Анализ данных в линейной регрессионной модели

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Московский государственный институт электронной технки

(технический универститет)»

Курсовая работа

по дисциплине

«Теория вероятности и математическая статистика»

Тема работы

«Анализ данных в линейной регрессионной модели»

Выполнил:

Студент группы ЭКТ-21

Рыжов С.А.

Проверил:

Преподаватель

Бардушкина И. В.

Москва - 2010

Вариант 20.

Задание 1

Выполнить предварительную обработку результатов наблюдений, включающую:

1 построение диаграммы рассеивания (корреляционного поля);

2 группировку данных и построение корреляционной таблицы;

3 оценку числовых характеристик для негруппированных и группированных данных.

Оценка числовых характеристик для негруппированных данных:

Числовые характеристики для негруппированной выборки находятся по следующим формулам:

, ;

;

;

;

;

Построение корреляционного поля:

Построение корреляционной таблицы:

Таблица 1.1

Оценка числовых характеристик для группированных данных:

, ;

, ;

;

;

, ;

;

;

= - 0.87

Задание 2

Для негруппированных данных проверить гипотезу об отсуствии линейной статистической связи между компонентами X и Y при альтернативной гипотезе ( уровень значимости α = 0,05);

Выборочное значение статистики равно

,

Используя средства Matlab, найдем

Так как выборочное значение статистики больше квантили распределения Стьюдента, гипотеза H₀ отклоняется в сторону гипотезы H₁. Корреляция значима.

Задание 3

Для негруппированых данных получить интервальную оценку для истинного значения коэффициента корреляции ρ_X,Y, при уровне значимости α = 0,05.

Используя средства Matlab, найдем

,

,

Задание 4

Для негруппированных и группированных данных составить уравнения регрессии Y на x и X на Y.

Рассмотрим вначале случай негруппированных данных.

Этот интервал не содержит нуля, т.е. с доверительной вероятностью 1 – ЫВА = 0,95 существует корреляция между X и Y и имеет смысл построение уравнений регрессии.

,

y(x) = 12,77 – 0,848*x;

x(y) = 10,86 – 0,6*y;

Проверка.

, .

, ;

,

, ;

Случай группированных данных.

Подставим найденные значения в уравнеиня линейной регрессии Y на x и X на y. Получим:

y(x) = 17,14 – 1,4*x;

x(y) = 10,83 – 0,54*y;

Проверка:

Задание 5

Для негруппированных данных нанести графики выборочных регрессионных прямых на диаграмму рассеивания.

Задание 6

Для негруппированных данных по найденным оценкам параметров линейной регрессии Y на x получить оценку s² для дисперсии ошибок наблюдений σ², найти коэффициент детерминации R², построить доверительные интервалы для параметров регрессии a и b, дисперсии ошибок наблюдений σ² и среднего значения Y при x = x₀ .

Для негруппированных данных были получены следующие оценки числовых характеристик и коэффициентов регрессии: , , , , , , , .

Используя соотношение , вычислим остаточную сумму

;

;

;

.

;

Тогда оценка дисперсии ошибок наблюдений равна

.

Коэффициент детерминации равен

.

Поскольку (знак ), то сделаем проверку правильности расчетов:

(верно).

Полученный результат для коэффициента детерминации означает, что уравнение регрессии на 49,7% объясняет общий разброс результатов наблюдений относительно горизонтальной прямой .

Построим доверительные интервалы для параметров линейной регрессии и дисперсии ошибок наблюдений.

С помощью Matlab найдем квантили распределений Стьюдента и :

, , ;

– доверительный интервал для параметра :

;

;

– доверительный интервал для параметра :

;

;

– доверительный интервал для дисперсии ошибок наблюдений :

;

.

-Найдем границы доверительных интервалов для среднего значения при :

;

.

Задание 7. Для негруппированных данных проверить значимость линейной регрессии Y на x (уровень значимости α = 0,05).

Гипотеза : отклоняется на уровне значимости , так как доверительный интервал не накрывает нуль с доверительной вероятностью 0,95.

Этот же результат можно получить, используя для проверки гипотезу : и статистику .

