию от техили иных переменных,получаемсоответствующийвид каноническихпреобразований.Заметим, чтоесли частнаяпроизводнаябудет братьсяпо "малым" ,то будем получатьмалое ,если же по "большим",то и получатьбудем соответственно.

ФункцияГамильтона-Якоби

Прирассмотрениидействия, какфункции координат(и времени), следуетвыражение дляимпульса:

Изпредставленияполной производнойдействия повремени следуетуравнениеГамильтона-Якоби:

Здесьдействиерассматриваетсякак функциякоординат ивремени: .

ПутеминтегрированияуравненияГамильтона-Якоби, находят представлениедействия в видеполного интеграла,который являетсяфункцией sкоординат,времени, и s+1постоянных(s – числостепеней свободы).Посколькудействие входитв уравнениеГамильтона-Якобитолько в видепроизводной,то одна из константсодержитсяв полном интегралеаддитивнымобразом, т.е.полный интегралимеет вид:

КонстантаА не играетсущественнойроли, посколькудействие входитвезде лишь ввиде производной.А определяет,что, фактически,лишь sконстант меняютдействие существеннымобразом. Этиконстантыопределяютсяначальнымиусловиями науравнениядвижения, которыедля любогозначения Абудут иметьодинаковыйвид, как и самоуравнениеГамильтона-Якоби.

Длятого чтобывыяснить связьмежду полныминтегралом уравненияГ.-Я. и интересующиминас уравнениямидвижения, необходимопроизвестиканоническоепреобразование,выбрав полныйинтеграл действияв качествепроизводящейфункции.

Константыбудут выступатьв качественовых импульсов.Тогда новыекоординаты

тожебудут константы,поскольку

Выражаяиз уравнения координатыв виде функцийот ,мы и получимзакон движения:

Решениезадачи на нахождениезависимости существенноупрощаетсяв случае разделенияпеременных.Такое возможно,когда какая-токоординатаможет бытьсвязана лишьс соответствующимей импульсоми не связанани с какимидругими импульсамиили координатами,входящимиуравнение Г.-Я.В частностиэто условиевыполняетсядля циклическихпеременных.

Итак,нахождениеуравненийдвижения методомГамильтона-Якобисводится кследующему:

1. составитьфункцию Гамильтона;

2. записатьуравнениеГ.-Я., и определитькакие переменныеразделяются;

3. ПутеминтегрированияуравненияГ.-Я. получитьвид полногоинтеграла ;

4. Составитьсистему sуравнений,и получитьзакон движения;

5. Понеобходимостинайти законизмененияимпульсов: .Для чегопродифференцироватьполный интегралпо координатам,а потом подставитьих явный вид,полученныйв пункте 4.

Примерырешения задач

№11.14 []Как известно,замена функцииЛагранжа на

,

где– произвольнаяфункция, неизменяет уравненийЛагранжа. Показать,что это преобразованиеявляетсяканоническим,и найти егопроизводящуюфункцию.

Решение:

Перепишемштрихованнуюфункцию Лагранжа,представивполную производнуюфункции через частные:

ФункцииГамильтона,соответствующиештрихованнойи не штрихованнойфункциям Лагранжа,определяютсяследующимобразом:

Распишем,используяпредставлениештрихованнойфункции Лагранжа:

Подставляяформулы и ввыражение дляштрихованнойфункции Гамильтона, получим:

Взаимносократив второеслагаемое споследним,учитывая зависимость, получим:

Или

Носогласно каноническимпреобразованиемс производящейфункцией Ф:

Следовательно,

Полученноесоотношениеопределяетусловие навременную частьпроизводящейфункции каноническогопреобразования,соответствующегопреобразованиюфункции Лагранжа.

Посколькувид обобщенныхимпульсов икоординат припреобразованиифункции Лагранжа не изменился,координатно-импульснаячасть производящейфункции должнасоответствоватьтождественномуканоническомупреобразованию.Как было показанов задаче №9.32 [](д/з пред. занятия),производящаяфункция определяющаятождественноеканоническоепреобразованиес неизменнымгамильтонианом,имеет вид:

Учитываяусловие навременную частьпроизводящейфункции, окончательнополучим:

Полученнаяпроизводящаяфункция определяеттождественноеканоническоепреобразованиес заменой функцииГамильтона соответствующейзамене функцииЛагранжа .

