Полиномы Лагерра в квантовой механике

Министерство образования Российской Федерации

Иркутский Государственный Технический Университет

Физико-технический институт

Кафедра Квантовой физики и нанотехнологий

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема:

Полиномы.

Полиномы Лагерра в квантовой механике

Выполнил (а) студент (ка)

2 курса, группы НТ-08,

.

Научный руководитель

.,ДФМН, профессор кафедры квантовой физики

Иркутск

2010

Содержание

Введение 3

Глава I . Ортогональные полиномы. 4

1.1. Понятие ортогональных полиномов 4

1.2. Классические ортогональные полиномы 5

1.3. Общие свойства ортогональных полиномов 7

Глава II. Полиномы Лагерра 8

Глава III. Применение полиномов Лагерра в квантовой механике 10

3.1. В радиальной части решения уравнения Шредингера для атома с одним электроном. 10

3.2. Переход в осцилляторе 12

Заключение 13

Используемая литература 14

Приложение 15

Введение

В представленной работе, я рассмотрела виды полиномов, в частности полиномы Лагерра, их основные свойства и применение в квантовой механике через математические выкладки решений уравнений Шредингера для атома водорода и гармонического осциллятора.

По своей сути полином - это алгебраическая сумма конечного числа одночленов, т.е. выражений вида Ax^ky^l...w^m где x, y, ..., w -переменные, А (коэффициент многочлена) и k, l, ..., m (показатели степеней - целые неотрицательные числа)- постоянные. Многочлен от одного переменного x всегда можно записать в виде а₀х_n + а₁х_n-1 + ... + а_n-1х + а_n.

К классическим ортогональным полиномам относятся полиномы Якоби, Эрмита, Лагерра

Они часто встречаются в теоретической и математической физике. Классические ортогональные полиномы удовлетворяют уравнениям вида

где - полином степени не выше 2, - полином степени не выше 1, - постоянная.

В ходе работы использовала учебник Никифорова А.Ф.,Специальные функции математической физики; Фока. Начало квантовой механики.

Глава I. Ортогональные полиномы

1.1.Понятие ортогональных полиномов

Ортогональные полиномы - системы полиномов , n = 0, 1, ..., ортогональных с весом на интервале (а, b)

где - квадрат нормы. Подобные системы возникают в различных задачах математики, физики: в теории представлений групп, в вычислит. математике, при решении задач на собственные значения в теории волн, квантовой механике и др.

Задание веса и интервала (а,b) определяет полином р_n(х), удовлетворяющий соотношению ортогональности (1) однозначно, с точностью до нормировочного множителя. Для полиномов р_n(х)справедливо след. явное выражение в виде определителя:

где А_n - нормировочная постоянная, - момент весовой функции. Из соотношений ортогональности (1) можно получить свойства Ортогональных полиномов.

1.2.Классические ортогональные полиномы.

Полиномы Якоби, Лагерра и Эрмита – полиномы типа y_n(z) являются решениями уравнения . Явные выражения для этих полиномов даются формулой Родрига , где B_n – нормировочная постоянная, а функция p(z) удовлетворяет дифференциальному уравнению .

Решая эти уравнения, получим в зависимости от степени полинома следующие возможные виды функции p(z):

где – некоторые постоянные.

В зависимости от вида функции получаются следующие системы полиномов:

1.Пусть

Тогда

Соответствующие полиномы y_n(z) при называются полиномами Якоби и обозначаются

2.Пусть Тогда

Полиномы y_n(z) при называются полиномами

Эрмита и обозначаются

3.Пусть Тогда

Полиномы y_n(z) при называются полиномами Лагерра и обозначаются :

1.3.Общие свойства ортогональных полиномов

Классические ортогональные* полиномы обладают целым рядом свойств, которые вытекают непосредственно из свойств ортогональности полиномов. Таким свойствами обладают любые полиномы на интервале (a,b) с произвольным весом p(x)>0.

1.Разложение произвольных полиномов по ортогональным. (Произвольный полином n-й степени q_n(x) можно представить в виде линейной комбинации ортогональных полиномов p_n(x))

2.Единственность системы полиномов при заданном весе.