С помощью Matlab найдем квантили распределения Фишера:

, .

Выборочное значение статистики равно:

.

Поскольку , то гипотеза : отклоняется на уровне значимости . Таким образом, линейная регрессия на статистически значима.

Задание №8

Для данных, сгруппированных только по , проверить адекватность линейной регрессии на (уровень значимости ).

Для проверки адекватности воспользуемся корреляционной таблицей. Будем считать, что середины интервалов группировки , , являются значениями компоненты . Тогда число повторных наблюдений равно 4. Запишем результаты этих наблюдений в виде таблицы

Таблица 1.2

Для удобства расчетов в последней строке таблицы приведены средние значения , .

.

Получим уравнение выборочной линейной регрессии на для данных, сгруппированных по :

;

, , , , ;

y(x) = 8,29 – 0,9x.

;

.

Выборочное значение статистики равно

.

Так как квантиль распределения Фишера, вычисленный с помощью Matlab, равен

3,19,

то , а значит, линейная регрессия на для данных, сгруппированных по , адекватна результатам наблюдений.

Задание 9. Для негруппированных данных проверить гипотезу : при альтернативной гипотезе : (уровень значимости )

Имеются следующие величины: , , , , .

Сначала проверяется гипотеза :, альтернативная гипотеза :.

Статистика равна

= 1,931

С помощью средств Matlab, найдем:

F_0,975 (n-1; n-1)=F_0,975 (49,49) = 1.7622

z > F_0,975 (n-1; n-1),

следовательно отклоняется, а значит что

Теперь можно проверить гипотезу, :, при альтернативной гипотезе :.

Т.к. , статистика имеет вид

= 1,418

Найдем количество степеней свободы

≈3,625

С помощью средств Matlab, найдем:

z < , значит нет оснований отклонять гипотезу :.

Приложение

A = [ 4.19 3.04 4.60 9.83 8.66 1.30 4.22 5.11 9.85 8.80 12.17 11.25 5.73 4.05 5.41 1.28 1.67 11.99 7.66 5.17 3.26 12.58 8.34 5.79 3.42 4.44 11.31 7.57 1.62 5.71 11.06 10.35 2.46 1.02 5.77 8.63 6.91 3.56 9.47 6.16 8.26 6.70 4.95 3.37 1.53 9.54 3.11 5.09 11.08 8.74;

9.19 11.94 8.09 10.33 7.15 12.34 16.35 7.70 5.64 4.52 4.52 2.06 7.41 10.51 9.97 14.68 9.67 3.31 5.93 9.87 11.52 2.88 3.57 4.39 9.71 9.13 4.58 3.14 14.61 6.48 6.78 2.15 9.66 11.19 7.77 4.05 4.76 8.54 2.22 3.72 3.57 14.32 10.64 10.73 10.13 4.95 5.38 5.79 3.87 -2.23]

x = A(1,:);

y = A(2,:);

Mx = mean(x)

Dx = var(x,1)

My = mean(y)

Dy = var(y,1)

plot(x,y,'g*')

grid on

hold on

axis([1 13 -3 18]);

gca1 = gca;

set(gca1,'xtick',[1 4 7 10 13],'ytick',[-3 0 3 6 9 12 15 18]);

xlabel('X');

ylabel('Y');

z = 12.77 - 0.848*x; %построение регрессии Y на x

Zplot = plot(z,x);

set(Zplot,'Color','Red','LineWidth',[2])

hold on

text(12, -1,'x(y)');

text(11.8, 2,'y(x)');

t = 10.86 - 0.6*y; %построение регрессии X на y

Tplot = plot(t,y);

set(Tplot,'Color','Red','LineWidth',[2])

hp = line([1 6.36],[7.38 7.38]); %эти прямые показывают положение

set(hp,'Color','blue','LineWidth',[1.5]) %среднего выборочного

hp = line([6.36 6.36],[-3 7.38]);

set(hp,'Color','blue','LineWidth',[1.5])

K = cov(x,y) %находим ковариацию

DEtK = det(K)

M = corrcoef(x,y) %коэффициент корреляции

detM = det(M)