Задача. Система,состоящая издвух шариковмассами ,соединенныхневесомойпружиной,расположеннойвертикально,начинает двигатьсяв поле сил тяжести.Длина пружины- .Произвестиканоническоепреобразованиеи записатьновую функциюГамильтона,соответствующиепроизводящейфункции

.

Решение:

Составимфункцию Гамильтонасистемы:

Здесьпотенциальнаяэнергия состоитиз энергиигармоническихколебаний ипотенциальнойэнергии шариковв поле сил земноготяготения. Поопределениюпотенциальногополя:

Мыимеем дело содномернымдвижением,поэтому градиентв формуле заменяетсяпроизводнойпо х. В то жевремя сила,является суммарнойсилой тяжести.Принимая вовнимание принципсуперпозициигравитационногополя, проинтегрируемпоследнееуравнение:

Значениесмещения пружиныот положенияравновесиябудет определятьсяследующимобразом:

Подставиввыражения и в формулу , получимвид функцииГамильтона,выраженнойчерез импульсыи координатыявно:

Переходк новым каноническимпеременнымпроизводитсяв случае, когдавозможно упроститьвид функцииГамильтона,а соответственнои исходящихиз нее уравненийдвижения.

Вданной ситуацииудобно выбратьновые координатытак, чтобы однаописываладвижение центрамасс системы,а вторая колебанияпружины в собственнойсистеме отсчета.Убедимся, чтозаданная вусловии производящаяфункция отвечаетименно такомупреобразованию.

Новаякоординатасовпадает созначениемсмещения пружиныот положенияравновесия.

Новаякоординатасовпадает созначениемположенияцентра масссистемы.

Сложивоба уравнения,получим:

Соответственно

,

где

,

– приведеннаямасса.

Запишемфункцию Гамильтонав новых переменных:

,

где

,

– суммарная массасистемы.

Действительно,функция Гамильтонав новых переменныхраспалась надве части, чтосоответствуетдвум парамканоническихуравнений. Одначасть описываетколебанияшариков в собственнойсистеме отсчета,другая – движениесистемы какцелого в полесил тяжести.

№9.21 []Найти полныйинтеграл уравненияГ.-Я. и законсвободногодвижения материальнойточки.

Решение:

1.Составим функциюГамильтонасвободнойчастицы:

2. ЗапишемуравнениеГ.-Я.:

3.Произведемразделениепеременныхи проинтегрируемпо времени.

Используемначальноеусловие:

Тогдаподставляявид функцииS в уравнениеГ.-Я. , последнеепримет вид:

Откуда

Следовательно,полный интегралуравненияГ.-Я.:

4. Закондвижения определяетсяиз каноническогопреобразования:

Откудасам закон движения:

5. Импульссвободно движущейсяматериальнойточки определяетсяследующимобразом:

Действительно,частица в отсутствиивнешнего полядвижется спостояннымимпульсом.

Домашнеезадание:

№11.2 []Найти производящуюфункцию вида,приводящуюк тому же каноническомупреобразованию,что и .

Решение:

№9.38 []Найти уравнение,которомуудовлетворяетпроизводящаяфункция ,порождающаяканоническоепреобразованиек постояннымимпульсам икоординатам.

№9.23 []Найти полныйинтеграл уравненияГ.-Я. для тела,движущегосяпо гладкойнаклоннойплоскости,составляющейугол с горизонтом.

№12.1a) [] Найти траекториюи закон движениячастицы в поле

Литература:

1. Л.Д. Ландау, Е.М.Лифшиц «Механика,электродинамика»,- М.: «Наука»,1969 г., - 272 с.

2. Л.Д. Ландау, Е.М.Лифшиц «Механика»,- М.: «Наука», 1965г., - 204 с.

3. И.И. Ольховский,Ю.Г. Павленко,Л.С. Кузьменков«Задачи потеоретическоймеханике дляфизиков»,- М.: 1977 г., - 389 с.

4. Г.Л. Коткин, В.Г.Сербо «Сборникзадач по теоретическоймеханике», -М.: «Наука», 1977г., - 320 с.

5. И.В. Мещерский«Сборник задачпо теоретическоймеханике», -М.: «Наука», 1986г., - 448 с.

