Статистика, ее основные показатели

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Витебский государственный технологический университет»

Кафедра экономики

КОНТРОЛЬАЯ РАБОТА

по дисциплине «Статистика»

ВАРИАНТ № 6

Задание № 1

Используя данные статистического наблюдения о производительности труда рабочих, провести статистическое исследование:

1) Исходный эмпирический ряд преобразовать в дискретный и интервальный и по каждому из них (вариационному, дискретному и интервальному), рассчитать среднюю величину.

2) По дискретному ряду исчислить среднюю величину с использованием её свойств.

3) По интервальному ряду определить моду и медиану.

4) По дискретному ряду рассчитать показатели вариации:

– размах,

– среднее линейное отклонение,

– дисперсию,

– среднее квадратическое отклонение,

– коэффициент осцилляции,

– относительное линейное отклонение,

– коэффициент вариации.

Решение задания 1

1) Для нахождения средней величины вариационного ряда воспользуемся формулой:

= ; = = 150 (деталей)

где ∑Х – это сумма всех деталей, вырабатываемых рабочими за месяц,

n – количество рабочих.

Рассчитаем среднюю величину для дискретного ряда:

Рассчитываем среднюю арифметическую взвешенную по сгруппированным данным, используя формулу:

= ; = = 150 (деталей)

Далее для интервального ряда определяем число групп с использованием формулы Стерджесса:

n = 1 + 3,322 lgN; n = 1 + 3,322 lg 40 = 5,92 (≈ 6 групп)

где n – число групп, N – число единиц совокупности (40).

Затем определяем величину интервала (h) по формуле:

h = = = 16 (деталей)

И используя таблицу, рассчитываем среднюю величину:

= , = = 153,8 (деталей)

2) По дискретному ряду исчисляем среднюю величину с использованием её свойств, в том числе по «способу моментов»:

Определяем среднюю величину по «способу моментов»:

* А + Х₀ , * 24 + 168 = 150 (деталей)

3) Для определения моды (Mo) по интервальному ряду, вначале находим ширину модального интервала (i_Mo):

i_Mo = , i_Mo = = 16,

а затем рассчитываем моду по формуле:

Mo=x_Mo + i_Mo

где х_Mo– начальная граница модального интервала (120),

i_Mo– ширина модального интервала (16),

f_Mo– частота модального интервала (20),

f_Mo-1 –частота интервала, предшествующего модальному (0),

f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным (5).

Mо=120+ 16 = 129 (деталей)

Для расчета медианы по интервальному ряду, вначале определяем медианный интервал по способу накопления частот:

Медиану находим по формуле:

Me = X_Me+ i_Mе, Me =120 + 16 = 136

где X_Me – начальная граница медианного интервала (120),

i_Mе– ширина медианного интервала (16),

– частота медианного интервала (20),

S_{Mе-1 –} сумма накопленных частот интервала, предшествующего медианному (0),

– сумма всех частот ряда (40),

4) Рассчитываем показатели вариации по дискретному ряду:

1) Размах R = x_max – x_min , R = 216 – 120 = 96 (деталей)

2) Среднее линейное отклонение === 31,5

3) Дисперсия ² =, ²= = 1260

4) Среднее квадратическое отклонение == , ==35,496 ≈ 36

5) Коэффициент осцилляции K_R= * 100, K_R= * 100 = 64 %

6) Относительное линейное отклонение K_е = * 100 %, K_е = = 21 %

7) Коэффициент вариации V = * 100, V = = 23,664 %

Задание № 2

Используя статистическую информацию, приведенную в таблице, проанализировать динамику объема продукции по двум родственным организациям:

1) по организации № 1 исчислить цепные показатели динамики;

2) по организации № 2 исчислить базисные показатели динамики;

3) методом аналитического выравнивания установить общую тенденцию (определить тренд) изменения объема продукции:

3.1) по организации № 1 – за 6 лет;

3.2) по организации № 2 – за последние 5 лет.

4) По каждому заданию сделать развернутые выводы.

5) Сравнить динамику выпуска продукции по двум организациям.

Решение задания 2

1) Исчисляем цепные показатели динамики по организации № 1:

дискретный интервальный эмпирический вариация

Выводы: выпуск продукции в 2003 году по сравнению с 2002 повысился на 30 тыс.шт., т.е. как мы видим по темпам роста в 1,058 раза или на 5,8%, а 1% прироста давал увеличение продукции на 5,172 тыс.шт.

В 2004 году по сравнению с 2003 выпуск продукции повысился на 10 тыс.шт., т.е. в 1,018 раза или на 1,8%, а 1% прироста давал увеличение продукции на 5,556 тыс.шт.

