Определение момента инерции тела и проверка теоремы Штейнера методом крутильных колебаний

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ.

Цель работы: изучить метод крутильных колебаний (трифилярный подвес) и применить его для определения момента инерции тела и проверки теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Приборы и принадлежности: установка, секундомер, штангенциркуль, линейка, образцы для измерений.

ТЕОРИЯ МЕТОДА И ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ.

Установка для определения момента инерции тела, которая применяется в данной работе, называется трифилярным подвесом. Состоит она из диска (платформы) (рис.1), горизонтально подвешенной на трех симметрично расположенных нитях 2. Вверху нити прикреплены к основанию 3, имеющему три симметрично расположенных выступа. Основание с помощью болта 5 и упругой пластины 6 соединено с кронштейном 4.

Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, проходящей через ее середину. При этом центр тяжести платформы перемещается вдоль оси вращения.

Пусть масса платформы m0, вращаясь в некотором направлении, поднялась на высоту h от положения равновесия. Изменение ее потенциальной энергии при этом составит

E1=m0gh(1)

где g– ускорение силы тяжести.

Возвратившись в положение равновесия, платформа будет иметь угловую скорость w0 и кинетическая энергия ее будет

E2=I(2)

где I – момент инерции платформы относительно оси вращения.

Пренебрегая работой сил трения, закон сохранения механической энергии запишется

I= m0gh(3)

При малой амплитуде колебания платформы будут гармоническими, т.е. зависимость углового смещения bот времени t имеют вид

b=asin(4)

где a - амплитуда;

Т – период колебаний.

В свою очередь угловая скорость w=или w=. Максимальное изменение угловой скорости w0 , соответствующее моменту времени, когда платформа проходит через положение равновесия

w=(5)

Из (3) и (5) имеем

mgh=I()²(6)

Найдем h. Пусть l – длина нитей подвеса (рис.2), R – расстояние от центра платформы до точек крепления нитей на ней, r – радиус окружности, на которой лежат точки крепления нитей к основанию.

Из рис.2 видим, что

h=OO1=BC-BC1=

В свою очередь

Поэтому

При малых углах смещения

; (BC+BC1)=2l

учитывая это, будем иметь

(7)

тогда из (6) и (7) находим

(8)

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.

Упражнение 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА.

1. Убедиться в том, что платформа расположена горизонтально.

2. Определить R,r,l (масса платформы m0=(1.025±0.0005)кг.), R и r удобно определить из известной геометрической формулы, измерив предварительно с помощью линейки расстояние между точками подвеса двух нитей вверху и внизу.

3. Путем несильного нажатия на край основания 3 (рис.1) сообщить платформе вращательный импульс и при помощи секундомера измерить время 50-70 полных ее колебаний. Опыт повторить 3-5 раз.

4. Найти период Т0 из этих этих колебаний по формуле (8) определить I0– момент инерции платформы. Результаты занести в таблицу 1.

5. Платформу нагрузить исследуемым телом, предварительно определив его массу m. Определить период колебаний T1системы тело-платформа (масса системы – m+m0) и момент инерции системы I1. Величина момента инерции тела найдется как разница I=I1-I0. Опыт повторить 3-5 раз. Результаты измерений занести в таблицу 2.

6. Найти ошибку определения I.

7. Сравнить полученное значение I и I0с теоретическим, вычисленным по формуле момента инерции для данного тела.

Упражнение 2: ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ГЮЙГЕНСА- ШТЕЙНЕРА (ШТЕЙНЕРА-ЖУРАВСКОГО).

1. Взять два одинаковых тела и в соответствии с упражнением 1 определить их момент инерции 2I2. Для этого, положив тела одно на другое в центре платформы так, чтобы центры масс тел лежали на одной вертикали с центром масс платформы. Момент инерции одного тела относительно проходящей через центр масс оси будет равен I2. Опыт повторить 3-5 раз. Результаты занести в таблицу 3.

2. Расположить тела на некотором расстоянии друг от друга симметрично относительно центра платформы.

3. Определить расстояние a от центра масс из тел до оси вращения и его момент инерции I3. Из опыта найти момент инерции системы из двух тел 2I3. Опыт повторить 3-5 раз. Результаты измерений занести в таблицу 4.

4. Найти I3 по теореме Штейнера

(9)

где m – масса тела, при этом для I2, m, a берут значения,

полученные опытным путем.

5. Сравнить значения I3, полученные по формуле (9) и экспериментально.

6. Найти ошибки определения I2и I3.

Таблица 1.

Таблица 2.

Таблица 3.

Таблица 4.

Масса большого цилиндра mб=(842,5±0,5)г.

Масса малого цилиндра mм=(303,15±0,5)г.