6. Л.П.Гречко, В.И.Сугаков, О.Ф.Томасевич,А.М. Федоренко«Сборник задачпо теоретическойфизике», - М.:«Высшая школа»1984 г., - 319 с.

Студент-практикант:Филатов А.С.

7

План-конспектзанятия

По теоретическойфизике

Студента V курсафизико-математическогофакультета,гр. ОФ-61

ФилатоваАлександраСергеевича

Дата проведениязанятия: 06.12.2000

Тема:«Функция Гамильтона.Функция Рауса.Каноническиеуравнения»

Цели:Развить у учащихсянавык решениязадач на составлениеи использованиефункции Гамильтонаи функции Рауса.Сформироватьпониманиевзаимосвязимежду функциейГамильтона,Рауса и функциейЛагранжа. Закрепитьзнание свойствфункции Лагранжа.Воспитыватьтрудолюбие,прилежность.

Типзанятия: практическое.

Ход занятия

Краткиетеоретическиесведения

Функция Гамильтона:

Функция Рауса:

Каноническиеуравнения:

Схемасоставленияфункции Гамильтона

Какследует изопределенияфункции Гамильтона для составлениясамой функциинеобходимознать вид функцииЛагранжа. Однакопри подстановкефункции Лагранжав явном видев выражение в правой частибудут присутствоватьпеременные.А мы знаем, чтофункция Гамильтоназависит толькоот .Т.о. необходимоустановитьсвязь .Эту зависимостьнам дает определениеобобщенныхимпульсов:

Итак,при решениизадач на нахождениефункции Гамильтона,когда вид функциикин. энергиинеизвестен, чтоявляется самымобщим случаем,вид функцииГамильтонанеобходимоискать опираясьна ее определение.Т.е. через функциюЛагранжа. Приэтом нужноследоватьследующейсхеме:

1. Записатьфункцию Лагранжа,при возможностипреобразовавее к более простомувиду (это в частномслучае подразумеваетвыбор новыхобобщенныхкоординат).

2. Определитьзависимость

3. Записатьсаму функциюГамильтона

Примерырешения задач

№10.3[] Определитьфункцию Гамильтонаангармоническогоосциллятора,функция Лагранжакоторого:

Решение:

Откуда

Подставляяполученноевыражение в, имеем:

№49.8[] Материальнаяточка массыт подвешенас помощью стержнядлины к плоскомушарниру, горизонтальнаяось котороговращаетсявокруг вертикалис постояннойугловой скоростью.Составить а)функцию Гамильтонаи б) каноническиеуравнениядвижения. Массустержня неучитывать.

Решение:

а) 1. Действуясогласно предлагаемойсхеме составленияфункции Гамильтона,определимфункцию Лагранжасистемы:

Где.Посколькуфункция Лагранжаопределенас точностьюдо аддитивнойконстанты, либопостоянногомножителя,перепишем ввиде:

Согласновыбраннойсистеме координат:

Учитывая,что – по условию,получим выражениедля функцииЛагранжа сновой обобщеннойкоординатой:

Или

2. Найдемзависимостьобобщеннойскорости отобобщенногоимпульса системы.По определениюобобщенныхимпульсов:

3. Следовательно,функция Гамильтона:

б) Используяформулы , найдемуравнениядвижения системы:

Вчастности,представляетинтерес случай,когда ,т.е. шарик движетсяв горизонтальнойплоскости,описывая окружность.Логично предположить,что такое движениебудет выполнятьсялишь при некоторомфиксированномугле ,значение которогокак-то зависитот параметровсистемы. Найдемэту зависимость.Для этого заметим,что во второмуравнениисистемы леваячасть будетравна нулю:

Откуда:

Первоеуравнение даеттривиальноерешение ,что соответствуетпросто провисаниюшарика - материальнойточки. Т.о. условиедвижения маятникав плоскостиесть:

Где– собственнаячастота колебаниймаятника. Болеетого, выражение дает зависимостьугла отклонения,обуславливающегодвижение вплоскости, отчастоты вращениявертикальнойоси, и собственнойчастоты маятника.Т.о., чтобы добитьсяустойчивоговращения вплоскости прижелаемом углеотклонения,необходимоподбиратьотношение междусобственнойчастотой (котораяопределяетсядлинной стержня)и частотойвращения оси.Заметим также,что значениеугла в этом случаене зависитот массы маятника.При значениичастоты вращениявертикальнойоси, превышающимзначение собственнойчастоты маятника,второе уравнениесистемы решенийне имеет. Ноработает первоеуравнение, изкоторого .Т.е. маятникбудет провисать.

