Методика группировки показателей

Выборка банков

Таблица 1 – Список 30 крупнейших банков России по размеру капитала, млн. руб.

Способ отбора банков – механический. Я выбрал каждый второй банк.

a) 1 Анализ выборочной совокупности

b) а) Количество групп определяем по формуле Стерджесса:

n = 1+3,322 lg N

где: n – число групп;

N – число единиц совокупности.

n=1+3,322 lg 30=5,906997≈6

Величина интервала определяется по формуле:

h = (X_max – X_min) /n

где: X_max – максимальное значение группировочного признака;

X_min – минимальное значение группировочного признака.

h₁=(25286–425)/6 = 4143,5 млн. руб.

Таблица 2 – Группировка банков по чистым активам, млн. руб.

h₂ = (1962–5)/6=326,2 млн. руб.

Таблица 3 – Группировка банков по прибыли, млн. руб.

б) Графики по данным полученных рядов:

Рисунок 1 – Группировка банков по чистым активам, млн. руб.

Рисунок 2 – Группировка банков по прибыли, млн. руб.

в) Средняя арифметическая взвешенная находится по формуле:

x = ∑ x_i * f_i / ∑ f_i

Таблица 4 – Таблица для расчета средней арифметической по чистым активам

х=166059,5/30=5535,3 млн. руб.

Таблица 5 – Таблица для расчета средней арифметической по прибыли

х=8630,18/30=287,7 млн. руб.

Мода находится по формуле:

Мо = Хо + К*(F_MO – F_MO-1 / (F_MO – F_MO-1)+(F_MO – F_MO+1))

где: Хо – нижняя (начальная) граница модального интервала;

К – величина интервала;

F_MO - частота модального интервала;

F_MO-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

F_MO+1-частота интервала, следующего за модальным интервалом.

Находим модальный интервал по наибольшей частоте f₁. Наибольшая частота равна 20. Модальный интервал – [425–4568,5]. Хо = 425, К=4143,5

Мо ₁ = 425 + 4143,5*(20–0/(20–0)+(20–5))= 2604,04 млн. руб.

Вывод: наиболее часто встречается банк с размером чистых активов 2604,04 млн. руб.

f₂ =24. Модальный интервал – [5–331,16]. Хо = 5, К=326,2

Мо ₂ = 5 + 326,2*(24–0/(24–0)+(24–4))= 178,8 млн. руб.

Вывод: наиболее часто встречается банк с размером прибыли 178,8 млн. руб.

Для определения медианы рассчитывают ее порядковый номер (N_Me)

N_Me = (n+1)/2

N_Me = (30+1)/2 = 15,5

Рассчитываем медиану (Ме) по формуле:

Ме = Хо + К*((S f / 2 – S_Me-1) / f_Me)

где: Хо – нижняя граница медианного интервала;

К – величина интервала;

Sf = n – число единиц совокупности;

S_Me-1 – накопленная частота, предшествующая медианному интервалу;

f_Me – медианная частота.

Ме ₁ = 425 + 4143,5*((30/2 – 0)/20) = 3426,4 млн. руб.

То есть 15 банков имеет чистые активы более 3426,4 млн. руб. и 15 – менее 3426,4 млн. руб.

Ме ₂ = 5 + 326,2*((30/2 – 0)/24) = 207 млн. руб.

То есть 15 банков имеет прибыль более 207 млн. руб. и 15 – менее 207 млн. руб.

Абсолютные показатели вариации

Размах вариации – это разность между максимальным и минимальным значением статистической совокупности. Находится по формуле:

R=X_max – X_min

где: X_max - максимальное значение признака;

X_min - минимальное значение признака.

R₁ = 25286–425 = 24861 млн. руб.

Разница между банком с максимальным размером чистых активов и банком с минимальным размером чистых активов равна 24861 млн. руб.

R₂ =1962–5 = 1957 млн. руб.

Разница между банком с максимальным размером прибыли и банком с минимальным размером прибыли равна 1957 млн. руб.

Среднее линейное отклонение – это средняя величина из отклонений значений признака от их средней. Находится по формуле:

d = S |X_i – X| *f_i / S f_i

где X_i - значение признака;

Х – среднее значение признака;

f – частота.