В 2005 году по сравнению с 2004 выпуск продукции повысился на 60 тыс.шт., т.е. в 1,107 раза или на 10,7%, а 1% прироста давал увеличение продукции на 5,607 тыс.шт.

В 2006 году по сравнению с 2005 выпуск продукции повысился на 20 тыс.шт., т.е. в 1,032 раза или на 3,2%, а 1% прироста давал увеличение продукции на 6,25 тыс.шт.

В 2007 году по сравнению с 2006 выпуск продукции повысился на 60 тыс.шт., т.е. в 1,094 раза или на 9,4%, а 1% прироста давал увеличение продукции на 6,383 тыс.шт.

В течение периода с 2002 г. по 2007 г. в организации №1 согласно расчетам наблюдается увеличение выпуска продукции, средний темп прироста составляет +6,1%, а средний абсолютный прирост +36 тыс.шт.

2) Исчисляем базисные показатели динамики по организации № 2:

Выводы: выпуск продукции в 2003 году по сравнению с 2002 повысился на 50 тыс.шт., т.е. как мы видим по темпам роста в 1,071 раза или на 7,1%. В 2004 году по сравнению с 2002 выпуск продукции увеличился на 80 тыс.шт., т.е. в 1,114 раза или на 11,4%. В 2005 году по сравнению с 2002 происходит увеличение объема выпуска продукции на 100 тыс.шт., т.е. в 1,143 раза или на 14,3%. В 2006 году по сравнению с базисным периодом (2002 г) увеличивается выпуск продукции на 120 тыс. шт., т.е. в 1,171 раза или на 17,1%. В 2007 году по сравнению с 2002 также объем выпуска продукции увеличивается 130 тыс.шт., т.е. в 1,186 раза или на 18,6%.

В течение периода с 2002 г. по 2007 г. в организации №2 согласно расчетам наблюдается повышение выпуска продукции, средний темп прироста составляет 13,6%, а средний абсолютный прирост 96 тыс.шт.

3) Определяем общую тенденцию способом аналитического выравнивания ряда динамики следующим образом:

– выбор математической модели развития явления во времени;

– определение параметров уравнения (тренда) %;

– экономическая интерпретация найденного тренда;

– графическая обработка результатов аналитического выравнивания

Абсолютный прирост уровней ряда происходит в арифметической прогрессии, следовательно, выравнивание ряда динамики следует производить по прямой: =

где: – выровненные (теоретические ) уровни ряда;

,– параметры уравнения; t – условное обозначение времени.

Установим общую тенденцию (определим тренд) изменения объема продукции по организации № 1 за 6 лет.

Поскольку используется ряд с четным количеством периодов, то:

При упрощенном способе расчетов, когда ∑t = 0, параметры прямой определяются по формулам:

= , = = 598,333; = , = = 17,571.

где у –исходный уровень ряда динамики;

n – количество периодов ряда.

Уравнение прямой (тренда) будет иметь вид: = 598,333+17,571t

Рассчитаем теоретические уровни ряда динамики:

598,333 + 17,571 * (-5) = 598,333 + (- 87,855) = 510,478

598,333 + 17,571 * (-3) = 598,333 + (- 52,713) = 545,62

598,333 + 17,571 * (-1) = 598,333 + (- 17,571) = 580,762

598,333 + 17,571 * 1 = 615,904

598,333 + 17,571 * 3 = 598,333 + 52,713 = 651,046

598,333 + 17,571 * 5 = 598,333 + 87,855 = 686,188

Поскольку имеет знак «+», то наблюдается тенденция роста.

Определяем скорость ряда для экономической интерпретации найденного тренда, которая при четном количестве периодов времени (6), будет равна:

2 * = 2 * 17,571 = 35,142

Полученный тренд свидетельствует о наличии положительной тенденции в измерении выпуска продукции (а₁ > 0), так как в среднем за год выпуск составил 598,333 тыс. шт., то среднегодовой рост объема выпуска продукции за этот период составляет 35,142 тыс. шт:

Определяем тренд изменения объема продукции по организации № 2 за последние 5 лет, используя ряд с нечетным количеством периодов:

При упрощенном способе расчетов параметры прямой определяются по формулам:

= , = = 796;

= , = = 20.

Уравнение прямой (тренда) будет иметь вид:

= 796 + 20t

где у –исходный уровень ряда динамики;

n – количество периодов ряда.