№9.5[] Найтитраекториюодномерногогармоническогоосцилляторав фазовомпространстве.

Решение:

Фазовымпространствомназываетсятакое 2s-мерноепространство,по осям которогооткладываютсяs импульсови s координат.(s – числостепеней свободы).Изменениесостояниясистемы соответствуетнепрерывнойлинии – траекториидвижения системыв фазовомпространстве.

ФункцияГамильтонагармоническогоосциллятораимеет вид:

Иззакона сохраненияэнергии получим уравнениефазовой траекториигармоническогоосциллятора:

Т.е.траекториейявляется эллипс.

№10.4[] Найтизакон движениячастицы, функцияГамильтонакоторой:

Решение:

Закондвижения частицыдают функции:

,

видкоторых можнополучить исходяиз уравненийГамильтона. Поделив 1-оеуравнение на2-ое получим:

,

откуда

Интегрируя,получим:

Выражаяотсюда и приравниваяего к значениюиз уравненияГамильтона,получим:

,

где

Илипосле интегрирования:

Подставляяполученнуюзависимостьв выражение, получим:

Задача№1. Математическиймаятник массыт прикрепленк движущейсявдоль горизонтальнойпрямой муфте,масса которойМ. Определитьфункцию Раусасистемы.

Решение:

Составимфункцию Лагранжа:

Где.

Координатух можно представитьв виде суммы:

Гдех₁ – координатамуфты (координаталабораторнойсистемы отсчета),а х₂ – координатасмещения шарикамат. маятникав системе отсчетамуфты.

Извыражения следует:

Имеем:

Заметим,что х₁ – циклическаяпеременная.

Найдемобобщенныйимпульс :

Откуда:

Следовательно,по определению функция Раусас учетом выражения:

Подставляяв последнеевыражениезависимость, окончательнополучим:

Запишемуравнение связиимпульса сфункцией Рауса:

Нопоскольку х₁не входит вфункцию Раусаявно, то праваячасть записанногоравенства естьноль. Т.е. импульсв процесседвижения остаетсяпостоянным.Следовательно,функция Раусафактическизависит толькоот 2-х независимыхпеременных:.

Задача №2.Определитьфункцию Раусасимметричноговолчка в поле.

Решение:

Используемизвестное намзначение функцииЛагранжа длясимметричноговолчка:

Поопределениюобобщенныхимпульсов:

Откуда

Следовательно,по определению функция Раусас учетом выражения:

Домашнеезадание:

Задача№1.Исходя из функцииГамильтонадля гармоническогоосциллятора,получить закондвижениягармоническогоосциллятора.

№49.7[]

№10.5[] Найти уравнениядвижения частицы,функция Гамильтонакоторой: .

Указание:получить .

Литература:

1. Л.Д. Ландау, Е.М.Лифшиц «Механика,электродинамика»,- М.: «Наука»,1969 г., - 272 с.

2. Л.Д. Ландау, Е.М.Лифшиц «Механика»,- М.: «Наука», 1965г., - 204 с.

3. И.И. Ольховский,Ю.Г. Павленко,Л.С. Кузьменков«Задачи потеоретическоймеханике дляфизиков»,- М.: 1977 г., - 389 с.

4. Г.Л. Коткин, В.Г.Сербо «Сборникзадач по теоретическоймеханике», -М.: «Наука», 1977г., - 320 с.

5. И.В. Мещерский«Сборник задачпо теоретическоймеханике», -М.: «Наука», 1986г., - 448 с.

6. Л.П.Гречко, В.И.Сугаков, О.Ф.Томасевич,А.М. Федоренко«Сборник задачпо теоретическойфизике», - М.:«Высшая школа»1984 г., - 319 с.

Студент-практикант:Филатов А.С.

6

План-конспектзанятия

По теоретическойфизике

Студента V курсафизико-математическогофакультета,гр. ОФ-61

ФилатоваАлександраСергеевича

Дата проведениязанятия: 27.12.2000

Тема:«ФункцияГамильтона-Якоби.Разделениепеременных»

Цели:Закрепитьумение использованияметода Гамильтона-Якобипри решениизадач с разделениемпеременных.Сформироватьпонимание сутии могущественностиметода. Воспитыватьтрудолюбие,прилежность.