Таблица 6 – Расчет среднего линейного отклонения по чистым активам

d = 0,5/30 = 0,02 млн. руб.

Средняя величина из отклонений размера чистых активов от их средней составляет 0,02 млн. руб.

Таблица 7 – Расчет среднего линейного отклонения по прибыли

d = -0,82/30 = -0,03 млн. руб.

Средняя величина из отклонений размера прибыли от их средней составляет -0,03 млн. руб.

Дисперсия – средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Находится по формуле:

s ² = S (X_i – X)² *f_i / S f_i

Таблица 8 – Расчет дисперсии по чистым активам

s ² =924814835,8/30=30827161,2 млн. руб.

Таблица 9 – Расчет дисперсии по прибыли

s ² = 3081544,5 /30 =102718,1 млн. руб.

Среднее квадратическое отклонение – это корень квадратный из дисперсии. Находится по формуле:

σ= Ö (S (X_i – X)²*f_i /S f_i)

σ= Ö 30827161,2 =5552,2 млн. руб.

σ= Ö 102718,1 = 320,5 млн. руб.

Относительные показатели вариации

В общем виде они показывают отношение абсолютных показателей вариации к средней величине. К ним относятся:

Коэффициент осцилляции. Находится по формуле:

V_R = R / x * 100%

V_R1 = 24861 / 5535,3 * 100% = 449,1%

V_R2 =1957 / 287,7 *100% = 680,2%

Относительное линейное отклонение. Находится по формуле:

V_d = d / x * 100%

V_d1 = 0,02 / 5535,3 * 100% = 0,0004%

V_d1 = -0,03 / 287,7* 100% =-0,01%

Коэффициент вариации (характеризует однородность совокупности). Находится по формуле:

V_σ = σ / x * 100%

V_σ1= 5552,2 / 5535,3 * 100% = 100% > 33% (совокупность неоднородная)

V _σ1= 320,5/ 287,7* 100% = 111%> 33% (совокупность неоднородная)

г) Определение количественных характеристик распределения. К ним относятся:

– Показатель асимметрии. Находится по формуле:

As = m₃ / s ³

m₃ = S (X_i – X)³ * f_i / S f_i

где: m₃ – центральный момент 3 – го порядка;

s ³ - среднее квадратичное отклонение в кубе.

Таблица 10 – Расчет асимметрии по чистым активам, млн. руб.

m₃ =10213827610502,7 / 30 = 340460920350,1

As = 340460920350,1/171157252096,6 = 1,9 > 0, асимметрия правосторонняя

Таблица 11 – Расчет асимметрии по прибыли, млн. руб.

m₃ = 3596493494,9 / 30 = 119883116,5

As = 119883116,5/32921840,1= 3,6>0, асимметрия является правосторонней.

Чтобы определить является ли асимметрия существенной или несущественной рассчитывают отношение показателя асимметрии к среднеквадратическому отклонению:

As / s_As

где: s_As - среднеквадратическая ошибка асимметрии.

Она зависит от объема совокупности и рассчитывается по формуле:

s_As = Ö 6*(n – 1)/(n+1)*(n+3)

s_As = Ö 6 * (30 – 1)/(30+1)*(30+3) = 0,4

As / s_As (по чистым активам) = 1,9 / 0,4 = 4,75>3

As / s_As (по прибыли) = 3,6/ 0,4 = 9>3

Таким образом, As / s_As во всех случаях > 3 Þ асимметрия существенна. Так как асимметрия существенна, эксцесс не рассчитывается.

д) Нахождение эмпирической функции и построение ее графика.