Рассчитаем теоретические уровни ряда динамики:

796 + 20 * (-2) = 796 + (- 40) = 756

796 + 20 * (-1) = 796 + (- 20) = 776

796 + 20 * 0 = 796

796 + 20 * 1 = 816

796 + 20 * 2 = 796 + 40 = 836

Поскольку имеет знак «+», то наблюдается тенденция роста

Определяем скорость ряда для экономической интерпретации найденного тренда, которая при нечетном количестве периодов времени (5), будет равна параметру а₁, т.е. 20 тыс.шт.

Полученный тренд свидетельствует о наличии положительной тенденции в измерении выпуска продукции (а₁ > 0), если в среднем за год выпуск составил 796 тыс. шт., то его прирост из года в год за исследуемые 5 лет в среднем составляет 20 тыс. шт.:

5) Чтобы сравнить динамику выпуска продукции по двум организациям, необходимо применить способ приведения рядов динамики к единому основанию и исчислить коэффициент опережения:

Из таблицы видно, что выпуск продукции по двум организациям происходит неравномерно.

Приведем ряды динамики к единому основанию, т.е. все уровни выразим в процентах к начальному уровню.

Тогда ряд динамики преобразуется в ряд динамики, состоящий из базисных уровней темпов роста:

Следовательно, выпуск продукции в организации № 1 с 2003 – 2004 г. растет медленнее, чем в организации № 2, а с 2005 – 2007 г. растет быстрее, чем в организации № 2.

Для сравнения рассчитаем коэффициенты опережения (К_опер.)

К_{опер.2004} = 107,6/111,4 = 0,966

К_{опер.2007} = 134,6/118,6 = 1,135

При сравнении организации № 1 и организации № 2 можно сделать следующие выводы: выпуск продукции в организации № 1 с 2003-2004 г. растет медленнее в 0,966 раз, а с 2005-2007 растет быстрее в 1,135 раз:

Задание № 3

Используя индексный метод по данным, приведенным в таблице, проанализировать деятельность организации:

1. Определить, как изменились издержки организации в отчётном периоде по сравнению с базисным и как повлияло на эти изменение:

1.1) изменение объёма выпускаемой продукции;

1.2) изменение себестоимости единицы продукции;

Показать связь индексов и дать развернутый вывод.

2. Определить индексы средней цены изделия переменного, фиксированного (постоянного) состава и структурных сдвигов.

Сделать развёрнутый вывод об изменении средней цены единицы продукции и его причинах.

Решение задания 3

При выполнении первого пункта задания целесообразно использование таблицы следующей формы:

Для того, чтобы определить, как изменились издержки организации в отчетном периоде по сравнению с базисным, следует рассчитать агрегатный индекс издержек (себестоимость всей продукции по организации):

I_z= , I_z= 1,1044 раз или + 10,4 %

Агрегатный индекс издержек показывает относительное изменение издержек организации. Можно рассчитать абсолютное изменение издержек (в рублях):

∆z =∑ – ∑ , ∆z = 12060 – 10920 = 1140 (млн.рублей)

Индекс издержек организации показывает изменение показателя издержек организации за счет объема выпускаемой продукции, и за счет себестоимости единицы продукции.

При использовании индексного метода проводится факторинговый анализ и оценивается обособленное влияние каждого из этих факторов:

Изменение издержек организации за счет изменения объема выпускаемой продукции рассчитывается по формуле:

I_q= , I_q= 1,1392или + 13,92 %

∆ = ∑ – ∑ , 12440-10920=1520 (млн.рублей)

Изменение издержек за счет изменения себестоимости единицы продукции рассчитывается по формуле:

I_z= , I_z= 0,9695 или - 3,1 %

∆ = ∑ – ∑ , = 12060 – 12440 – -380 (млн.рублей)

Таким образом, издержки организации в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличились на 10,4 % или на 1140 млн.рублей. За счет увеличения объема выпускаемой продукции издержки выросли на 13,9 % или на 1520 млн.рублей и за счет уменьшения себестоимости единицы продукции издержки уменьшились на 3,1% или на 380 млн.рублей произошло это изменение.

В отчетном периоде по сравнению с базисным, объем выпускаемой продукции А увеличился на 20%, продукции Б – на 12,5% и продукции В – на 11,1%.

Себестоимость единицы продукции А в отчетном периоде по сравнению с базисным выросла на 10 %; себестоимость единицы продукции Б выросла на 5,6 %, а единица продукции В снизилась на 3,6 %.