Типзанятия: практическое.

Ход занятия

Краткиетеоретическиесведения

Прирассмотрениидействия, какфункции координат(и времени), следуетвыражение дляимпульса:

Изпредставленияполной производнойдействия повремени следуетуравнениеГамильтона-Якоби:

Здесьдействиерассматриваетсякак функциякоординат ивремени: .

ПутеминтегрированияуравненияГамильтона-Якоби, находят представлениедействия в видеполного интеграла,который являетсяфункцией sкоординат,времени, и s+1постоянных(s – число степенейсвободы). Посколькудействие входитв уравнениеГамильтона-Якобитолько в видепроизводной,то одна из константсодержитсяв полном интегралеаддитивнымобразом, т.е.полный интегралимеет вид:

КонстантаА не играетсущественнойроли, посколькудействие входитвезде лишь ввиде производной.А определяет,что, фактически,лишь s константменяют действиесущественнымобразом. Этиконстантыопределяютсяначальнымиусловиями науравнениядвижения, которыедля любогозначения Абудут иметьодинаковыйвид, как и самоуравнениеГамильтона-Якоби.

Длятого чтобывыяснить связьмежду полныминтегралом уравненияГ.-Я. и интересующиминас уравнениямидвижения, необходимопроизвестиканоническоепреобразование,выбрав полныйинтеграл действияв качествепроизводящейфункции.

Константыбудут выступатьв качественовых импульсов.Тогда новыекоординаты

тожебудут константы,поскольку

Выражаяиз уравнения координатыв виде функцийот ,мы и получимзакон движения:

Решениезадачи на нахождениезависимости существенноупрощаетсяв случае разделенияпеременных.Такое возможно,когда какая-токоординатаможет бытьсвязана лишьс соответствующимей импульсоми не связанани с какимидругими импульсамиили координатами,входящимиуравнение Г.-Я.В частностиэто условиевыполняетсядля циклическихпеременных.

Итак,нахождениеуравненийдвижения методомГамильтона-Якобисводится кследующему:

1. составитьфункцию Гамильтона;

2. записатьуравнениеГ.-Я., и определитькакие переменныеразделяются;

3. ПутеминтегрированияуравненияГ.-Я. получитьвид полногоинтеграла ;

4. Составитьсистему sуравнений,и получитьзакон движения;

5. Понеобходимостинайти законизмененияимпульсов: .Для чегопродифференцироватьполный интегралпо координатам,а потом подставитьих явный вид,полученныйв пункте 4.

Примерырешения задач

На прошломзанятии былпродемонстрированпример нахождениязакона движениядля свободнойточки. Что жебудет происходитьпри помещенииточки в поле?

№9.22 []Составитьуравнения Г.-Я.для точки, движущейсяв однородномгравитационномполе. Найтиполный интегралэтого уравнения,а также траекториюи закон движенияточки.

Решение:

1.Направим осьOz вверх повертикали.Тогда функцияГамильтонаточки в декартовыхкоординатахпримет вид:

2.СоответственноуравнениеГ.-Я.:

3. Всепеременныев этом уравненииразделяются.Здесь .Разделениепеременныхпозволяет нампредставитьдействие в видесуммы:

Тогда,к примеру, изменениех, повлечетза собой изменениелишь первогослагаемогов квадратныхскобках уравнения. Слагаемоеможет меняться,а все выражениевсе равнотождественныйноль. Следовательно,это слагаемоеесть константа.

Выполняятакого родадействия, получимследующий видполного интегралауравненияГ.-Я.:

Заметим,что в выраженииполного интеграла уже содержитсятри константы.Система имееттри степенисвободы. Поэтомуэти три константыуже однозначноопределяютуравнениядвижения. 4-аяконстанта можетвходить в действиетолько аддитивнымобразом и неиграет существеннойроли. Соответственнофункция не должна содержатьболее констант.Полученнаяпри интегрированииэтой частидействия константабудет выражатьсячерез уже имеющиесятри. Поэтомувид функцииопределим,подставивдействие в виде в уравнениеГ.-Я. :

Интегрированиепоследнегоуравненияприводит кфункции:

Окончательнополный интеграл:

4. Отсюдана основаниитеоремы Якоби:

Первыедва из этихуравненияпоказывают,что траекториейчастицы являетсяпарабола, атретье уравнениепредставляетсобой закондвижения.