Для удобства вычислений вероятностей случайные величины нормируются, а затем по специальным таблицам находим плотность распределения нормированной случайной величины:

t = (x_i – x) / s

f ^| = (S f * k / s)* j (t)

Таблица 14 – Расчет теоретических частот по чистым активам

Таблица 15 – Расчет теоретических частот по прибыли

Рисунок 3 – Эмпирическая и теоретическая функции распределения по чистым активам

Рисунок 4 – Эмпирическая и теоретическая функции распределения по прибыли

ж) Проверим гипотезу о том, что изучаемые признаки подчиняются нормальному закону распределения с помощью математического критерия Романовского:

r =(c²_расч - (h-l‑1))/Ö2 – (h-l‑1)

c²_расч = S(f – f ^|)² / f

где: f – эмпирические частоты;

f ^| – теоретические частоты.

h – число групп;

l – число независимых параметров, которые необходимо знать, чтобы построить кривую теоретического распределения.

Таблица 16 – Проверка гипотезы по размеру чистых активов

c²_расч = 22,4

r = (22,4 – (6–2–1))/Ö(2*(6–2–1))= 7,9>3, следовательно, что гипотеза о соответствии распределения банков по размеру чистых активов закону нормального распределения отвергается

Таблица 17 – Проверка гипотезы по размеру прибыли

c²_расч = 21

r = (21 – (6–2–1))/Ö(2*(6–2–1))= 7,3 > 3, следовательно, что гипотеза о соответствии распределения банков по размеру прибыли закону нормального распределения отвергается.

з) Определение границ, в которых с вероятностью 0,95 будет находиться среднее значение выбранных показателей в генеральной совокупности. Средняя ошибка выборки определяется по формуле:

m = Ös² / n * (1 – (n/N))

где: n – число единиц в выборочной совокупности;

N – число единиц в генеральной совокупности.

m = Ö 30827161,2 /30*(1 – (30/200))= 1099,5 млн. руб.

m = Ö102718,1 /30*(1 – (30/200))=63,5 млн. руб.

Предельная ошибка выборки определяется по формуле:

D = m * t

где t – коэффициент доверия, определяемый в зависимости от вероятности по таблицам. p = 0,95 Þ t = 1,96

D = 1099,5*1,96 = 2155,02 млн. руб.

D = 63,5*1,96 = 124,4 млн. руб.

Границы среднего значения показателя определяются по формуле:

Х= Х ± D

где: Х – среднее арифметическое значение признака.

Х = 5535,3+ 2155,02 =7690,3 млн. руб.

Х = 5535,3 – 2155,02 =3380,5 млн. руб.

Х = 287,7 +124,4= 412,1 млн. руб.

Х = 287,7 – 124,4= 163,3 млн. руб.

Границы, в которых с вероятностью 0,95 будет находиться среднее значение показателя чистых активов в генеральной совокупности, лежит в пределах 3380,5 млн. руб. < Х < 7690,3 млн. руб.

Границы, в которых с вероятностью 0,95 будет находиться среднее значение показателя прибыль в генеральной совокупности, лежит в пределах 163,3 млн. руб.< Х < 412,1 млн. руб.

По выше приведенным расчетам можно сделать следующие выводы:

– из 30 отобранных банков, наиболее часто встречаются банки с размером чистых активов 2604,04 млн. руб., с размером прибыли 178,8 млн. руб.;

– из отобранных банков 15 имеют размер чистых активов больше 3426,4 млн. руб. и 15 менее. И прибыль 15 банков больше 207 млн. руб., а у 15 менее;

– по данным абсолютных показателей вариации выборки по прибыли значительно ниже, чем по чистым активам;

– по данным относительных показателей совокупность неоднородная. Ассиметрия по чистым активам и по прибыли является правосторонней.

– границы, в которых с вероятностью 0,95 будет находиться среднее значение показателя чистых активов в генеральной совокупности, лежит в пределах

3380,5 млн. руб. < Х < 7690,3 млн. руб., прибыль в пределах 163,3 млн. руб.< Х < 412,1 млн. руб.;

– гипотеза о том, что изучаемые признаки подчиняются нормальному закону распределения отвергается;

– зависимость между чистыми активами и прибылью по тесноте связи сильная, по направлению прямая;

– параметр коэффициента а не значим и не может распространяться на всю совокупность, а параметр b значим и его можно разместить на всю совокупность;

– коэффициент корреляции статистически значим.

Список используемой литературы

1. Конспект лекций

2. Статистика: учеб./ И.И. Елисеева А.В.