Для расчёта индексов средней цены используем следующую таблицу:

Рассчитываем индекс переменного состава средней цены изделия по формуле:

Iр_п.с. = ÷ , Iр_п.с. = ÷ = 0,9213 (- 7,87 %)

или

Iр_п.с. = , Iр_п.с. = = 0,9213 (- 7,87 %)

Далее исчисляем индекс фиксированного состава:

Iр_ф.с. = ÷,

Iр_ф.с. = ÷ = 0,9242 (- 7,58 %)

Или

Iр_ф.с. = ,

Iр_ф.с. = 0,9242(- 7,58 %)

Затем индекс структурных сдвигов:

Iр_с.с. = ÷,

Iр_с.с. = ÷ = 0,9968 (- 0,32 %)

Или

Iр_с.с. = ,

Iр_с.с. = = 0,9968 (- 0,32 %)

Из этого следует, что средняя цена единицы продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным уменьшилась на 7,87 %.

Это вызвано непосредственным падением цен на анализируемую продукцию. Индекс фиксированного состава показывает, что непосредственное изменение цен составило их уменьшение на 7,58 %.

Одновременно наблюдается отрицательное влияние на изменение средней цены фактора структурных сдвигов.

Увеличение в отчетном периоде продукции А и Б, которые имеют более низкую цену, при одновременном уменьшении количества продукции В, имеющей более высокую цену, приводит к снижению средней цены на 0,32%.

Задание № 4

Используя статистические данные производственной деятельности 15-ти организаций отрасли, необходимо установить наличие, характер и тесноту связи между признаком-фактором (х) и признаком-результатом (у).

Исследование зависимости между признаками необходимо провести следующими методами:

4.1) методом параллельных рядов;

4.2) методом аналитических группировок;

4.3) методом корреляционно-регрессионного анализа.

Исследование зависимости по каждому из указанных методов завершается выводом о наличии, характере и тесноте установленной связи между Х и У.

Решение задания 4

Чтобы установить зависимость по методу сравнения параллельных рядов для оценки тесноты связи, воспользуемся коэффициентом ранговой корреляции, который рассчитывается по формуле:

Для его определения воспользуемся таблицей:

В данном случае можно сказать, что связь есть, и она прямая, поскольку с увеличением X просматривается увеличение Y.

= 0,966

Коэффициент ранговой корреляции позволяет сделать вывод о наличии весьма тесной связи между коэффициентом финансовой независимости и рентабельностью капитала, т.к. 0,7<<1.

Использование метода аналитических группировок предполагает предварительное определение количества групп. В данном случае количество групп равно 5.

Определим ширину интервала группировки по X:

; 8 (при К = 5)

Для проведения расчетов воспользуемся таблицей:

Связь между коэффициентом финансовой независимости и рентабельностью капитала прямая.

Для расчета дисперсии воспользуемся следующей таблицей:

= 5,927

Для оценки тесноты связи рассчитаем эмпирическое корреляционное отношение:

= 1,386;

= 1,223;

;

Таким образом, можно сделать вывод, что связь между исследуемыми признаками весьма тесная.

Для проведения исследования зависимости с помощью корреляционно-регрессионного анализа определим уравнение регрессии.

Если предполагается, что связь линейная (т.е. у_расч.= а₀+а₁x), то задача нахождения уравнения связи состоит в расчете таких значений коэффициентов а₀ и а₁, при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений у от фактических была бы минимальной:

;

Построим таблицу следующей формы:

; ; ;

;

Следовательно, уравнение связи между коэффициентом финансовой независимости и рентабельность капитала имеет вид:

Коэффициент корреляции используется для оценки тесноты связи между исследуемыми показателями.

Для вычисления коэффициента корреляции используется формула:

где – среднеквадратичное отклонение величины x,

– среднеквадратичное отклонение величины y.

, ; ,

где n – число значений переменных.

Тогда

Таким образом, между коэффициентом финансовой независимости и рентабельность капитала связь весьма тесная.

Отобранная для анализа группа данных называется выборной, а вся совокупность данных, из которых выделяется выборка, генеральной совокупностью.

Поскольку значения коэффициента корреляции определяются по выборочным данным и, следовательно, будут различными при рассмотрении различных выборок из одной и той же генеральной совокупности, значение коэффициента корреляции следует рассмотреть как случайную величину.

Таким образом, может возникнуть ситуация, когда величина коэффициента корреляции, рассчитанного по данным выборки, отлична от нуля, а истинный коэффициент корреляции равен нулю.

Для проверки значимости отличия коэффициента корреляции от нуля используется критерий Стьюдента, определяемый по формуле:

;

где – среднеквадратичная ошибка выборочного коэффициента корреляции:

; ;

Расчетная величина t-критерия сопоставляется с табличной величиной, отыскиваемой в таблицах значений этого критерия при числе степеней свободы, равном (n-2) и заданной доверительной вероятностью, которая обычно выбирается равной Р = 0,95 или Р = 0,99.