Далеенайдем, чтокомпоненты– сохраняются:

Вчастности, принулевых значенияхдвижение происходитпо прямой вдольоси Oz.

Найдемтакже компоненту,как функциюкоординат:

№9.24 []Найти полныйинтеграл уравненияГ.-Я. для мат.маятника изакон его движенияв квадратуре.

Решение:

1. Чтобысоставитьфункцию Гамильтона,можно пойтидвумя путями.

1. Записатьвид функцииГамильтонав полярныхкоординатах:

Нопоскольку длинастержня мат.маятника –величина постоянная,то ,а функция Гамильтонапримет вид:

2)Записать функциюЛагранжа, и изнее получитьвид функцииГамильтона,который будетсовпадать спредставлением. Предлагаетсяучащимся убедитьсяв этом самостоятельнов качестведомашнегозадания.

2. ЗапишемуравнениеГ.-Я.:

3. Ивремя t и координата –разделяются.Следовательно,полный интегралимеет вид:

Подставляяего в уравнениеГ.-Я. получимвид функции:

Наоснованиитеоремы Якобинайдем закондвижения маятника:

или

Литература:

1. Л.Д. Ландау, Е.М.Лифшиц «Механика,электродинамика»,- М.: «Наука»,1969 г., - 272 с.

2. Л.Д. Ландау, Е.М.Лифшиц «Механика»,- М.: «Наука», 1965г., - 204 с.

3. И.И. Ольховский,Ю.Г. Павленко,Л.С. Кузьменков«Задачи потеоретическоймеханике дляфизиков»,- М.: 1977 г., - 389 с.

4. Г.Л. Коткин, В.Г.Сербо «Сборникзадач по теоретическоймеханике», -М.: «Наука», 1977г., - 320 с.

5. И.В. Мещерский«Сборник задачпо теоретическоймеханике», -М.: «Наука», 1986г., - 448 с.

6. Л.П.Гречко, В.И.Сугаков, О.Ф.Томасевич,А.М. Федоренко«Сборник задачпо теоретическойфизике», - М.:«Высшая школа»1984 г., - 319 с.

Студент-практикант:Филатов А.С.

4

План-конспектзанятия

По теоретическойфизике

Студента V курсафизико-математическогофакультета,гр. ОФ-61

ФилатоваАлександраСергеевича

Дата проведениязанятия: 13.12.2000

Тема:«Скобки Пуассона.Каноническиепреобразования»

Цели:Развить навыкобращения соскобками Пуассона.Развить навыкиспользованияканоническихпреобразований.Научить осуществлятьпреобразованияЛежандра дляперехода кпроизводящейфункции отнеобходимыхпеременных.Воспитыватьтрудолюбие,прилежность.

Типзанятия: практическое.

Ход занятия

Краткиетеоретическиесведения

СкобкиПуассона:

Каноническиепреобразованияпеременных– это такиепреобразования,при которыхсохраняетсяканоническийвид уравненийГамильтона.Преобразованияпроизводятс помощьюпроизводящейфункции, котораяявляется функциейкоординат,импульсов ивремени. Полныйдифференциалпроизводящейфункции определяетсяследующимобразом:

Выбираяпроизводящуюфункцию от техили иных переменных,получаемсоответствующийвид каноническихпреобразований.

Примерырешения задач

№9.6[] Показать,что уравненияГамильтонаможно записатьв виде:

№9.7 []Показать, чтодля функцииканоническихпеременныхимеют местосоотношения:

№9.10[] С помощьюскобок Пуассонапоказать, чтоимпульс системыявляется интеграломдвижения, еслиее гамильтонианинвариантенотносительнопроизвольногопараллельногопереноса системыв пространстве.