3.Рекуррентные соотношения (для произвольных ортогональных полиномов имеет место рекуррентная формула, связывающая три последовательных полинома

где - некоторые постоянные

Глава II. Полиномы Лагерра

В математике, многочлены Лагерра, названные в честь Эдмона Лагерра (1834—1886), являются каноническими решениями Уравнения Лагерра:

являющегося линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Многочлены Лагерра, обычно обозначающиеся как , являются последовательностью полиномов, которая может быть найдена по Формуле Родрига

Эти полиномы ортогональны друг другу со скалярным произведением:

Многочлены Лагерра применяются в квантовой механике, в радиальной части решения уравнения Шредингера для атома с одним электроном. Имеются и другие применения многочленов Лагерра.

Полиномы Лагерра можно определить рекуррентной формулой:

предопределив первые два полинома как:

Обобщенные полиномы Лагерра.

где:

· **— главное (радиальное) квантовое число;

· ^***— орбитальное (азимутальное) квантовое число.

Обобщённые полиномы Лагерра являются решениями уравнения:

так что .

ГлаваIII. Применение полиномов Лагерра в квантовой

механике.

Многочлены Лагерра нашли свое применение в квантовой механике:

3.1.В радиальной части решения уравнения Шредингера для атома с одним электроном (нормирование волновой функции).

Разложение волновой функции на множители, каждый из которых зависит либо от радиальной, либо от угловых координат, позволяет разбить общее условие нормировки

на два: по радиальной координате

и по угловым:

^.

Для справочных целей выпишем полные выражения для нормированных волновых функций. Сумма может быть выражена через так называемую гипергеометрическую функцию. Радиальная часть волновой функции с учётом условия нормировки равна

Здесь F — вырожденная (конфлюэнтная) гипергеометрическая функция (функция Куммера):

которая сходится при всех конечных z; параметр α произволен, а β предполагается не равным нулю или целому отрицательному числу. Если α есть целое отрицательное число (или нуль), то F(α, β, z) сводится к полиному степени |α|. Радиальные волновые функции выражаются также через обобщённые полиномы Лагерра :

3.2.Переход в осцилляторе.

Расчет переходов в осцилляторе под действием внешней силы.

Под влиянием внешней силы квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии () на другой (). Вероятность этого перехода для осциллятора без затухания даётся формулой:

,

где функция определяется как:

,

а — полиномы Лагерра.

Заключение

В данной работе были рассмотрены полиномы - алгебраические многчлены Якоби, Эрмита и Лагерра, их форма записи, общие свойства. Более подробно рассматривались полиномы Лагерра, они нашли свое применение в квантовой механике - являются частью рассчетов вывода уравнения Шредингера и уравнения переходов в осцилляторе под действием внешней силы.

Используемая литература

1. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Специальные функции математической физики, 2 изд., М., 1984

2. Суетин П. К., Классические ортогональные многочлены, 2 изд., М., 1979

3. Фок. Начало квантовой механики.

Приложение

^* Если скалярное произведение двух элементов пространства равно нулю, то они называются ортогональными друг другу

^** Главное (радиальное) квантовое число — целое число, обозначающее номер энергетического уровня. Характеризует энергию электронов, занимающих данный энергетический уровень. Является первым в ряду квантовых чисел, который включает в себя главное, орбитальное и магнитное квантовые числа, а также спин. Эти четыре квантовые числа определяют уникальное состояние электрона в атоме (его волновую функцию). Главное квантовое число характеризует энергию электрона. Оно обозначается как n. При увеличении главного квантового числа возрастают радиус орбиты и энергия электрона.

Наибольшее число электронов на энергетическом уровне, с учетом спина электрона определяется по формуле

^*** Орбитальное квантовое число (азимутальное) - определяет азимутальное распределение плотности вероятности локализации электрона в атоме, то есть форму электронного облака и определяет энергетический подуровень данного энергетического уровня.

Связано с n -главным (радиальным) квантовым числом соотношением:

* см. приложение

** см. приложение