Если расчетная величина t-критерия окажется больше табличной, то это означает, что полученный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля; если же расчетное значение критерия меньше табличного, то коэффициент корреляции следует считать равным нулю.

Т.о. , однако, не следует утверждать, что коэффициент корреляции равен нулю, т.к. это может быть обусловлено случайной выборкой данных.

Величина называется коэффициентом регрессии, который является случайной величиной, поэтому возникает необходимость проверки значимости его отличия от нуля. Эта проверка осуществляется с помощью t-критерия.

Проверим значимость коэффициента .

Вычислим ошибку коэффициента регрессии:

Данные для расчета сведем в таблицу:

;

Коэффициент регрессии показывает, на сколько, в среднем, изменяется величина результативного признака у при изменении факторного признака x на единицу.

Таким образом, , но это может быть обусловлено некоторой погрешностью при выборке данных.

Рассчитаем коэффициент эластичности по формуле:

,

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов увеличится у при увеличении x на 1%.

Таким образом, произведенный анализ показывает, что рентабельность капитала имеет весьма тесную связь с коэффициентом финансовой независимости (коэффициент корреляции = 0,9) , следовательно, связь прямая.

Из полученного уравнения регрессии следует, что увеличение коэффициента финансовой независимости на 1 % приводит к увеличению рентабельности капитала на 0,835 %.

Задание № 5

Используя данные выборочного наблюдения (таблица 5.1), исследовать уровень выполнения норм выработки рабочими предприятия:

1) С вероятностью до 0,997 определить, в каких пределах будет находиться средний процент выполнения норм выработки всеми рабочими предприятия.

2) С вероятностью до 0,954 определить, в каких пределах будет находиться доля рабочих, не выполняющих нормы выработки, в целом по предприятию.

Необходимо учитывать, что выборка производилась случайным бесповторным способом из 1000 рабочих предприятия.

1) Определяем средний % выполнения норм выработки по выборке:

= ,

= 105,7

Учитывая, что данные получены путем бесповторного механического отбора, определяем среднюю и предельную ошибку выборки с вероятностью до 0,997 по формуле:

где t – определяется по специальной таблице в зависимости от заданного уровня вероятности (Р) –в данном случае t=3;

– средняя ошибка выборки.

При бесповторном способе отбора случайной или механической выборки:

где N – число единиц в генеральной совокупности (N=1000),

– дисперсия признака; n – число единиц совокупности (n=30)

где x – индивидуальные значения признака у каждой единицы совокупности, – среднее значение признака.

Расчетная таблица для исчисления дисперсии для нахождения средней квадратичной ошибки выборки:

Определяем среднюю квадратическую ошибку бесповторного отбора:

Вычислим предельную ошибку выборки, с вероятностью 0,997 и коэффициентом доверия t=3:

; (%)

Таким образом, ошибка наблюдения составляет ±5,319 % из всей совокупности выборки (N=1000).

Доверительный интервал для x будет:

; ;

Следовательно, с вероятностью Р = 0,997 можно утверждать, что % выполнения норм выработки на предприятии в отрасли будет заключен в пределах от 100,381 % до 111,019 %.

2) Определяем долю рабочих, не выполняющих норму выработки (), т.е. :

,

где m – количество рабочих, не выполняющих норму выработки,

n – число единиц совокупности (n=30).

0,3

Учитывая, что данные получены путем бесповторного отбора, определим среднюю и предельную ошибки выборки с вероятностью Р = 0,954 и t = 2; N=1000

Средняя ошибка:

; ;

Предельная ошибка:

; (%)

Определим границы доли рабочих, не выполняющих нормы выработки, в генеральной совокупности:

=> 0,3 – 0,1648 < P < 0,3 + 0,1648

=> 0,1352 < P < 0,4648

Следовательно, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля рабочих, не выполняющих норму выработки на предприятии будет находиться в пределах 0,1352 ÷ 0,4648.

Задание № 6

Имеются следующие показатели результатов экономической деятельности страны за отчётный год (в действующих ценах, млрд. руб.):

Постройте «Счёт операций с капиталом» и определите его балансирующую статью (чистое кредитование или чистое заимствование)

Решение задания № 6.

1. Счёт производства:

2. Счёт образования доходов:

3. Счёт первичного распределения доходов:

4. Счёт вторичного распределения доходов:

5. Счёт использования доходов:

6. Счёт операций с капиталом:

Балансирующей статьей является чистое кредитование.