Решение:

Поопределениюобобщенныйимпульс есть:

Нов силу однородностивремени функцияЛагранжа явноот времени независит, следовательно,и выражениедля импульсатакже не содержитв себе явнойзависимостипо времени:

Тогдаследуя формуле:

Припараллельномпереносе телав пространствекоординатыкаждой точкиэтого телапреобразуютсяпо закону:

Приэтом изменениегамильтонианаравно нулю. Нос другой стороныизменениегамильтонианаравно:

Гдесуммированиеидет по всемчастицам системы.Но посколькупри параллельномпереносе длякаждой частицы,можем вынестиего за знаксуммы. Принимаяво внимание,что ,получим:

Сдругой стороныдля каждойдекартовойкомпонентыимеет местосоотношениевида:

Здесьбыло использованосвойство аддитивностискобок Пуассона.Запишем совокупностьэтих соотношенийв краткой форме:

Сопоставляя и находим:

Т.о.согласно :

Чтоозначает, чтоимпульс системыявляется интеграломдвижения.

№9.9а) [] Доказать,что скобкиПуассона .

Принимаяво внимание,что ,и что импульсыи координатыявляются независимымипеременными,получим:

Поопределению:

Проверяяравенство длявсех значенийi, т.е. дляпоочередноубеждаемсяв тождественностипоследнего.

№10.14а-1) [] Вычислитьскобки Пуассона.

Всилу равенств:

Компонентывектора моментаинерции можнозаписать каксвертку тензоров(сам векторявляется тензоромI ранга):

,

где – полностьюантисимметричныйтензор, причем

,

остальныекомпонентытензора равнынулю.

Подставляяформулу в выражение, получим:

Посчитаемпо полученнойформуле , к примеру,:

№9.31[] Найтиканоническоепреобразование,соответствующеепроизводящейфункции: .

Решение:

Посколькупроизводящаяфункция явноот времени независит, .

Такоепреобразованиеявно не меняетвид каноническихуравнений, ктому же сводитпросто к взаимномупереименованиюкоординат иимпульсов.Следовательно,в гамильтоновомформализмепонятие обобщенныхкоординат иимпульсовлишено ихпервоначальногосмысла. Мы всегдаможем назватькоординатыимпульсами,а импульсыкоординатами(см. ). Ввиду этойусловноститерминологиипеременныеp и qв формализмеГамильтоначасто называютканоническисопряженнымивеличинами.

№9.37 []Показать, чтогамильтонианявляется инвариантомпри бесконечномалом каноническомпреобразованиис производящейфункцией

,

где–интеграл движения.

Решение:

Запишемканоническиепреобразования:

Изменениегамильтонианав случае бесконечномалого каноническогопреобразованияесть

Изканоническихуравнений следует, что

Выражаяиз уравнения и подставляяего в уравнение, с точностьюдо членов первогопорядка малости,получим:

Подставим и в выражениедля изменениягамильтониана. Получим:

Поусловию функцияf являетсяинтеграломдвижения. Азначит

Сдругой стороны

Подставляяв последнеевыражениеравенства ,получаем:

Сопоставляя и , делаем вывод,что изменениегамильтониана

,

чтои требовалосьдоказать. Т.е.гамильтонианявляется инвариантомпри бесконечномалом каноническомпреобразованиис заданнойпроизводящейфункцией.

Домашнеезадание:

№9.8[] Показать,что функцияявляется интеграломдвижения свободнойчастицы в отсутствиевнешних сил.

Решение:

Длясвободнойчастицы:

Согласно:

№9.9б) [] Доказать,что скобкиПуассона .

№10.14а) [] Вычислитьскобки Пуассона:,.

№9.32[] Показать, чтопроизводящаяфункция определяеттождественноеканоническоепреобразование.

Литература:

1. Л.Д. Ландау, Е.М.Лифшиц «Механика,электродинамика»,- М.: «Наука»,1969 г., - 272 с.

2. Л.Д. Ландау, Е.М.Лифшиц «Механика»,- М.: «Наука», 1965г., - 204 с.

3. И.И. Ольховский,Ю.Г. Павленко,Л.С. Кузьменков«Задачи потеоретическоймеханике дляфизиков»,- М.: 1977 г., - 389 с.

4. Г.Л. Коткин, В.Г.Сербо «Сборникзадач по теоретическоймеханике», -М.: «Наука», 1977г., - 320 с.

5. И.В. Мещерский«Сборник задачпо теоретическоймеханике», -М.: «Наука», 1986г., - 448 с.

6. Л.П.Гречко, В.И.Сугаков, О.Ф.Томасевич,А.М. Федоренко«Сборник задачпо теоретическойфизике», - М.:«Высшая школа»1984 г., - 319 с.

Студент-практикант:Филатов А.С.

5